Chapitre 4 - Fractions rationnelles - Décomposition en éléments
2 est l'unique zéro de F. 4.2 Décomposition en éléments simples. 4.2.1 Partie enti`ere d'une fraction rationnelle. Proposition
LES FRACTIONS 2
Plus le numérateur est grand plus la fraction est grande. DÉCOMPOSER UNE FRACTION. Dans une fraction
Introduction à la décomposition en éléments simples des fractions
Dans ce document K est le corps R ou le corps C. 1 Fractions rationnelles. Définition 1. Une fraction rationnelle est une expression formelle de la forme P.
Les fractions : Lécriture fractionnaire
Si le numérateur est égal au dénominateur alors la fraction est égale à 1. Exemple : 8 = 8 donc. VI. Décomposer une fraction. On peut décomposer une
Utiliser sa calculatrice Fx Junior Plus à lécole
Comment décomposer une fraction en la somme d'un nombre entier et d'une fraction plus petite Comment calculer le produit d'une fraction par un nombre ?
Numération Décomposer une fraction décimale Rappel : On peut
On peut décomposer une fraction en une partie entière et une partie fractionnaire : 475= 400 + 70 + 5 = 4 + 7 + 5 ou = 4 + 75. 100 100 100 100.
La classe de Mallory
2- Décompose les fractions sous la forme d'un entier et d'une fraction <1. 13. 4. =?+ … 4. 17. 3. =
Fractions et nombres décimaux au cycle 3
décomposition des fractions décimales menant à l'écriture à virgule expliciter précisément comment il procède pour comparer deux nombres donnés.
INTRODUCTION À LA DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES
Le quotient de la division euclidienne est aussi appelé la partie entière de la fraction. 1 +. À présent le dégré du numérateur est strictement inférieur au
Fractions rationnelles
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur R par identification des coefficients. Expliquons comment calculer le coefficient c1.
[PDF] Introduction à la décomposition en éléments simples des fractions
On peut décomposer toute fraction rationnelle en somme de fractions élémentaires plus simples au sens où leurs dénominateurs ne feront apparaître qu'un seul
[PDF] Fractions rationnelles - Décomposition en éléments simples
La multiplicité du zéro est sa multiplicité en tant que racine de A Remarque Une fraction rationnelle de K(X) a un nombre fini de pôles Une fraction
[PDF] Décomposer des fractions - Eklablog
Décomposer des fractions Colorie de la même couleur chaque décomposition de fractions et chaque longueur qui lui correspond
[PDF] Numération Décomposer une fraction décimale - Bloc-note des écoles
On peut décomposer une fraction en une partie entière et une partie fractionnaire : 475= 400 + 70 + 5 = 4 + 7 + 5 ou = 4 + 75 100 100 100 100
[PDF] Décomposition de fractions en éléments simples
Exercice 2 : Nous allons faire la décomposition éléments simples de la fraction rationelle suivante f(x) = 1 x(x + 1)2 = a x + b x + 1 + c (x + 1)2 o`u a
[PDF] Cm2 6a
Décompose les fractions sous forme d'une partie entière et d'une fraction
[PDF] Feuille 6 Fractions rationnelles
Donner la forme de la décomposition en éléments simples sur ? des fractions rationnelles Décomposer en éléments simples sur ? puis sur ? les fractions
[PDF] Décomposer une fraction sous la forme dune somme dun entier et
Décomposer une fraction sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1 1) Relis la leçon « NUM 10 » dans ton fichier de
[PDF] Décomposition des fractions rationnelles - Index of / - IUTenligne
– D'effectuer la décomposition en éléments simples dans IR des fractions ration- nelles ne possédant qu'un nombre limité de pôles aisément identifiables Le
[PDF] INTRODUCTION À LA DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES
À présent pour calculer les coefficients d'une décomposition en éléments simples sur nous exploiterons quatre tech- niques de calcul : — multiplier par (X ?
Comment faire la décomposition de fraction ?
Multiple commun pour simplifier une fraction
Pour simplifier, il faut trouver le multiple commun au numérateur et au dénominateur, et diviser les deux termes de la fraction, par ce multiple.Comment décomposer et simplifier une fraction ?
