[PDF] [PDF] CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis





Previous PDF Next PDF



Sommes doubles 1 Sommes doubles `a indices indépendants

On les réorganise en ”commençant” par j: 1 ≤ j ≤ n et 1 ≤ i ≤ j. On en déduit que la somme double s'écrit : n. ∑ j=1. ( j. ∑ i=1 xij. ) . Si on ne somme 





sommes.pdf

les deux symboles sont néanmoins bien distincts). Indice muet et double somme Un changement d'indice permet parfois de calculer explicitement une somme.



LE SYMBOLE DE SOMMATION

5 2 3 10 (somme de la 4ième colonne). Pour effectuer la somme de tous les termes du tableau il faut faire varier les deux indices et utiliser une double somme 



Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes

27 févr. 2017 Propriété 2 : Changement d'indice. L'expression à l'aide du symbole C n'est pas unique. On peut écrire une somme avec des indices ...



Sommes doubles

. But: Calculer cette somme double. ∑. 1妻ij妻n aij. Pour cela



CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis Changements

changement d'indice calculez les sommes suivantes. 1. Sn = n. ∑ k=1 k2k. On ... de cette suite double. C'est i ou j suivant les cas. Justement



Mathématiques

Toute somme double s'écrit comme une somme de sommes cette trans- formation Avec le changement d'indice j = n − k



[PDF] Séries - Exo7 - Cours de mathématiques

un changement d'indice pour se ramener à une somme à partir de 0. Une autre Le fait que le carré soit compris entre les deux triangles traduit la double ...



Calculs de sommes

Ce changement d'indice revient a d ecaler les indices d'une unit e. Exemple termes de ces suites est dite double puisque deux indices varient. A ...



02 doubles sommations.pdf

pratique quand on cherche une formule close pour une somme double



Sommes doubles 1 Sommes doubles `a indices indépendants

On les réorganise en ”commençant” par j: 1 ? j ? n et 1 ? i ? j. On en déduit que la somme double s'écrit : n. ? j=1.



Sommes et produits

(n + m ? j) (changement d'indice pour retourner la somme) Remarque : Même s'il n'y a qu'un seul signe ? il s'agit bien d'une somme double.



CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis Changements

Exercice 5 : Somme de termes en progression arithmétique —. Exercice 8 : `A l'aide d'un changement d'indice calculez les sommes suivantes.



Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes

27 févr. 2017 On effectue un changement d'indice sur la deuxième somme : k ? k + 1 : ... 2 : Lorsqu'on somme sur deux indices on parle de somme double.



Sommation double : Fiche méthode

Double sommation. Soient n et p deux entiers naturels non nuls (ai) 1?i?n et (bi) 1?i?n deux suites de réels. Indices indépendants : ?.



sommes.pdf

Une somme peut se récrire en opérant un changement d'indice. La plupart du temps c'est un On a obtenu une somme emboîtée (je dirai aussi double somme).



LE SYMBOLE DE SOMMATION

Double somme . Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de ... Dans la première somme l'indice " i " varie de 1 à 5.



Chapitre IV : Calculs algébriques I La somme ? et le produit ?

ak+p. Proposition I.4 (changement d'indice). Exemple 8 : Soit n ? N? et Sn = ?n.



SOMMES PRODUITS

http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Cours%20-%20Sommes



[PDF] 02 doubles sommationspdf

Une somme qui dépend de plus d'un indice peut être sommée d'abord sur n'importe lequel de ses indices Pour ce faire il existe une loi de base appelée 



[PDF] Sommes doubles - Anthony Mansuy

Le syst`eme d'indices qui décrit la somme est 1 ? i ? n et i ? j ? n • On synthétise ces conditions : 1 ? i ? j ? n • On les réorganise en ”commençant” 



[PDF] sommespdf - Pascal Ortiz

Une somme peut se récrire en opérant un changement d'indice La plupart du temps c'est un On a obtenu une somme emboîtée (je dirai aussi double somme)



