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Géométrie dans l"espace à trois dimensions

Prof. VladimirRoubtsov

vladimir.roubtsov@univ-angers.fr

4 février 2016

1.

V ecteurs

SoitE3l"espace à trois dimensions. En tant qu"ensemble, il s"agit deR3. Les éléments deE3sont

appeléspointsdeE3et notés avec des lettres majuscules. Un pointPdeE3est donc la donnée d"un triplet(xP;yP;zP)avecxP,yPetzPtrois réels. Mais on sait queE3possède une structure d"espace vectoriel, la structure d"espace vectoriel

canonique surR3. Pour définir rigoureusement la notion de vecteur à partir de la notion de point

géométrique, on introduit une relation d"équivalence surE3E3appelée équipollence et notée.

Définition 1:Unbipoint(A;B)deE3E3estéquipollentà un autre bipoint(C;D)si et seulement si ABCD est un parallélogramme. Unvecteuru=!ABest alors la classe d"équivalence du bipoint(A;B)pour la relation d"équipollence. On dira queAest l"originedeuetBest

l"extrémitédeu.Les vecteurs deE3seront notés avec une lettre minuscule (accompagnés éventuellement d"une

flèche). L"ensemble des vecteurs est alors l"espace quotient(R3R3)=que l"on identifie encore 1

àR3par l"application :

(xA;yA;zA);(xB;yB;zB)

7!(xBxA;yByA;zBzA)

ce qui permet de définir lescomposantesd"un vecteur!AB=!BA, que l"on notera par : fxBxA;yByA;zBzAg Ces composantes sont indépendantes de la valeur des coordonnées des pointsAetB, mais dé-

pendantes de leurs différences, c"est-à-dire de la relation géométrique qu"il y a entre les pointsA

etB. Comme d"habitude on définit l"opération de multiplication d"un vecteur par un nombre réel

et l"opération d"addition de deux vecteurs; au niveau des composantes cela se traduit par la multiplication parde chaque composante et l"addition des composantes des deux vecteurs. On

retrouve ainsi la structure d"espace vectoriel bien connue surR3, et nous pouvons utiliser l"algèbre

linéaire pour faire de la géométrie. Ladistance euclidienneentre deux pointsAetBdeE3est donnée par la formule :

AB=p(xBxA)2+ (yByA)2+ (zBzA)2

Ce qui permet de définir lanorme euclidiennek!ABkdu vecteur!ABpar la distanceAB=BA qui sépare son origineAde son extrémitéB. Autrement dit, siu=fu1;u2;u3gon a :kuk=qu

21+u22+u23On dira que les vecteursu=fu1;u2;u3getv=fv1;v2;v3gsontorthogonauxsi l"angle qu"ils

forment est droit. Nous verrons plus loin une formule en termes de composantes, mais pour cela il

faut introduire la notion de produit scalaire.On appelerarepèredeE3la donnée d"un pointOpoint quelconque deE3et de trois vecteurs

e

1,e2ete3d"origineOqui de plus forment une base deE3au sens de l"algèbre linéaire. On

2 notera ce repèreR= (O;e1;e2;e2), le pointOest appeléoriginedu repère. On dira de plus qu"il estorthonormé(ou de Descartes) si les vecteurse1,e2ete3sont de norme1et deux à deux

orthogonaux.Grâce à la donnée d"un repère, chaque pointMdeE3a unique un vecteur qui lui correspond :!

OM=x1e1+x2e2+x3e3oùx1,x2etx3sont trois réels appeléscoordonnées affinesdeM, qui ne sont rien d"autre que

les composantes du vecteur !OMdéfinies ci-dessus. Dans le cas où le repère est orthonormé, on

parle decoordonnées cartésiennes. On a ainsi défini unsystème de coordonnées(affines ou

cartésiennes) surE3. Nous pouvons également définir les espacesE2etE1, respectivement de dimension2et1, ainsi que toutes les notions associées comme ci-dessus. 2.

Droit esdans E2

Soit(O;e1;e2)un système de coordonnées affines surE2et soit`une droite de vecteur directeur v=f;g. SoitM0= (x0;y0)un point fixé (souvent appelé origine) de la droite`et soitM= (x;y) un point arbitraire de cette droite.3

Mappartient à la droite`équivaut au fait que les vecteursvet!M0Msont colinéaires, c"est-à-

dire !M0M=tvoùtest un réel quelconque. En écrivant cette équation en composantes on obtient uneéquation paramétriquede la droite`:8 >:x=x0+t y=y0+tce qu"on peut également écrire comme unerelation de proportionalité:xx0 =yy0 ces quotients étant tous égaux au paramètretde l"équation paramétrique. On considère une équation d"une droite dans le planE2écrite sous la forme d"une relation de proportionalité : xx0 =yy0 ; 2+26= 0 C"est équivalent à l"égalité(xx0) =(yy0)ou encorexy+ (y0x0) = 0. Ce

qui signifie que chaque droite du plan peut être représentée comme l"espace des solutions d"une

