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Calcul Algébrique

termes dans la somme de m à n. n. ? k=0. 1. ? h=0. 2k+h. = 1. ? h=0 n Une double somme est une somme de sommes et on peut toujours intervertir les ...



Sur un probl`eme de Gelfond : la somme des chiffres des nombres

Ordibehesht 13 1389 AP (1) n D. X k>0 nkq k .nk 2 f0;:::;q 1g/; o`u les nk sont tous nuls `a partir d'un certain rang. La somme des chiffres du nombre entier n ...



Séminaire BOURBAKI Janvier 2012 64`eme année 2011-2012

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Sur Certains Types de Representations p-Adiques du Groupe de

:EizdimKVC < dimQ V. On dit que V est de Hodge-Tate si on a 1'egalite. d'une decomposition en somme directe de sous-K-espaces vectoriels.



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on peut écrire une relation de dispersion pour une quantité Equations (1) or (1) can be solved for complex k; the solution of equation (1) is unique up ...



Torsions Quadratiques et Bases Normales Autoduales

Dans le ?2 on suppose que K est un corps de dimension cohomologique < 1; representants de G/S



Le Probleme des Groupes de Congruence Pour SL2

Mais les seuls sous-groupes distingues de G= SL2(K) sont {1}. {?1} et G. On a donc H= G



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1. 18 . 3. Le fait de calculer la somme d'une série à partir de k = 0 est purement conventionnel. On peut toujours effectuer.



Factorielle et binôme de Newton Cours

On obtient ainsi un schéma de Bernoulli de paramètres n et p que l'on peut représenter par un arbre. Définition 2. — Pour tout k ? {0 1



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Pour tout entier n ? 1 la somme des n premiers entiers vaut n(n + 1)/2 n ? k=1 k =1+2+ ··· 



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k?0 qk est la suite des sommes partielles : S0 = 1 S1 = 1 + q S2 = 1 + q + q2 Écartons tout de suite le cas q = 1 pour lequel Sn = n + 1



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18 sept 2010 · k=0 qk = 1 ? qn+1 1 ? q Exemple 1 : Calcul de la somme des entiers • Nous allons démontrer par récurrence que la propriété Pn : i=n



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Pour représenter de façon plus condensée la somme des premiers entiers on écrit : 1+2+ ··· + n = n ? k=1 k (prononcer « somme des k pour k allant de 1 à 



Exercices corrigés -Calculs algébriques - sommes et produits

Séparer la somme en deux puis faire un changement d'indices dans la deuxième somme Corrigé On commence par séparer la somme en deux : $$\sum_{k=1}^n \left(\ 



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30 déc 2018 · n?1 ? k=0 exp(2ikm?/n) 1 Dans le cas contraire on convient que la somme est nulle Lycée Henri Poincaré — PC* — mathématiques



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k=0 ukilya n + 1 termes Plus généralement dans la somme n X k=p ukilya n ? p + 1 termes R 3 On peut parfois séparer une somme en deux Soit n ? 1 et 



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k=1 k3 Exercice 4 : Soit n ? N? Factorisez la somme 1 n+2 (n?1)+···+(n?1) 2+n 1 k=1 k2k On posera j = k ? 1 2 Tn = n ? k=0 cos2 (k?



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qk avec q = 1 Solution : Pour inverser l'ordre de sommation (lire la somme en sens contraire) pour k variant de 0 à n 



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En revanche si n ? 0 est un entier donné la somme n ? k=1 k =1+2+ ··· + n dépend de la valeur de n puisqu'on obtient des valeurs di érentes selon que n 

:
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L"É.N.S.ÉTIENNEFOUVRY

PHILIPPEMICHEL

Annales scientifiques de l"É.N.S. 4

esérie, tome 31, no1 (1998), p. 93-130

© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1998, tous droits réservés.

L"accès aux archives de la revue " Annales scientifiques de l"É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systé- matique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-

chier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme

Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

Ann. scient. Éc. Norm. Sup.,

4 e série t. 31,
1998
p. 9 3 130
SUR

CERTAINES

SOMMES

D'EXPONENTIELLES

SUR LES

NOMBRES

PREMIERS

PAR

ÉTIENNE

FOUVRY

E T

PHILIPPE

MICHEL

RÉSUMÉ.

Par des méthodes de géométrie algébrique, nous donnons des majorations pour les

sommesd'exponentielles de la forme suivante ^ exp ( 2?^;Mi/), où q désigne un nombre premier (grand), f(X)p<,x v /

es t une fraction rationnelle coefficients entiers et p décrit les nombres premiers plu s petits que x(< q).

Nousraffinons également la méthode dans le cas où f(X) est de la forme f(X) = Xk + uX (k un entier différent

de 0 et de 1)

Eisevier,

Paris

Mots-clés

Sommes

d'exponentielles, nombres premiers

ABSTRACT.

Using methods inherited from algebraic geometry, we give bounds for exponential sums o f

thétype ^ exp ( 27Tî;/lp)-), where q is a large prime number, f(X) is a général rational function over Z and thép <^ x ' /

sUm is performed over primes less than x(< q). Some extensions o f thé method are given when f(X) is o f théform f(X) = Xk + uX (k integer différent from 0 and 1). © Eisevier, Paris

Keywords:

Exponential

sums, prime numbers. I

Introductio

n

L'idée

d e c e travail nous est venue en

étudiant

l'article d e

Friediander

e

tIwaniec ([Fr-Il]) : faire appel à des méthodes profondes de géométrie algébrique, héritées

des célèbres travaux d e

Deligne

([Del], [De3] sur la conjecture d e Weil, pour majorer certaines sommes d'exponentielles apparaissant naturellement en théorie analytique desnombres. Parmi la multitude de choix possibles, notre attention s'est portée sur la situation suivante

Soient

q un nombre premier, caractère additif non trivial sur Fg f f(X) est de la forme f(X) N ou ^(^O et Q(X) sont deux polynômes unitairesde î[X] premiers entre eux. On suppose en outre, que f n'est ni un polynôme constant, ni un polynôme de degré 1

Classification

AMS 11L03 11L20

ANNALES

SCIENTIFIQUES

DE

L'ÉCOLE

NORMALE

SUPÉRIEURE.

0012-9593/98/01/©

Eisevier,

Paris

94 E. FOUVRY ET P. MICHEL

On cherche majorer la somme trigonométrique ^(/;^)=^>omPTHÉORÈME 1.1

Soient

e 0 q un nombre premier, x un réel vérifiant 1 x g une fraction rationnelle comme dans (f) existe alorsquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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