[PDF] Sommes doubles

L'indice i désigne le numéro de la ligne et l'indice j celui de la colonne La somme de tous les éléments de ce tableau But: Calculer cette somme double



Sommation/Exercices/Sommation double - Wikiversité

12 nov 2022 · Exercices de niveau 14 Exo préc : Changement d'indice Exo suiv : Formule du binôme 



[PDF] CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis

et en développant le second Changements d'indice et télescopages Exercice 8 : `A l'aide d'un changement d'indice calculez les sommes suivantes



[PDF] Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes

27 fév 2017 · On effectue un changement d'indice sur la deuxième somme : k ? k + 1 : 2 : Lorsqu'on somme sur deux indices on parle de somme double



[PDF] Sommation double - KlubPrepa

Double sommation Soient n et p deux entiers naturels non nuls (ai) 1?i?n et (bi) 1?i?n deux suites de réels Indices indépendants : ?



[PDF] Sommes et produits

Le principe des sommes télescopiques s'appuie sur le changement d'indices Même s'il n'y a qu'un seul signe ? il s'agit bien d'une somme double



Sommes et produits

19 sept 2022 · Pour faire un changement d'indices il faut des entiers consécutifs et le même nombre de termes dans les deux sommes Démonstration

  • Comment faire un changement d'indice sur une somme ?

    un changement par décalage d'indice : on pose l = k + j ?? k = l ? j où k est un entier fixé. un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose l = n ? k ?? k = n ? l. Après un changement d'indice, le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé

  • Comment calculer la somme double ?

    Pour calculer une somme double, on peut : si la famille à sommer s'écrit sous la forme ai,j=bi?j a i , j = b i × c j , reconnaître un produit de deux sommes : n?i=1p?j=1bicj=(n?i=1bi)(p?j=1cj).

  • Qu'est-ce qu'une double somme ?

    Observez que la borne peut être une des variables de la quantité à sommer. Une double somme est une somme de sommes, et on peut toujours intervertir les deux.
  • Ce que, moi, j'appelle une somme télescopique est une somme s'écrivant sous la forme : q?k=pak+1?ak qui se simplifie donc en aq+1?ap. D'une manière générale, b?k=a(f(k+1)?f(k))=f(b+1)?f(a), tous les autres termes s'étant "télescopés" mutuellement dans la somme.

MPSI du lyc´ee Rabelais

http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 11 septembre 2015

CALCULS ALG´EBRIQUES

Sommes et produits finis

Exercice 1 :Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies? 1. n? i=1(α+ai) =α+n? i=1a i 2. n? i=1(ai+bi) =n? i=1a i+n? i=1b i 3. n? i=1αa i=αn? i=1a i4. n? i=1(aibi) =n? i=1a i×n? i=1b i 5. n? i=1(aibi) =n? i=1? ain i=1b i? 6. n? i=1n j=1a i,j=n? j=1n i=1a i,j Exercice 2 :D´emontrez que pour tout entier natureln?N,

1.S1=n?

k=1k=n(n+ 1) 2

2.S2=n?

k=1k

2=n(n+ 1)(2n+ 1)

6

3.S3=n?

k=1k

3=n2(n+ 1)2

4.

Exercice 3 :Soitn?N.

1.En utilisant l"´egalit´en+1?

k=1k

2=n+1?

k=1? (k-1) + 1?2, et en d´eveloppant le second membre, retrouvez la valeur de la sommeS1=n? k=0k.

2.Utilisez une m´ethode analogue pour retrouver les valeurs des sommes

S 2=n? k=1k

2etS3=n?

k=1k 3

Exercice 4 :Soitn?N?. Factorisez la somme 1.n+2.(n-1)+···+(n-1).2+n.1.Exercice 5 : Somme de termes en progression arithm´etique -.Soit (uk) une

suite de nombres r´eels en progression arithm´etique. Soit(m,n)?N2tel quem < n.

Montrez que

n? k=mu k=um+un

2×(n-m+ 1).

Exercice 6 :D´emontrez par r´ecurrence que pour tout entier natureln?N? n k=1? k×k!?= (n+ 1)!-1.

