La ruche PDF Un polygone régulier est

Propriétés des angles dans les polygones

Le polygone est donc maintenant divisé en n triangles. La somme des mesures des angles intérieurs de chaque triangle égale 180°. polygone convexe. Polygone dont

Somme des angles intérieurs des polygones Polygone Somme de

Les angles. © Imprimeur de la Reine pour l'Ontario 2006. Somme des angles intérieurs des polygones. Polygone. Somme de ses angles intérieurs. Triangle.

7.1 Polygones réguliers

Ex.: Soit le pentagone régulier ABCDE. – Les diagonales issues du sommet A divisent le polygone en trois triangles. – La somme S des mesures des angles

La ruche

Un polygone régulier est inscrit dans un cercle. L'angle du polygone vaut : La somme des angles d'un triangle fait 180° ; de plus OAB est.

Promenade au pays des poly`edres

Il y a même unicité du polygone régulier `a n côtés du moins `a Notant ?k les angles intérieurs d'un polygone

THEME :

La somme des angles d'un polygone ( convexe ) de n côtés est ( n – 2 ) x 180 Le triangle équilatéral est le seul polygone régulier ayant 3 côtés.

3. Déduis les mesures des angles présentés dans ce polygone

Déduis les mesures des angles présentés dans ce polygone régulier. m 2 : Somme des angles intérieurs d'un quadrilatère (360°).

Géométrie Polygones à plus de 4 côtés polygones réguliers inscrits

La mesure de l'angle au centre d'un polygone régulier à n sommets est la somme des angles d'un quadrilatère (4 côtés) est. ;. 180 (4 - 2) = 360o.

STRUCTURES PLISSEES – ELEMENTS DE SYNTHESE

Pour déterminer cet angle il faut calculer la somme des angles de ce polygone. Comme tout polygone convexe avec n côtés est décomposable en (n-2) triangles

TP - Polygone régulier - Récursivité Un peu de géométrie

La somme des angles d'un polygone régulier à n côtés est (n?2)×180. Dans un carré cela fait 360et pour notre polygone à 9 côtés cela fait 7×180 = 1260.

[PDF] ES Les polygones réguliers

Comme un polygone régulier est composé de triangles isocèles et que la somme des angles d'un triangle est de 180º il suffit de soustraire l'angle au centre à

[PDF] Propriétés des angles dans les polygones - Modulo

La somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone convexe à n côtés peut s'écrire ainsi : 180°(n 2 2) • La mesure de chaque angle intérieur d'un

[PDF] 71 Polygones réguliers - Paul Gérin Lajoie dOutremont

Un polygone est régulier si tous ses côtés et tous ses angles intérieurs sont congrus c) Quelle est la somme des angles intérieurs d'un hexagone?

[PDF] Leçon 8 – angles inscrits angles au centre polygones réguliers

Définition : Un polygone régulier est un polygone dont tous les sommets appartiennent au même cercle et dont tous les angles au centre sont égaux (les angles au

[PDF] Polygones réguliers - APMEP

Dans tout polygone régulier les n côtés sont égaux et les n angles sont égaux Propriété (2) La somme des angles du polygone est (n-2) 180°

[PDF] 84 Les polygones réguliers

8 4 Les polygones réguliers GROUPE DATE Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont isométriques et tous les angles sont isométriques

[PDF] Polygones réguliers - Présentation

Un polygone régulier est un polygone ( convexe ) dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont même mesure Exemples et contre-exemples :

[PDF] Polygones-Pavage-Abeillespdf - THEME :

La somme des angles d'un polygone ( convexe ) de n côtés est ( n – 2 ) x 180 Le triangle équilatéral est le seul polygone régulier ayant 3 côtés

[PDF] Polygone régulier - Descartes et les Mathématiques

3 oct 2009 · La somme des angles d'un polygone à n côtés est égale à (n - 2) × ? Les rayons d'un polygone inscrit dans un cercle relient ses sommets à son

