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PCSI1Lycée MicheletONDES STATIONNAIRES

Table des matières

I. Superposition de deux ondes progressives. Ondes stationnaires. 2

1. Quelques simulations

2

2. Observation expérimentale : corde de Melde

3

3. Condition d"obtention d"une onde stationnaire

5 II. Expression mathématique d"une onde stationnaire 5

1. Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales

5

2. Description de l"onde stationnaire

6

3. Conditions aux limites et modes propres

7

4. Décomposition en mode propre

8

III.Autres exemples d"ondes stationnaires

9

1. Ondes acoustique stationnaires.

9

2. Autres exemples d"ondes stationnaires

10

Les ondes progressives sont solutions d"une équation dite équation d"onde qui est une équation

linéaire: on peut doncadditionnerles signaux correspondant à deux ondes progressives.

Remarque : pour des signaux de grande amplitude, la linéarité peut ne plus être vérifiée.

Jusqu"à présent on s"est intéressé à des ondes se propageant en milieu "ouvert". Lorsqu"un

milieu est limité, les ondes atteignant les frontières du milieu vont donner naissance à des

ondes réfléchies qui vont se superposer aux ondes incidentes... On va donc considérer dans un premier temps le cas simple de la superposition de deux ondes progressives 1D, se propageant dans des directions opposées. 1 I. Superposition de deux ondes progressives. Ondes sta- tionnaires.

1. Quelques simulations

réflexion d"une onde swf On observe tout d"abord la réflexion d"une perturbation (on sélectionne "signal"). Dans les

conditions de l"expérience la réflexion se fait avec inversion du signal : c"est le cas pour une

corde fixée à une de ses extrémités. superposition de deux signaux voir feuille de calcul SageMath : ipynb Sur cette première feuille de calcul, on superpose (i.eon additionne) deux signaux de profils inversés se propageant dans deux directions opposées (on peut imaginer une déformation sur une corde). À un moment les deux signaux s"annulent avant de se séparer à nouveau. superposition de deux ondes sinusoïdales progressives, de même amplitude et de même pul- sation, se propageant dans des directions opposées. voir feuille de calcul SageMath : ipynb Sur cette seconde feuille de calcul, on superpose deux ondes progressives sinusoïdales de même amplitude et de même pulsation qui se propagent à la même vitesse dans des directions oppo- sées : y

1(x;t) =Asin(!tkx)

y

2(x;t) =Asin(!t+kx+')

On n"observe plus de propagation : on parle alorsd"onde stationnaire. Contrairement à une onde progressive sinusoïdale,l"amplitude des oscillations dépend du point où on se place: on constate alors que certains points restent toujours immobiles (on les appelle desnoeudsde vibration), alors que d"autres oscillent avec une amplitude maxi- male (on les appelle desventresde vibration).L"écart entre deux noeuds successifs (ou entre deux ventres successifs) correspond à une demi-longueur d"onde des ondes progressives initiales. L"écart entre un noeud et un ventre successifs correspond à un quart de longueur d"onde des ondes progressives initiales. En retournant sur le site de la première simulation, mais en cliquant sur "sinusoïdal", on

observe la superposition du signal incident et du signal réfléchi, qui donne naissance à l"onde

stationnaire, pour laquelle le point de fixation, situé au niveau de l"obstacle, correspond à un

noeud de vibration. 2

2. Observation expérimentale : corde de Melde

La corde de Melde est une corde tendue fixée à ses deux extrémités (typiquement une corde

de guitare).

Elle peut fonctionner

e nmo delibre : on p incela corde et on la laisse ensuite vib rer.Compte ten udes frottemen ts avec l"air, la vibration s"atténue progressivement (exemple : corde de guitare, de piano...). e nmo deforcé : on en tretientles oscillations en fournissan tde l"énergie. Cela p ermetd"ob-

server des oscillations entretenues, les pertes énergétiques liées au frottement avec l"air étant

compensées par l"apport d"énergie due au vibreur (exemple : corde de violon, l"énergie étant

fournie par le frottement de l"archet sur la corde).

Expérience (réalisée en TP)

Le dispositif expérimental que l"on va utiliser est constitué d"une corde tendue à l"aide d"une

masse accrochée à une de ses extrémités. De l"autre côté un vibreur fait osciller de point d"at-

tache avec une amplitude très faible.On met en marche le vibreur et on observe... en général pas grand chose au départ. Cependant

si on modifie la fréquence du vibreur, on constate quepour certaines fréquencesune onde stationnaire apparaît : c"est le phénomène derésonance.

L"amplitude des oscillations du vibreur étant très faible devant l"amplitude de vibration maxi-

male de la corde à la résonance, on peut considérer que l"extrémité de la corde reliée au vibreur

est fixe.

On peut visualiser l"expérience sur le site :

ainsi que l"animation melde.html 3 Pour la fréquence la plus basse, notéef1, on observe :pourf2= 2f1pourf3= 3f1etc... On constate que la corde n"entre en vibration que pour certaines fréquences ditesfréquences propresoufréquences de résonance. On constate que ces fréquences sont des multiples def1dite fréquence du fondamental.

Les différentes configurations associées sont appeléesmodes propresde vibration de la corde.

Utilisation du stroboscope (voir TP)

Un stroboscope permet d"éclairer la corde grâce à des flashes très courts, émis avec une période

T strobo(et donc une fréquencefstrobo= 1=Tstrobo). Pour que la corde apparaisse fixe, il faut que la période du stroboscope soit un multiple de la

période du signal :Tstrobo=nT, et donc que sa fréquence soit un sous multiple de la fréquence

du signalfstrobo=fn . La fréquence maximale utilisable est doncf, puis ensuite, par ordre décroissantf=2,f=3etc... On se place en général à la fréquence maximalefstrobo=f.

Supposons que l"on ait réglé le stroboscope àfstrobo=f. Si on souhaite décomposer le mouve-

ment il suffit de décaler légèrement la fréquence du stroboscope. AinsiTstrobo=T+t.

Sit <0(on a augmenté légèrement la fréquence), la corde n"a pas tout à fait rejoint la

position qu"elle occupait au flash précédent.

Sit >0(on a diminué légèrement la fréquence), la corde a dépassé la position qu"elle occupait

au flash précédent. 4

3. Condition d"obtention d"une onde stationnaire

Prenons l"exemple de la corde de Melde : la corde est fixée à ses deux extrémités : ces deux

extrémités doivent donc coïncider avec des noeuds de vibration. Or deux noeuds de vibration sont au moins distants d"une demi-longueur d"onde.Ldoit donc vérifier la condition, pour un mode donné : L=nn2 avecn2Non peut alors en déduire les fréquences possibles, puisquen=cTn=cf n:

L=nc2fn

On aura donc vibration pour les fréquencesfvérifiant : f n=nc2L=nf1avecn2Navecf1=c2Lfréquence du mode fondamental. II. Expression mathématique d"une onde stationnaire

1. Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales

Considérons le cas le plus général de la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales

de même amplitude et de même pulsation, se propageant dans des directions opposées : y(x;t) =y1(x;t) +y2(x;t) =Asin(!tkx+'1) +Asin(!t+kx+'2) =A[sin(!tkx+'1) + sin(!t+kx+'2)] en utilisant la relation trigonométrique :sinp+ sinq= 2sinp+q2 cospq2 on obtient y(x;t) = 2Asinquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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