[PDF] Sommes et produits Il vise à introduire trois notations

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BCPST1Sommes et produits

" Jeune homme, en mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s"y habitue. »

J. von Neumann (1903-1957)

Ce chapitre est purement calculatoire. Il vise à introduire trois notations et à les manipuler.1 Le symbole somme Pourq6= 1fixé, la somme des puissances deqa été vue au lycée : q

0+q1+q2+q3++qn=1qn+11q

L"utilisation des points de suspension pour écrire cette somme rend l"écriture assez lourde et potentiellement ambigüe. Ce chapitre introduit une notation plus ramassée n X k=0q k=q0+q1+q2+q3++qn Cette notation se lit comme une boucleforen informatique : kva prendre toutes les valeurs successives de0(borne du bas) jusqu"àn(borne du haut) Pour chaque valeur dekon rajoute le nombreqk(à droite du signe somme) au résultat précédent.kq ksomme partielle jusqu"àk0q 0= 11 1q

1=q1 +q2q

21 +q+q2:

::nq n1 +q+q2++qn=1qn+11qOn peut ensuite varier les plaisirs :

Exemple

n X k=01 = 1 + 1 ++ 1|{z} n+1fois=n+ 1 Si on veut sommer lesqkà partir de5et jusqu"àn1pourq6= 0, on écrit : n1X k=5q k=q5+q4++q0+q1++qn1 BCPSThttps://molin-mathematiques.frSoientm2Zetn2Z, avecmn,

Soit(am;am+1;;an)une liste de nombres1.

On définit la somme desakpourkvariant demànpar n X k=ma k=am+am+1++an

On note également :

nX k=ma k=X mkna k=X k2[[m;n]]a k

Pourm > n, la somme est vide et vaut 0 :nP

k=ma k= 0Notation(Utilisation du symboleP) L"usage des points de suspension pour définir la notation somme n"est pas parfaite- ment satisfaisante. D"un point de vue purement formel, on préfèrerait donc une définition qui s"appuie sur le caractère récursif de la somme. En effet, si on sait définir une somme jusqu"au rangn, alors il suffit de rajouter un seul élément pour avoir une somme jusqu"au rangn+ 1. Ainsi, on peut formuler une définition équivalente de la somme à l"aide du principe de récurrence : Initialisation - somme vide :Pour tout(m;n)2Z2avecm > n,nX k=ma k= 0: Hérédité :Pour tout(m;n)2Z2avecmn+ 1,n+1X k=ma k=nX k=ma k+an+1.Définition 1.1(Définition d"une somme par récurrence)

Exemple

Soita2R;calculernX

k=0a.

Solution :1:Cette notation est valable pour tout objet mathématique pour lequel une opération associative

" somme » a été définie (pour certaines formules, la commutativité est aussi nécessaire). Ce n"est

pas spécifique aux nombres : cette notation sera utilisée plus loin pour sommer des vecteurs par

exemple.Remarques : 1. L"indice ne recule pas: sim > n, c"est-à-dire si la borne du bas est plus grande que celle du haut, alors la somme est vide et vaut0par convention.

Exemple :

5X k=72 k= 0:

2.kestl"indice de sommation, on dit que l"indice estmuet. Cela veut dire qu"il

ne sert qu"à l"intérieur de la somme et qu"on peut changer son nom sans changer la valeur de la somme.

Exemple :nX

k=02 k=nX i=02 i=nX j=02 j On utilise souvent une des lettresi;joukcomme indice. 3. L"indice n"a de sens qu"à l" intérieurde la somme ; en dehors, il n"est plus défini. S"il vous reste un indice dans l"expression après le calcul de la somme, c"est que vous vous êtes trompé 2.

Exemple

Chercher l"erreur :

nX n=0q n:

Solution :

Pour tout(m;n;p)2Z3avecmpn,nX

k=ma k=pX k=ma k+nX k=p+1a k.Propriété 1.2(Relation de Chasles) Cette relation permet simplement de faire une petite pause au milieu du calcul. At- tention néanmoins à bien recommencer à l"indicep+ 1, et non à l"indiceppour ne

compter qu"une seule foisap.2:Ce n"est pas le cas en Python où on peut récupérer la valeur du dernier indice d"une boucle

foraprès la fin de la boucle.

BCPST32 Méthodes de calcul

A Linéarité

La somme est linéaire, c"est-à-dire que

pour toutes les suites(un)et(vn), et pour toute constante, on a

8(m;n)2Z2;nX

k=m(uk+vk) =nX k=mu k+nX k=mv kPropriété 2.1(Linéarité de la somme)

Preuve

Pour toutm2Z, on prouve le résultat par récurrence surn, à partir de la définition de la somme. Remarque :Dans la récurrence, seul "n» doit varier. on ne fait jamais de récurrence sur un couple de valeurs, mais seulement sur un nombre entier.