[PDF] les polygones reguliers - programme APPRENDRE

Un polygone régulier à n côtés est une figure : • qui a n côtés de même mesure ; • dont les angles ont même mesure Exemples de polygones réguliers : Triangle

Comment calculer la somme des angles d'un polygone ?
La formule permettant de calculer la somme des angles intérieurs d'un polygone est �� égale �� moins deux fois 180, où �� est le nombre de côtés.
Quelle est la somme des angles d'un polygone a n côtés ?
La somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone convexe à n côtés peut s'écrire ainsi : 180°(n 2 2).
Quelle est la somme des angles d'un hexagone régulier ?
Si on veut trouver la mesure d'un seul angle intérieur d'un polygone régulier, il suffit de diviser la somme des mesures des angles intérieurs par le nombre d'anglesqu'il contient. Tu peux faire le nombre de côté - 2 x 180 soit (n-2)x180 ce qui te donnera la somme des angles intérieurs.

MATh.en.JEANS 2019 - 2020Collège A. Fournier - Orsay1La ruche Année 2019 - 20020 Jules Guérin et Baptste Maillet, élèves de 4ème Encadrés par Florence Ferry avec la partcipaton de Claudie

Asselain-Missenard

Établissement : Collège Alain Fournier, Orsay

Chercheur : Raphaël Tinarrage, université Paris-SaclayCe diaporama est rédigé par des élèves. Il peut comporter des oublis et imperfectons,

Autant que possible signalés par nos relecteurs dans les notes d'éditon. Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 20202Sommaire- Présentation du problème - Définition d'un polygone régulier - Différents pavages du plan - Pavages réguliers - Pavages irréguliers Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 20203Présentation du problème

Une ruche d'abeille est un pavage du plan par des

polygones, c'est à dire que l'on dispose des polygones côte à côte de sorte à remplir le plan. On considère que la ruche est construite à partir d'un polygone. (1)

Afin de consommer le moins de cire possible pour

construire la ruche, les abeilles veulent maximiser le rapport : (2)

R=aire

périmètre

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 20204Nous avons choisi de prendre comme unité, dans

chaque cas, le côté du polygone (comme si les abeilles utilisaient pour construire la ruche des bâtons de cire préfabriqués tous identiques)

Quel est le meilleur pavage ?

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 20205Définition d'un polygone régulier

Un polygone régulier est un polygone qui a :

- tous les côtés de même longueur - tous les angles de même mesure

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 20206Pour trouver tous les polygones réguliers qui

peuvent paver le plan, il faut trouver leur angle au sommet : cet angle doit être un diviseur de

360°.

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 20207Un polygone régulier est inscrit dans un cercle.

Pour calculer l'angle du polygone, il faut

d'abord calculer son angle au centre a.

Pour trouver cet angle on divise 360° par le

nombre de côtés du polygone.Comment calculer l'angle d'un polygone ?

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 20208Prenons comme exemple le pentagone régulier.

Angle au centre :

a = 360°/5 = 72°. Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 20209^OAB=^OBA=180°-72°

2=54°

180°-72°

2×2=180°-72°=108°L'angle du polygone vaut :La somme des angles d'un triangle fait 180° ; de plus, OAB est

isocèle donc ses angles de la base sont de même mesure donc :

L'angle du polygone

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202010360° nGénéralisation pour un polygone à n côtés

Son angle au centre est : a =

L'angle du polygone est :

Pour paver le plan il faut donc que cet angle soit un diviseur de 360°.

180°-360°

nVoici les diviseurs de 360 :

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 40 ;

45 ; 60 ; 72 ; 90 ; 120 ; 180 ; 360.

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202011Différents pavages possibles

3 côtés,triangle équilatéral : a =

4 côtés, carré : a =

5 côtés, pentagone : a =

6 côtés, hexagone : a =

180°-360°

3=60°

180°-360°

4=90°

180°-360°

5=108°

180°-360°

6=120°NON !