Changements d"indice et t´elescopages

Exercice 7 :Soitn?N?.

1.Simplifiez l"expression deUn=n?

k=11 k(k+ 1)

2.Simplifiez l"expression deVn=n?

k=1k(k+ 1)!.

3.Simplifiez l"expression deWn=n?

k=2? 1-1 k2?

Exercice 8 :

`A l"aide d"un changement d"indice, calculez les sommes suivantes.

1.Sn=n?

k=1k2k.On poseraj=k-1.

2.Tn=n?

k=0cos

2?kπ

2n? .En posantj=n-k, on donnera une autre expression de T n; puis on calculera la valeur de2Tn.

Sommes doubles

Exercice 9 :Utilisez les r´esultats de l"Exercice 2pour calculer 1 1.? 2. 4. j

Coefficients du binˆome

Exercice 10 :Au moyen de la formule du binˆome de Newton, d´eveloppezf(x) = (1 +x)n. En d´eduire n k=0? n k? ,n? k=0(-1)k?n k? ,n? k=0k?n k? ,n? k=0(-1)k+1k?n k?

1.D´emontrez que?n

k?? k p? =?n p?? n-p n-k?

2.En d´eduire

S 1=k? p=0? n p?? n-p n-k? ; etS2=n? k=p(-1)n-k?n k?? k p? 2

MPSI du lyc´ee Rabelais

http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 11 septembre 2015

CORRECTION DES EXERCICES

Exercice 1 .-1. F; 2. V; 3. V; 4. ARCHIFAUX; 5. F 6. V.? Exercice 2 .-Par r´ecurrence, montrons la troisi`eme assertion : •Initialisation :lorsquen= 0, la somme est index´ee par le vide, elle est nulle.

•H´er´edit´e :Soitn?Ntel quen?

k=1k

3=n2(n+ 1)2

4. Montrons quen+1 h´erite

de cette bonne propri´et´e : n+1? k=1k 3=n? k=1k

3+n+1?

k=n+1k 3=n? k=1k

3+ (n+ 1)3

n2(n+ 1)2

4+ (n+ 1)3where HR comes into play

(n+ 1)24? n

2+ 4n+ 4?

(n+ 1)2(n+ 2)2

4c"est l"identit´ekivabien

•Conclusion :ainsi, la formule est vraie pourn= 0, elle est h´er´editaire `a partir den= 0. Par r´ecurrence, elle est donc vraie pour tout entier naturel.?

Exercice 3 .-

n+1? k=1k

2=n+1?

k=1? (k-1) + 1?2=n+1? k=1(k-1)2+ 2n+1? k=1(k-1) +n+ 1 n? k=0k

2+ 2n?

k=0k+ (n+ 1).`a l"aide des chgts d"indice?=k-1 puisk=?

On reconnaitS1au second membre. Il s"ensuit que

S 1=12? n+1? k=1k 2-n? k=0k

2-(n+ 1)?

12? (n+ 1)2-0-(n+ 1)? =n(n+ 1) 2 Pour le calcul deS2etS3, on utilise la mˆeme astuce dans le calcul den+1? k=1k 3et n+1? k=1k

4.?Exercice 4 .-La difficult´e r´eside essentiellement dans l"´ecriture de cette somme

finie `a l"aide d"un?.

1.n+ 2.(n-1) +···+ (n-1).2 +n.1 =n?

k=1k(n+ 1-k) = (n+ 1)n? k=1k-n? k=1k 2 = (n+ 1)S1-S2=n(n+ 1)(n+ 2) 6

Exercice 6 .-

•Initialisation :pourn= 1, on a bien 1×1! = 2!-1.

•H´er´edit´e :Soitn?N?tel quen?

k=1k×k! = (n+1)!-1. Montrons quen+1 h´erit´e de cette bonne propri´et´e : n+1? k=1(k×k!) =n? k=1k×k! + (n+ 1)×(n+ 1)! = (n+ 1)!-1 + (n+ 1)×(n+ 1)! HR inside! = (n+ 1)!×?1 + (n+ 1)?-1 = (n+ 2)!-1 •Conclusion :par r´ecurrence, on a prouv´e que pour tout entiern?N?, n k=1k×k! = (n+ 1)!-1.