On peut décomposer toute fraction rationnelle en somme de fractions élémentaires plus simples, au sens où leurs dénominateurs ne feront apparaître qu'un seul polynôme irréductible chacune. F = E + G et deg(G) < 0. Le polynôme E est appelé la partie entière de F.Comment décomposer une fraction rationnelle ?
Pour cela, je commence par écrire les entiers sous forme de fractions afin que les élèves se rendent compte que 5/5=1. Quand les unités sont repérées, je les additionne. Puis, j'ajoute la partie fractionnaire qui reste et qui est plus petite qu'un entier.
Chapitre4
Fractionsrationnelles-
4.1Fractio nsrationnelles
Danstoutlep aragraphe,Kd´esigneuncorpscommutati f(dansl apratiqueRouC).4.1.1Construction desfractions
Relationd'´equivalence
Surl'ense mbledescouples(A,B)de K[X]!K[X]
,ond ´efi nitlarelation"par(A,B)"(C,D) siAD=BC .Proposition4.1"estune relationd'´ equivalence.
D´emonstration:Montronsque"estunere lationr´efle xive,sym´etriquee ttransitive. •PourA#K[X] ,ona A.A=A.Adon c(A,A)"(A,A)."estr´efle xive. •Soient(A,B)et (C,D)dansK[X]!K[X] .Su pposons(A,B)"(C,D).Onaalor sAD=BC doncCB=DA.P arsuite (C,D)"(A,B)."estbien sym´etrique. •Soient(A 1 ,B 1 ),(A 2 ,B 2 )et(A 3 ,B 3 )dan sK[X]!K[X] .Su pposons(A 1 ,B 1 )"(A 2 ,B 2 )et (A 2 ,B 2 )"(A 3 ,B 3 ).Onaal orsA 1 B 2 =B 1 A 2 etA 2 B 3 =B 2 A 3 etdoncA 1 B 2 A 2 B 3 =B 1 A 2 B 2 A 3CommeB
2 A 2 $=0,l apr oposition 1.9(int´egrit´edeK[X])condui t`aA 1 B 3 =B 1 A 3 soit (A 1 ,B 1 )"(A 3 ,B 3 )."esttransit ive.! D´efinition4.2Onapp ellefractionrationnelletouteclassed'´ equivale ncepour".L'ensemble desfracti onsrationnellesestnot´eK(X). Notation.Lacl assed'´equivalenc ede(A,B)estn ot´eeF= A B etondit que A B estun repr´esentantdeF.Remarque.Onadon cpar d´efinition :
A B C D %&AD=B CExemple.(3X
3 +3X 2 ,X 3 +3X 2 +2X) "(3X,X+2) donc 3X 3 +3X 2 X 3 +3X 2 +2X 3X X+24.1.2Op´eratio nssurlesfractions
PropositionetD´efinition4.3Soient
A B et C D deux´el´ ementsdeK(X).LafractionrationnelleAD+B C
BD estind´ep endanteduchoixdesrepr´esentantsde A B et C D .Onl'appellesommedes 2526CHAPITRE4.FRACTIONSRA TIO NNELLES-D
ECOMPOSITIONEN
ELEMENTSSIMPLES
fractions A B et C D eton note A B C DAD+B C
BDD´emonstration:Supposonsdonc
A B A 1 B 1 et C D C 1 D 1 .On adoncAB 1 =BA 1 etCD 1 =DC 1Onveu tmontrerque
A 1 D 1 +B 1 C 1 B 1 D 1AD+B C
BD .Or(A 1 D 1 +B 1 C 1 )BD=A 1 BDD 1 +DC 1 BB 1 donc(A 1 D 1 +B 1 C 1 )BD=AB 1 DD 1 +D 1 CBB 1 =B 1 D 1 (AD+BC) .Le r´esultatend´ ecou le.PropositionetD´efinition4.4Soient
A B et C D deux´el´ ementsdeK(X).Lafraction AC BD est A B et C DOnl' appelleproduitdesfracti ons
A B et C D eton note A B C D AC BDD´emonstration:Supposonsdonc
A B A 1 B 1 et C D C 1 D 1 .On adoncAB 1 =BA 1 etCD 1 =DC 1Onche rche`amontrerque
