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P2:doc 9Des sommes, des produits2015-2016

I Les symboles?et?

I.1 Mise en place d"une notation

•Une sommefiniede nombre réels ou complexes notéesa1,a2,...,ans"écrita1+a2+...+an. Une notation plus

compacte, utilisée dans l"enseignement supérieur est (1) k=n? k=1a kou de manière simplifiéen? k=1a k Exemple 1Soitm?[[1,n]], écrire en utilisant le symbole? , la sommeam+...+an.

•Un produitfiniede nombre réels ou complexes notéesa1,a2,...,ans"écrita1×a2×...×an. Une notation plus

compacte est (1) k=n? k=1a kou de manière simplifiéen? k=1a k Exemple 2Soitm?[[1,n]], écrire en utilisant le symbole? , le produitam×...×an.

Dans les expressions (1) et (2), la lettrek, appeléeindice, est une variablemuette, ce qui signifie que l"on peut

changer son nom sans changer la somme : n k=1a k=n? i=1a i(comportement identique dans les produits)

I.2 Propriétés

Propriété de linéarité de la somme:Si (aj)1?j?net (bj)1?j?nsont deux suites finies de nombres réels ou

complexes, siλest un réel ou un complexe, alors : n j=1(aj+bj) =n? j=1a j+n? j=1b jetn? j=1(λaj) =λn? j=1a j

Règles de calculs pour les produits: Si (aj)1?j?net (bj)1?j?nsont deux suites finies de nombres réels ou

complexes, siλest un réel ou un complexe, alors : n j=1(ajbj) =n? j=1a j×n? j=1b jetn? j=1(λaj) =λnn? j=1a j

I.3 Des exemples incontournables

•Somme d"entiers consécutifs, de carrés d"entiers consécutifs, de cubes d"entiers consécutifs

Écriture avec " points de suspension »

1 + 2 +...+n=......

1

2+ 22+...+n2=......

1

3+ 23+...+n3=......

Écriture avec?

EXERCICE 1Soitaetb, deux nombres réels ou complexes. Calculern-1? k=0(ak+b).

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•Somme d"une progression géométriqueLa formule donnant la somme d"une progression géométrique s"écrit

?a?C,a?= 1,n?N,1 +a+a2+...+an=n? k=0a k=an+1-1 a-1 •Nombres harmoniquesPourn?N?, on définit le n-èmenombre harmoniqueHnparHn=n? s=11 s

Les nombresHninterviennent fréquemment en mathématiques. On ne disposepas de formule simple " non

sommatoire » pourHnmais l"on peut obtenir une estimation deHnen utilisant les intégrales (leçon à venir en

obligatoire), on obtient lnn?Hn?1 + lnn→Conséquence pour la suite (Hn)n?1:

•Si l"on notePune loi de probabilité sur un univers Ω etXune variable aléatoire définie sur Ω telle que

X(Ω) ={x1,x2,...,xn}(valeurs prises par la variable). L"espérance de la variableX, notéeE(X), est égale à ......

Écrire son expression en utilisant le symbole

I.4 Des exercices d"application

EXERCICE 2Soitrun nombre réel appartenant à ]-1,1[. Pourn?N, on poseSn=n? j=0r j. Déterminer la limite deSnlorsquentend vers +∞. Proposer une notation pour cette limite.

EXERCICE 3On pose, pourn?N?,

u n=2n? k=n1 k Simplifierun+1-unet en déduire la monotonie de (un)n?1. EXERCICE 41. Trouver une relation de récurrence entreHnetHn-1pour toutn?1.

2. Montrer que pour tout entiern?2,

n-1?k=1H k=nHn-n

EXERCICE 5En utilisant la formule de la progression géométrique et la dérivation, calculer, pour toutxréel etn

dansN?, S n(x) =n? k=0kx k

On distinguera le casx= 1. Pour-1< x <1, déterminer la limite de la somme précédente lorsquentend vers +∞.

EXERCICE 6On lance un dé équilibré. On répètenfois l"opération, les lancers successifs étant supposés indé-

pendants. SoitXla variable aléatoire donnant le premier instant d"apparition d"un 6, en convenant queX= 0 si 6

n"apparaît pas. Déterminer l"espérance deX. Quelle est sa limite lorsquentend vers +∞?

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I.5 Sommes télescopiques

D"ordinaire le calcul d"une somme est une tâche complexe. Dans certaines situations, cela est plus aisé, d"où l"intérêt

de ne pas s"en priver lorsque c"est possible : Soient (an)n?Net (bn)n?Ndeux suites complexes qui ont la particularité d"ête liées par ?n?N, an=bn+1-bn

On a alors

n? k=0a k=bn+1-b0 démonstration:

I.5.1 Des exemples classiques

On a pour toutk?N,(k+ 1)2-k2=.........,

Calculer

n?k=02k+ 1, en déduiren? k=02k, puis retrouvern? k=0k Pour toutx /? {0;1}, déterminer les réelsaetbtels que 1 x(x+ 1)=ax+bx+ 1

En déduire que pour tout entiern?1,n?k=11

k(k+ 1)= 1-1n+ 1 Calculer la limite, lorsquentens vers +∞, den? k=11 k(k+ 1). Comment peut-on écrire cette limite?