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202012Les seuls pavages avec des polygones réguliers

qui conviennent sont le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone. Au delà de 6 côtés, l'angle au sommet devient trop grand et nous ne pouvons plus avoir de diviseurs de 360°.

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202013Nous allons donc étudier ces 3 pavages pour voir

lequel maximise notre quotient.

Triangle équilatéralCarréHexagone

régulier Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202014Le triangle équilatéral

Prenons la longueur du côté : 1 unité

Périmètre : 1 + 1 + 1 = 3

ABC rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore : A BC

AB²=BC²+AC²

1²=0,5²+AC²

AC²=1-0,25AC>0Donc : AC =

Donc l'aire de ABC :

2 ≈ 0,4331

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202015≈R=aire

3 0,144Triangle équilatéral

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202016 Le carré

Périmètre : 4x1 = 4

Aire : 1x1 = 1

1R=aire

périmètre=1

4=0,25

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202017 Hexagone régulier

L'hexagone régulier est

constitué de 6 triangles équilatéraux. L'aire de ces triangles a été calculé avant :

2×61

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202018Hexagone régulier

Périmètre : 6x1 = 6

Aire :

R=aire

6≈ 0,4331

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202019Conclusion :

L'hexagone régulier est le

polygone régulier le plus avantageux des pavages réguliers. Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202020Regardons maintenant quelques pavages avec des polygones irréguliers Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202021Rectangle

Périmètre : 2 + 2L

Aire :

Donc :1×L=L

R=L 2+2L1 L

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202022On va regarder comment évolue le rapport R en

fonction de L, la longueur du rectangle, qui est

L fois plus grande que la largeur.

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202023LR

1,50,3

2Environ 0,33

30,375

40,4

60,429

70,4375

300,48

1000,495

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202024 Remarque

R augmente quand L augmente ; ce

pavage devient plus intéressant que l'hexagone régulier lorsque L devient supérieur à 7. Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202025Les abeilles égyptiennes

Pavage du Caire

1Tous les côtés égaux

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202026Pavage du Caire 1 Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202027Périmètre : 1x5 = 5

Aire :

- Les 2 triangles rectangles : (1x1/2) x 2 = 1 - Il reste à trouver l'aire du triangle isocèle ABD, pour cela on doit trouver sa hauteur h. 1 h BDC est rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore :

Donc : DB²=1²+1²DB²=2DB>0

=0,52+h2 h2=2-0,25 h>0h2=1,75 h

Donc l'aire de ABD :

2 Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202029Finalement :

Périmètre : 5

Aire :

Donc : ≈ 0,33

Ce pavage est donc moins bien que celui de l'hexagone 2+11 h R= 2+1 5 Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202030De nombreux pavages existent comme ceux par exemple en combinant plusieurs polygones.Les abeilles fantaisistes

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202031Nous avons déjà étudié les deux figures de base on peut

reprendre nos résultats. La figure de base ici est constituée d'un hexagone régulier et d'un triangle équilatéral. Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202032On prend 1 comme longueur d'un des côtés.

Somme des côtés : 8

Aire (triangle + hexagone) :

Donc : ≈ 0,38 Ce pavage est donc moins bien que celui de l'hexagone R= 8 Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202033Côtés des polygones : 1 On regarde une partie du pavage constitué d'un polygone régulier à 12 côtés, de 3 carrés et de 2 hexagones réguliers.DCCChh Cette figure de base permet de reconstituer tout le pavage par translations : Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202034 Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202035Côtés des polygones : 1

Somme des côtés : 27

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202036360° 12 Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202037Il nous reste à calculer A.

Calcul de h :

Donc :

Donc l'aire du dodécagone :

tan15°=0,5 h0,5 h=0,5 tan15° 0,5 tan15°×1

2×12=3

tan15° Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202038Finalement :

Somme des côtés : 27

Aire : A = 3 + + ≈ 19,39

Donc : R ≈ 0,72

tan15°

Collège Alain Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202039Et, si on a affaire à des abeilles vraiment fantaisistes...

qui seraient capables de fabriquer des rayons de cire ressemblant à ça : ou plus exactement à ça :

Le nombre de côtés descendrait à 18.

