[PDF] Rotation à long terme des corps célestes et application à Cérès et

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Remerciements

Je remercie tout d"abord mon directeur de thèse, Jacques Laskar, de m"avoir permis de réaliser

cette thèse au sein de l"Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Éphémérides (IMCCE) et de

m"avoir initié à la mécanique céleste. Je le remercie également de la confiance qu"il m"a témoignée en

me permettant de travailler dans le cadre de cette thèse sur les intégrateurs symplectiques du corps

solide. Je le remercie beaucoup pour ses conseils et son soutien constant tout au long de ce travail, qui

en a permis l"achèvement. Je remercie Nicolas Rambaux pour l"aide qu"il m"a apportée notamment par ses explications sur

la rotation et la structure interne des corps. Je le remercie aussi pour sa relecture attentionnée du

manuscrit et de m"avoir permis de participer à l"encadrement du projet de nanosatellite METEORIX. Je remercie Antonella Barucci, Anne Lemaître, Nicolas Rambaux, Françoise Roques, Paolo Tanga et Gilles Vilmart d"avoir accepté de prendre part à ce jury.

J"ai réalisé ma thèse au sein de l"équipeAstronomie et Systèmes Dynamiquesde l"IMCCE, où règne

la bonne humeur et la tranquillité. Je remercie ainsi l"ensemble des personnes de l"équipe pour leur

disponibilité et leur sincérité.

Je remercie notamment Mickaël Gastineau pour sa grande disponibilité et son aide précieuse pour

résoudre les nombreux problèmes informatiques que j"ai rencontrés. Je le remercie aussi pour les nom-

breux développements effectués sur TRIP, qui ont grandement facilité ce travail. Je remercie également

Hervé Manche pour ses explications sur INPOP et les systèmes de référence et Frédéric Dauvergne pour

son aide pour la résolution de nombreux problèmes numériques et ses conseils.

Je remercie pour sa disponibilité et sa gentillesse Agnès Patu, qui m"a aidé pour effectuer de

nombreuses formalités administratives. Sa relecture attentive de cette thèse m"a été très utile.

Je tiens à remercier les personnes qui m"ont permis d"enseigner au sein de l"Observatoire de Paris.

Je remercie ainsi Noël Robichon de m"avoir permis de participer aux enseignements de la formation

des professeurs et de m"avoir initié à l"astronomie instrumentale. Je le remercie également de m"avoir

permis d"encadrer des observations à la coupole Arago et à l"Observatoire de Haute-Provence. Je remercie Laurent Niederman de m"avoir permis d"encadrer les enseignements de son cours de

mathématiques du M1 de l"Observatoire, qui m"ont beaucoup apporté. Je remercie Pierre Baudoz pour

avoir pu participer à l"encadrement des TP d"optique de la licence de PSL. Je remercie aussi Mathieu Puech de m"avoir permis de participer à l"encadrement du diplôme universitaireExplorer et Comprendre l"Universet Caroline Barban, qui m"a permis de participer au tutorat du diplôme universitaireFenêtres sur l"Univers.

Je tiens à remercier les doctorants et post-doctorants que j"ai cotoyés à l"IMCCE et à l"Observatoire

de Paris pendant ces années de thèse, notamment Farida Baidolda, Nathan Hara, Léo Bernus, Pierre

Auclair-Desrotour, Alexandre Pousse, Eduardo Andrade-Ines, Simon Jeanne, César Gattano, Antoine Petit, Julien Dassa-Terrier, Guillaume Voisin, Loïc Chantry. Enfin, je remercie ma famille pour leur aide et leur soutien lors de ce travail. 1 2

Table des matières

Introduction9

I Étude de la rotation à long terme de Cérès et Vesta11

1 Introduction13

1.1 Cérès et Vesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Méthodes pour le calcul à long terme de la rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Intégration de la rotation à long terme17

2.1 Hamiltonien total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Équations générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Intégration symplectique du hamiltonien total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Hamiltonien obtenu par une moyenne de la rotation propre. . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Les variables action-angle d"Andoyer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Moyenne sur les angles rapides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3 Intégration du hamiltonien d"interaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.4 Intégration du moment cinétique forcé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.5 Effet de marées sur la Terre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Hamiltonien séculaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1 Relation entre le moment cinétique et l"axe de rotation. . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2 Moyenne sur le mouvement orbital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.3 Constante de précession. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.4 Fréquence de précession et résonances séculaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.5 Hamiltonien séculaire en variables d"Andoyer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Mouvements orbitaux de Cérès et Vesta39

3.1 Solution orbitale La2011. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Cérès. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.2 Vesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Modèle séculaire hamiltonien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1 Construction du modèle séculaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2 Ajustement du modèle séculaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.3 Étude des résonances proches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Construction d"une solution orbitale séculaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Caractéristiques physiques et de rotation de Cérès et Vesta57

4.1 Cérès. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.1 Caractéristiques physiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.2 Moment d"inertie polaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.3 Angle d"AndoyerJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.4 Constante de précession. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.5 Cérès primitif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

4.2 Vesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.1 Caractéristiques physiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.2 Moment d"inertie polaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.3 Angle d"AndoyerJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.4 Constante de précession. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.5 Vesta primitif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3 Conditions initiales de l"axe de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Mouvements de rotation de Cérès et Vesta67