Application :Obtenir une majoration den?

k=11k2

Point de départ : Pour toutk?2,1

k2?.........

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I.5.2 Des exercices d"application

EXERCICE 7:

Pourn?N?, simplifier

n k=1ln? 1 +1 k? Quelle est la limite de cette expression lorsquentend vers +∞?

EXERCICE 8:

Déterminer trois réelsa,betctels que

?x /? {0;-1;-2},1 x(x+ 1)(x+ 2)=ax+bx+ 1+cx+ 2

En déduire une expression simple de

S n=n? k=11 k(k+ 1)(k+ 2) Quelle est la limite de (Sn)n?1lorsquentend vers +∞?

EXERCICE 9:

Déterminer trois réelsa,betctels que, siPest le polynôme de degré 3 défini parP(x) =ax3+bx2+cx, on ait

?x?R, P(x)-P(x-1) =x2

En déduire une expression simple de

n k=1k 2 EXERCICE 10: Encadrement du n-èmenombre harmoniqueHn 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

O?? n 1 ?i ?j kk+ 1

Cf.invSoitk?N?.

Le point de départ est l"encadrement de la portion d"aire située au-dessus de l"axe des abscisses, sous la courbe de la fonction inverse et entre les droites d"équationsx=ketx=k+ 1.

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II Les coefficients binomiaux

II.1 Problématique

Soitnun entier supérieur ou égal à 1.

néléments dans un ensemble finiE.

Soitkun entier compris entre 1 etn.

Je forme une partie dekéléments distincts non ordonnés.

Combien de parties puis-je former?

II.2 Deux cas particuliers

Combien de parties ànéléments peut-on former dans un ensembleEànéléments? (k=n)

Combien de parties à 1 seul élément peut-on former dans un ensembleEànéléments? (k= 1)

Notations :

II.3 Une formule intéressante

Je suppose que je connais le nombre de parties àkéléments dans un ensemble ànéléments.

Combien de parties àn-kéléments peut-on former? (k= 1)

II.4 Une définition et des formules

Définition : Une partie àkéléments distincts non ordonnés dans un ensemble ànéléments s"appelle une

combinaison. (1?k?n) Le nombre de combinaisons dekéléments dans un ensemble ànéléments se note?n k?et se lit "kparmin». On a établi et on admet les formules suivantes :

•?n

k? =n! k!(n-k)!sik?[[0,n]], et 0 dans les autres cas.

•Formule de symétrie : pourn?Netk?N, on a?n

k? =?n n-k?

•Formule de Pascal : Pourn?N?etk?N, on a?n

k? =?n-1 k? +?n-1 k-1?

La formule du triangle de Pascal permet de calculer de procheen proche les coefficicnets binomiaux en les disposant

en pyramide : c"est letriangle de Pascal. 1 1 1 1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4

1

1 5 10 10 51

On obtient un terme en ajoutant le terme de la case au-dessus et celui de la case au-dessus à gauche.

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Formule du binôme de Newton: Soitn?N,aetbdeux nombres réels ou complexes. Alors, (a+b)n=n? k=0? n k? a kbn-k

EXERCICE 11Calculern?

k=0? n k? III Des exercices et des exemples de calculs de sommes

EXERCICE 12Calculeran=n?k=12

k3n-ketn-1?k=0? n k? 2 k3n+k

EXERCICE 13?n?N?, un= 1-1

2+13-14+...+12n-1-12n.

1. Écrireunen utilisant le symbole Σ.

2. Montrer que la suite (un)n?Nest monotone.

EXERCICE 14?n?N?, un=1

n2+2n2+...+nn2.

1. Écrireunen utilisant le symbole Σ.

2. Montrer que la suite (un)n?Nconverge vers1

2.

EXERCICE 15?n?N?, un=n?

k=0k×k!. En transformantunsous la forme d"une somme télescopique, calculerun.

EXERCICE 16?k?N, uk+1=2

3uketu0= 4.

SoitSn=n?

k=0u k. CalculerSn, puis la limite deSnlorsquentend vers +∞. EXERCICE 17En utilisant la fonction polynomialef:x?-→(1 +x)n, calculer les sommes suivantes :

•T=n?k=1k?n

k?

•R=n?

k=1k 2?n k? EXERCICE 18Calculer la sommeSn=2n?k=0(-1)kk2. Réponse :Sn= 2n2+n

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