Rédaction formelle :

Pourm2Zquelconque fixé,

Sin < m, alors le résultat est vrai (toutes les sommes sont vides et donc nulles). On démontrer le résultat pournmpar récurrence surn.

Pour toutnm, on définit la propriété

P m(n) :"nX k=m(uk+vk) =nX k=mu k+nX k=mv k»

Initialisation :pourn=m, le résultat est vrai.

Hérédité :on suppose que le résultat est vrai pour un certainnmquelconque fixé, et on le montre alors pourn+ 1. n+1X k=m(uk+vk) =nX k=m(uk+vk) + (un+1+vn+1) =nX k=mu k+nX k=mv k+un+1+vn+1(par hypothèse de récurrence) nX k=mu k+un+1! +nX k=mv k+vn+1 =n+1X k=mu k+n+1X k=mv k

D"où le résultat vrai au rangn+ 1.

Ainsi, par principe de récurrence,8nm,Pm(n)est vraie. Par disjonction des cas, on a prouvé ce résultat pour toutn2Z(àmfixé).

Et commemétait supposé quelconque, le résultat est vrai pour tout(m;n)2Z2.Avec les notations précédentes,

n X k=m(uk+vk) =nX k=mu k+nX k=mv ketnX k=mu k=nX k=mu kCorollaire 2.2

Exemple

Calculer

nX k=03 k2k.

Solution :

B Changements d"indices

Commençons par un exemple :

n X k=0(k+ 1)2= 12+ 22++n2+ (n+ 1)2=n+1X j=1j 2 Dans cet exemple, nous avons changé d"indice : au lieu de calculer pourk2[[0;n]], nous avons poséj=k+ 12[[1;n+ 1]]ce qui simplifie l"expression de la somme. k2[[0;n]]j=k+1()j2[[1;n+ 1]] Remarque :Comme l"indice est muet, on peut garder la lettrekdans la seconde somme. On n"est pas obligé de la remplacer parj(même si c"est plus facile au début).

BCPSThttps://molin-mathematiques.frLe décalage d"indice revient à utiliser un indice translaté d"une valeur fixe.

Par exemplej=k1ouj=k+ 1.BLes bornes sont aussi translatées. n X k=ma k+1=n+1X j=m+1a j

Pour ne pas se tromper :

On repère le changement d"indice que l"on souhaite réaliser, par exemplej=k+ 1dans le cas ci-dessus pour transformerak+1enaj. On cherche à la main les premières et dernières valeurs de la somme. par exemple, on commence pourk=mavecak+1=am+1=aj, il faut donc que la nouvelle somme commence àj=m+ 1, la somme se termine aveck=n, c"est-à-direak+1=an+1=aj, donc la nouvelle somme finit avecj=n+ 1. Il doit y avoir le même nombre d"éléments dans les deux sommes : si je repousse

la borne inférieure de1, alors la borne supérieure doit être repoussée d"autant.Méthode(Décalage d"indice)

Exemple

Calcul de la somme géométrique :

nP k=0qkavecq6= 1.Solution : Pour inverser l"ordre de sommation (lire la somme en sens contraire) pourkvariant de0àn, on remplacekparj=nkqui varie de0àn. n X k=0a nk=nX j=0a j Tester les bornes à la main pour ne pas se tromper.Méthode(Inversion de l"ordre de sommation) BOn doit conserver une borne de début de somme qui est inférieure à la borne de fin de somme pour ne pas avoir une somme vide. Dans le cas général, pourkvariant demàn, on posej=n+mk: n X k=ma k=nX j=ma n+mj Mais ceci n"est pas à apprendre par coeur, on le retrouve facilement à la main sur les cas concrets.

Exemple

Calculer la somme arithmétique :Sn=nX

k=0k.

BCPST5Solution :

C Sommes télescopiques

Le principe des sommes télescopiques s"appuie sur le changement d"indices. La méth- ode en elle-même est très simple. La vraie difficulté est d"y penser et de repérer les sommes télescopiques en les mettant sous la bonne forme. n X k=m(ak+1ak) =an+1amMéthode(Somme télescopique)

BIl faut être vigilant sur les termes qui restent et ne pas hésiter pas à faire le détail

à la main aux deux extrémités de la somme. n X k=m(ak+1ak) =am+1am +am+2am+1 +am+3am+2 anan1 +an+1an=an+1amPreuve nX k=m(ak+1ak) =nX k=ma k+1nX k=ma k(linéarité) n+1X k=m+1a knX k=ma k(chang. d"indicek+ 1remplacé park) =an+1+nX k=m+1a k nX k=m+1a k+am! (on sort les termes extrémaux pour obtenir les mêmes bornes) =an+1am Pour aller un peu plus vite dans la rédaction, nous avons coupé une étape dans le changement d"indice. On aurait pu commencer par poserj=k+ 1puis ensuitek=j. Nous avons fait les deux manipulations d"un coup.Exemple

Calcul de la somme des

1k(k+ 1).

Solution :

Exemple

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