5.1 Perturbations du mouvement de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.1 Satellites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.2 Dissipation de marées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1.3 Rencontres proches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Calcul de la solution pour la rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.1 Comparaison avec la solution La2011. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.2 Estimation des effets du chaos orbital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.3 Estimation des effets du chaos du mouvement de rotation. . . . . . . . . . . . 80

5.2.4 Estimation des autres effets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3 Solution Ceres2017 pour la rotation de Cérès et Vesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.1 Cérès. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.2 Vesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3.3 Intégrations pour différents moments d"inertie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4 Étude de la stabilité de l"axe de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.4.1 Solution séculaire pour l"obliquité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.4.2 Étude des résonances proches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.4.3 Cartes de stabilité de l"axe de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 Évolution de l"insolation et contraintes sur la distribution de glace de Cérès113

6.1 Calcul de l"insolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.1 Insolation instantanée à une latitude donnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.1.2 Insolation journalière à une latitude donnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.1.3 Insolation annuelle à une latitude donnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.1.4 Insolation journalière moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.1.5 Insolation annuelle moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2 Calcul de la température. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2.1 Détermination de la température à la surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2.2 Modèles simplifiés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3 Stabilité de la glace sous la surface de Cérès. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3.1 Conditions de stabilité de la glace à la surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3.2 Conditions de stabilité de la glace sous la surface. . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.4 Étude de la stabilité de la glace sous la surface de Cérès. . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.5 Comparaison avec les études précédentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

II Intégrateurs symplectiques pour le corps solide libre123

7 Introduction125

7.1 Intégration du corps solide libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.2 Intégrateurs symplectiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.3 Intégrateurs symplectiques pour le corps solide libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.4 Plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4

8 Étude de l"algèbre de Lie du moment cinétique133

8.1 Résidus pour les premiers ordres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.1.1 Ordre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.1.2 Ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.1.3 Ordre 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.1.4 Ordre 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.1.5 Ordre 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.2 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.3 Résidus à tout ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.3.1 Théorème 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.3.2 Démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.4 Formule de réduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.4.1 Théorème 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.4.2 Démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9 Obtention d"intégrateurs symplectiques spécifiques au corps solide libre141

9.1 Construction d"intégrateurs symétriques d"ordre 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.1.1 Décomposition ABC : intégrateurs N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.1.2 Décomposition RS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.1.3 Estimation des résidus d"ordre 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.2 Ajout d"une étape supplémentaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.2.1 Décomposition ABC : intégrateurs P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.2.2 Décomposition RS : intégrateur R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.3 Coût des intégrateurs du type RS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.4 Nombre d"étapes des intégrateurs spécifiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.4.1 Nombre de coefficients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.4.2 Nombre de relations entre les coefficients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.4.3 Nombre d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.4.4 Nombre d"étapes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10 Tests numériques155

10.1 Méthode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10.1.1 Principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10.1.2 Intégrateurs de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10.1.3 Coût des intégrateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

10.2 Toupie sphérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

10.3 Molécule d"eau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.3.1 Intégrateurs N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.3.2 Intégrateurs P et R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10.4 Corps quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10.4.1 Ensemble des moments d"inertie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10.4.2 Intégrateurs N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.4.3 Intégrateurs P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.5 Comparaison avec l"algorithme de Moser-Veselov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

11 Utilisation de correcteurs pour le corps solide libre177

11.1 Correcteur d"ordre 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11.2 Correcteur d"ordre 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

11.3 Correcteurs d"ordre supérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Conclusion189

5 A Variables canoniques en mécanique céleste193 A.1 Variables canoniques barycentriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

A.2 Variables canoniques héliocentriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

A.3 Éléments elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

A.4 Variables canoniques rectangulaires de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

B Analyse en fréquence197

B.1 Principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

B.2 Précision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

C Termes supplémentaires utilisés pour la solution séculaire de Cérès et Vesta199

C.1 Cérès. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

C.2 Vesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

D Équations des coefficients des intégrateurs spécifiques N205

E Solution du corps solide libre209

E.1 Solution pour le moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

E.1.12I1H <2I2H < G2<2I3Hou2I1H >2I2H > G2>2I3H. . . . . . . . . . . 210 E.1.22I1H < G2<2I2H <2I3Hou2I1H > G2>2I2H >2I3H. . . . . . . . . . . 212 E.2 Solution pour la matrice de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 E.2.12I1H <2I2H < G2<2I3Hou2I1H >2I2H > G2>2I3H. . . . . . . . . . . 214 E.2.22I1H < G2<2I2H <2I3Hou2I1H > G2>2I2H >2I3H. . . . . . . . . . . 214

Bibliographie215

6 Unités et notationsjrUn jour solaire, soit86400secondes yrUne année julienne, soit365.25jours solaires kyr 10 3yr

Myr 10

6yr

Gyr 10

9yr

UAUnité astronomique

Une seconde de degré, soit1/3600◦

masUn millième de seconde de degré, soit0.001?? INPOP Intégrateur Numérique Planétaire de l"Observatoire de Paris

ICRFInternational Celestial Reference Frame

J2000 L"époque J2000 correspond au midi du premier janvier 2000 en temps dynamique barycen- trique (TDB). 7 8

Introduction

Sous l"effet du couple exercé par le Soleil, l"axe de rotation d"un corps du système solaire décrit un

mouvement de précession par rapport à son orbite sur des échelles séculaires. Suite aux perturbations

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