Exercice 7 .-

1.•il s"agit de faire apparaitre1

k(k+ 1)comme diff´erence de deux termes cons´ecutifs d"une mˆeme suite, pour pouvoir t´elescoper. Pour sefaire, on ´ecrit 1 sous la forme 1 = (k+ 1)-k. Puis ¸ca roule! 3

•Remarquez en ce cas que pour toutk?N?,

k (k+ 1)!=(k+ 1)-1 (k+ 1)!=1 k!-1 (k+ 1)! •On factorise puis on s´epare ce produit en deux, ce qui permet de faire apparaˆıtre deux produits t´elescopiques : P n=n? k=2? 1 +1 k?? 1-1 k? =n? k=2? 1 +1 k? n? k=2? 1-1 k? n? k=2k+ 1 kn k=2k-1 k=?3

2×4

3··· ×n+ 1

n?? 1

2×2

3× ··· ×n-1

n? n+ 1

2×1

n=n+ 1 2n. Exercice 8 .- 1.Le changement d"indicej=k-1 donne : S n=n-1? j=0(j+ 1)2j+1=n-1? j=0j2j+1+n-1? j=02 j+1= 2n-1? j=0j2j+ 2n-1? j=02 j. Dans la deuxi`eme somme, on reconnaˆıt une progression g´eom´etrique. Pour la premi`ere, on ´ecrit : n-1? j=0j2j=n-1? j=1j2j=( (n? j=1j2j) )-n2n=Sn-n2n.

Par cons´equent,

S n= 2(Sn-n2n) + 21-2n

1-2= 2Sn-n2n+1+ 2n+1-2.

On en d´eduit que :Sn= (n-1)2n+1+ 2.

2.Le changement d"indicej=n-kpermet d"´ecrire :

T n=n? j=0cos

2?(n-j)π

2n? =n? j=0cos

2?π

2-jπ

2n? =n? j=0sin

2?jπ

2n?

On en d´eduit la valeur de 2Tn:

2Tn=Tn+Tn=n?

k=0cos

2kπ

2n+n? k=0sin

2kπ

2n=n? k=0? cos

2kπ

2n+ sin2kπ

2n? n? k=01 =n+ 1.Finalement,Tn=n+ 1 2.?

Exercice 9 .-Avec les notations de l"Exercice 3

1. i=1n j=1(i2+ 2ij+j2) n? i=1n j=1i

2+ 2n?

i=1n j=1ij+n? i=1n j=1j 2 n? i=1? i 2n? j=11? + 2n? i=1? in? j=1j? +n? i=1S 2 n? i=1(ni2) + 2n? i=1(iS1) +nS2 =nS2+ 2S21+nS2=n2(n+ 1)(7n+ 5) 6

2.Visualisez `a l"aide d"un sch´ema l"ensemble des indices. Il s"agit des points `a

coordonn´ees enti`eres d"un triangle. Apr`es reflexion, pour calculer cette somme double, on commence par sommer eni: j=2? j-1? i=1ij? =n? j=2? jj-1? i=1i? n? j=2? jj(j-1) 2? d"apr`es l"expression deS1 1 2? n? j=2j 3-n? j=2j 2? =1quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
[PDF] les étapes de la recherche scientifique pdf

[PDF] max i j

[PDF] methodologie de la recherche scientifique

[PDF] sommes doubles cours

[PDF] enfermer les poules la nuit

[PDF] poules en liberté dans le jardin

[PDF] les poules pondent le jour ou la nuit

[PDF] démocratisation du luxe mémoire

[PDF] sujet mémoire luxe

[PDF] memoire luxe pdf

[PDF] transcription phonétique française exercice

[PDF] somme math definition

[PDF] mémoire luxe et communication

[PDF] mémoire marketing luxe

[PDF] la démocratisation du luxe