On obtiendrait ainsi un rapport R inégalé :

R ≈ 1,08 !!!!

Collège A. Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202040FIN

Merci de nous avoir écoutés

Collège Alain Fournier - OrsayMATh.en.JEANS 2019 - 202041Notes d'édition

(1) Le plan de la ruche est consttué de polygones, les bords du polygone consttuent les alvéoles de la

ruche et la forme des polygones répond à la contrainte de minimiser leur périmètre, c'est-à-dire la

quantté de cire utlisée, tout en englobant la plus grande surface possible. (2) Les abeilles veulent maximiser le rapport R où

Est-ce vraiment un choix des abeilles ? D'où vient ce rapport ? Comment les auteurs ont-ils pu y penser ?

Un essai d'explicaton :

L'idée est de consommer le moins possible de miel, car il est utlisé par les abeilles pour fabriquer la cire

servant à bâtr les cloisons des cellules de la ruche. Or, la quantté de cire utlisée dépend du périmètre

des polygones : il faut donc trouver des polygones qui aient la surface la plus grande possible tout en

ayant le périmètre le plus pett possible.

Le rapport R est une quantté qui augmente quand l'aire augmente ou quand le périmètre diminue.

On est alors conduit à chercher des polygones pour lesquels ce rapport est le plus grand possible.R=aire

périmètrequotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] La ruche Un polygone régulier est

Comment calculer la somme des angles d'un polygone ?

Quelle est la somme des angles d'un polygone a n côtés ?

Quelle est la somme des angles d'un hexagone régulier ?

Asselain-Missenard

Une ruche d'abeille est un pavage du plan par des

Afin de consommer le moins de cire possible pour

R=aire

Quel est le meilleur pavage ?

Un polygone régulier est un polygone qui a :

360°.

Pour calculer l'angle du polygone, il faut

Pour trouver cet angle on divise 360° par le

Angle au centre :

2=54°

180°-72°

2×2=180°-72°=108°L'angle du polygone vaut :La somme des angles d'un triangle fait 180° ; de plus, OAB est

L'angle du polygone

Son angle au centre est : a =

L'angle du polygone est :

180°-360°

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 40 ;

45 ; 60 ; 72 ; 90 ; 120 ; 180 ; 360.

3 côtés,triangle équilatéral : a =

4 côtés, carré : a =

5 côtés, pentagone : a =

6 côtés, hexagone : a =

180°-360°

3=60°

180°-360°

4=90°

180°-360°

5=108°

180°-360°

6=120°NON !

Triangle équilatéralCarréHexagone

Prenons la longueur du côté : 1 unité

Périmètre : 1 + 1 + 1 = 3

AB²=BC²+AC²

1²=0,5²+AC²

AC²=1-0,25AC>0Donc : AC =

Donc l'aire de ABC :

2 ≈ 0,4331

3 0,144Triangle équilatéral

Périmètre : 4x1 = 4

Aire : 1x1 = 1

1R=aire

4=0,25

L'hexagone régulier est

2×61

Périmètre : 6x1 = 6

Aire :

R=aire

6≈ 0,4331

L'hexagone régulier est le

Périmètre : 2 + 2L

Aire :

Donc :1×L=L

L fois plus grande que la largeur.

1,50,3

2Environ 0,33

30,375

60,429

70,4375

300,48

1000,495

R augmente quand L augmente ; ce

Pavage du Caire

1Tous les côtés égaux

Aire :

Donc : DB²=1²+1²DB²=2DB>0

Donc l'aire de ABD :

Périmètre : 5

Aire :

Donc : ≈ 0,33

Somme des côtés : 8

Aire (triangle + hexagone) :

Somme des côtés : 27

Calcul de h :

Donc :