A 1 C 1 B 1 D 1 AC BD .Or onaA 1 C 1 BD=A 1 BC 1 D=AB 1 CD 1 donc A 1 C 1BD=A CB
1 D 1 .Ler ´es ultatend´ecoule.!Th´eor`eme4.5(K(X),+,!)estunc orpsco mmutatif.
D´emonstration:Lav´ erificationdetouteslespropri´et´es caract´e risantuncorpscomm utatifest
simpleetm´ethodiq uemaisl ourde.Elleestdonclaiss´ee`atitred' exercice. Onremarquerajuste icique: •leneut repourl'additionest 0 1 etsera not´esimpleme nt0. •leneut repourlamultiplicati onest 1 1 etsera not´esimpleme nt1.L'inverse delafraction rationnellenonnulle A B estlafrac tion B A A 1 v´erifie: *(A,B)#K[X] 2 !(A+B )=!(A)+!(B)et!(A.B)= !(A).!(B)•! 1 K[X] =1 K(X) Onditq ue!estunmorphismed'anneaux(uni taires).L'application!estdepl usinje ctive (onidentifie radoncdor´enavantlepoly nˆomeAetla fraction rationnelle A 1D´emonstration:Celar´esulte demani`ereimm´ediatedesd´ efiniti onsdesop´erations(addition et
multiplication)dansK(X).!4.1.3Former´edui te-Pˆoles-Z´ero s
Toutefractionrat ionnelleadmetaumoinsu nrepr´esentantirr´eductible (A 0 ,B 0 )(c'est`adire telqueA 0 etB 0 soientpremiersen treeux). Onpeut choisirunrepr ´esentantprivil´egi ´e:une fractionrationnelleFestditesousforme r´eduiteouen coresousformeirr´edu ctiblequandelleest´ ecriteF= A B ,o` uAetBsontd es polynˆomespremiersentreeu xetBestunitaire. Proposition4.7Unefr actionrationnelleauneunique former´eduite.SiF= A B ,ontrouvesa former´ed uiteencalculantunpgcdDdeAetB,enend´eduisant(par"simplification»parD) unre pr´esentantirr´eductible A 0 B 0 ,etensimplifiantfinalementparlecoe cientdominantdeB 0 4.2.DECOMPOSITIONEN
ELEMENTSSIMPLES27
D´emonstration:Lepr oc´ed´edeconstructiond´ecrit danslap ropositionassurel'existencede laform er´eduite.Mon trons-enl'unicit´e.Supposonsd oncF= A B A 1 B 1 avecpgcd(A,B)=1, pgcd(A 1 ,B 1 )=1etBetB 1 unitaires.OnaalorsAB 1 =A 1 BetB 1 diviseA 1Betestpremier
avecA 1 .Lel emm edeGaussentraˆın ealorsq ueB 1 diviseB.Demˆeme,Bd iviseAB 1 etest premieravecAdoncBdivis eB 1 .Il s'ensu itl'existenced'uneconstan tecdansKtelleque B=cB 1 .BetB 1´etantunitaires, onafinalementB=B
1 etparsu iteauss iA=A 1D´efinitions4.8SoitF=
A B unefract ion´ecritesousformeirr´educt ible.OnappellepˆoledeF touteracine deB.Onditqueaestunpˆoled'ordre ndeFsiaestunera cinedem ultiplicit´e Onappe llez´erodeF(dansK)touteracinedeA(dansK).La multiplicit ´eduz´eroestsa multiplicit´eentantqueracinedeA. Remarque.Unefract ionrationnelledeK(X)aunn ombr efinide pˆoles.Unefraction rationnelle nonnull eaunnombrefinide z´e ros.Exemple.SoitF(X)=
X 2 '3X+2 X 4 '1 .Fn 'e stpassousformeirr´ educti ble,carona : F(X)= (X'1)(X'2) (X'1)(X+1)(X 2 +1) X'2 (X+1)(X 'i)(X+i) Lespˆole sdeFdansCsontdonc'1,iet'i(ilssonttoussi mples).2 estl'uniq uez´erodeF.4.2D´ecom positionen´el´ementssimples
4.2.1Partieenti `ered'unefractionrati onnelle
PropositionetD´efinition4.9SoitF=
A B unefracti onrationnelle.Il existeununique polynˆomeEetun unique polynˆomeAquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] nous accusons réception de votre mail et nous vous en remercions en anglais
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