équation linéaire non triviale à deux variables :Ax+By+C= 0; A2+B26= 0(1)

Réciproquement, considérons une telle équation linéaire (1). Soity02Run réel quelconque

et soitx0=C+By0A (on peut supposerA6= 0), alors(x0;y0)est une solution particulière de (1). Maintenant considéronsx=Bety=A, il est facile de vérifier que c"est une solution (non triviale) de l"équation homogènecorrespondante :

Ax+By= 0(2)

Orrg(2)= 1et le nombre de variables de cette équation est2, donc par la théorie générale des

systèmes linéaires,(B;A)est une solution de base et la solution générales s"écrit comme :8>><

>:x=x0Bt y=y0+At

avect2R. On reconnaît l"équation paramétrique d"une droite d"origineM0= (x0;y0)et de vecteur

directeurv=fA;Bg. On a donc montré : 4 Proposition 1:Soit`un sous-ensemble dans le planE2. Alors`est une droite si et seulement si `est l"ensemble solution d"une équation linéaire non triviale à deux variables :

Ax+By+C= 0; A2+B26= 0(3)

3.

Plans dans E3

Soit(O;e1;e2;e2)un système de coordonnées affines surE3. On considère un pointM0= (x0;y0;z0), deux vecteursu=f1;1;

1getv=f2;2;

2gsupposés linéairement indépendants

(non colinéaires). Ce pointM0et ces deux vecteursuetvforment un plan deE3que l"on notera

. SoitM= (x;y;z)un point arbitraire de.On peut considérer(M0;u;v)comme un repère de. Dans ce repère on a!M0M=tu+svce

qui se traduit en coordonnées par :8 >>>>:x=x0+t1+s2 y=y0+t1+s2 z=z0+t 1+s 2(4) avecsettdeux réels arbitraires. On obtient ainsi uneéquation paramétriquedu plan. Considérons l"équation linéaire à trois variables : 12 1 2 (xx0) 12 1 2 (yy0) + 12 12 (zz0) = 0 ou encore :Ax+By+Cz+D= 0(5) 5 avec : A= 12 1 2 ; B= 12 1 2 ; C= 12 12 ; D=x0 12 1 2 +y0 12 1 2 z0 12 12 (5) est une équation non triviale. En effet, considérons la matrice 0 11 1 22
21
A dont le rang vaut2parce queuetvsont linéairement indépendants. Alors on a un mineur non

trivial parmiA,BetC. Vérifions que chaque point satisfaisant l"équation paramétrique (4) est

une solution de (5) : 12 1 2 (t1+s2) 12 1 2 (t1+s2) + 12 12 (t 1+s 2) =t0 12 1 2 1 12 1 2 1+ 12 12 11 A +s0 12 1 2 2 12 1 2 2+ 12 12 21
A =t 112
112
1 1 2 +s 212
212
2 1 2 =t0 +s0 = 0

Réciproquement, considérons l"équation

Ax+By+Cz+D= 0; A2+B2+C26= 0(5)

Sans perte de généralitéA6= 0. Soity0etz0deux réels arbitraires. Soitx0=1A (D+By0+Cz0), alorsM0= (x0;y0;z0)est une solution particulière de (5). Orrg(5)= 1et le nombre d"inconnues

est3donc d"après la théorie générales des systèmes linéaires il y a deux solutions de base de

l"équation homogène :

Ax+By+Cz= 0

6

Siu=f1;1;

1getv=f2;2;

2gdésignent ces solutions de base, alorsuetvsont linéairement

indépendants. Une solution générale de (5) peut donc s"écrire sous la forme :

8>>>>><

>>>>:x=x0+t1+s2 y=y0+t1+s2 z=z0+t 1+s 2

qui est une représentation paramétrique d"un plandéterminé parM0,uetv. On a donc montré :

Proposition 2:Soitun sous-ensemble deE3. Alorsest un plan si et seulement siest l"ensemble solution d"une équation linéaire non triviale à trois variables :

Ax+By+Cz+D= 0; A2+B2+C26= 0(6)

4.

Droit esdans E3

Soit(O;e1;e2;e3)un système de coordonnées affines surE3et soit`une droite de vecteur directeurv=f;; g. SoitM0= (x0;y0;z0)un point fixé (souvent appelé origine) de la droite` et soitM= (x;y;z)un point arbitraire de cette droite.Mappartient à la droite`équivaut au fait

que les vecteursvet!M0Msont colinéaires, c"est-à-dire!M0M=tvoùtest un réel quelconque. En

écrivant cette équation en composantes on obtient uneéquation paramétriquede la droite`:8

>>>>:x=x0+t y=y0+t z=z0+tquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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