[PDF] ? ? ? parcours Mécanique-3`eme

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Universit´e de Provence, Ann´ee 2011/2012

Licence Math

´ematiques-Informatique,

parcours M

´ecanique-3`eme ann´ee

T.D. de Calcul Scientifique

Corrig

´e des exercices de la feuille n° 1

Exercice 1 : Polyn

ˆomes d'interpolation de Lagrange.

Soientn+1 pointsx0,x1,···,xndeux `a deux distincts et on consid`ere les polynˆomes de La-

grange L j(x) =nÕ k=0k?=jx-xk xj-xk,j=0,···,n associ´es `a cet ensemble de points. On rappelle que l'unique polynˆome d'interpolationpn(x)de degr´e inf´erieur ou ´egal `antel que p n(xk) =f(xk),k=0,···,n pour une fonction continuef(x)s'´ecrit p n(x) =nå j=0f(xj)Lj(x).(1)

1a)Montrerque si la fonctionfelle-mˆeme est un polynˆomede degr´e inf´erieur ou ´egal `an, alors

fest identique `a son polynˆome d'interpolationpn.

Indication : on comptera dans ce cas les z

´eros du polynˆome r(x) =f(x)-pn(x).

Corrig

´e :On remarque que par la condition d'interpolation r(xk) =f(xk)-pn(xk) =0,k=0,···,n,

ce qui signifie quer, qui est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egalnsifest un polynˆome

de degr´e inf´erieur ou ´egal `an, poss`eden+1 z´eros distincts si les pointsxksont distincts.

Or, un polynˆome de degr´emposs`ede exactementmz´eros (r´eels ou complexes, compt´es avec

leurs multiplicit´es ´eventuelles). Par cons´equent, un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `anne

peut pas poss´edern+1 z´eros, sauf s'il est identiquement ´egal `a z´ero. Donc,r(x)≡0 et par

cons´equentf=pn.

1b)Montrer quenå

j=0L j(x) =1. 1 Corrig´e :Soit la fonctionf(x) =1 pour toutx. Alorsfest une fonction constante, donc un

polynˆome de degr´e 0 et par cons´equent la fonction constantef(x) =1 est un polynˆome de

degr´e inf´erieur `anpour toutn≥0 Son polynˆome d'interpolationpnest donc identique `af

d'apr`es la question 1a) et alors effectivement f(x) =1=nå j=0f(xj)Lj(x) =nå j=0L j(x)

1c)Rappeler l'expression de l'erreur d'interpolationRn(x) =f(x)-pn(x)donn´ee en cours. On

notecj=Lj(0). Montrer que nå j=0c jxkj=???1 sik=0

0 sik=1,2,···,n

(-1)nx0x1···xnsik=n+1.

Corrig

´e :Il a ´et´e vu dans la partie 3 du cours, que l'erreurRn(x) =f(x)-pn(x)entre la fonctionfet son polynˆome d'interpolationpn(x)aux pointsxk,k=0,···,npeut s'´ecrire R n(x) =f(x) (n+1)!f(n+1)(x) pour un pointx(qui d´epend dex) etf(x) = (x-x0)(x-x1)···(x-xn). Soitf(x) =xkavec x k=nå j=0xkjLj(x). Donc, sik=0 on retrouve le r´esultat de la question 1b). Sik=1,···n, en prenantx=0 dans l'expression ci-dessus on trouve bien

0=nå

j=0xkjcj. Soit maintenantf(x) =xn+1, alorsf(n+1)(x) = (n+1)! et doncRn(x) =f(x)d'apr`es l'expres- sion deRn(x). Par cons´equent -Rn(0) = (-1)nx0x1···xn=-f(0)+pn(0) =pn(0) =nå j=0xn+1jcj, (la derni`ere ´egalit´e r´esultant de (1)), ce qui ach`eve la d´emonstration.

Exercice 2 : Formule

3

8de Newton.

On cherche `a ´etablir une formule d'int´egration de Newtonet Coates faisant intervenir des po-

lynˆomes d'interpolation de degr´e 3. 2

2a)On consid`ere l'intervalle[c,d]que l'on sous-divise avec 4 points

x j=c+jh,j=0,1,2,3 eth=d-c 3. Soitfune fonction continue et on notep3(x)son polynˆome d'interpolation aux pointsxj,j=

0,···,3. D´eterminer les coefficientsaj,j=0,···,3 tels que

Z d cp3(x)dx=h3å j=0a jf(xj).

Corrig

´e :Le polynˆomep3(x)qui interpolefaux pointsxj,j=0,1,2,3 s'´ecrit p

3(x) =3å

j=0f(xj)Lj(x),Lj(x) =3Õ k=0k?=jx-xk xj-xk,j=0,···,3. Le changement de variablex=c+htpermet d'´ecrire Z d cLj(x)dx=hZ 3

03Õ

k=0k?=jt-k j-kdt et il faut donc calculer a j=Z 3

03Õ

k=0k?=jt-k j-kdt,j=0,···,3. Ce calcul ne pr´esente pas de difficult´e particuli`ere et ontrouve a 0=3

8,a1=98,a2=98,a3=38

et par cons´equent Z d cp3(x)dx=3h

8(f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)).

2b)Soit maintenant l'intervalle[a,b]etNpoints de l'intervalle

x i=a+ih,i=0,1,···,N,avech=b-a N. On supposequeN=3M.Utiliserler´esultatde2a)pourd´eduirelaformuled'int´egrationappel´ee formule 3

8de Newton

I

N,3=3h

···+2f(xN-3)+3f(xN-2)+3f(xN-1)+f(xN) ).

3 Corrig´e :Soit l'intervalle[x3i,x3i+3],i=0,···,M-1 (avecN=3M), qui contient les points x

3i,x3i+1,x3i+2,x3i+3et soitpi,3le polynˆome d'interpolation de degr´e inf´erieur ou ´egal`a 3 qui

interpolef(x)sur l'intervalle[x3i,x3i+3]en ces points. Alors d'apr`es ce qui pr´ec`ede, l'intervalle

[x3i,x3i+3]jouant le rˆole de[c,d]de la question pr´ec´edente, on trouve Z x3i+3 x 3ip i,3(x)dx=3h

8(f(x3i)+3f(x3i+1)+3f(x3i+2)+f(x3i+3)).

L'approximation de l'int´egrale def(x)sur[a,b]est la somme des sous-int´egrales sur les sous- intervalles[x3i,x3i+3]ci-dessus et donc I

N,3=M-1å

i=03h

8(f(x3i)+3f(x3i+1)+3f(x3i+2)+f(x3i+3))

3h

···+2f(xN-3)+3f(xN-2)+3f(xN-1)+f(xN) ).

En effet, les pointsx3i+3,i=0,···,M-2 interviennent deux fois, en tant que borne sup´erieure

de l'intervalle[x3i,x3i+3]et en tant que borne inf´erieure de l'intervalle[x3(i+1),x3(i+1)+3].

Exercice 3 : Formule d'int

´egration asym´etrique.

On cherche `a ´etablir une formule d'int´egration num´erique Z x1 x

0f(x)dx,

x

0,x1,x2, c.-`a-d.p2(xi) =f(xi),i=0,1,2 (fest suppos´ee continue dans l'intervalle[x0,x2]).

La configuration est repr´esent´ee sur la figure ci-apr`es. On supposera que les pointsxisont ´equidistants avech=x2-x1=x1-x0. On remarque qu'icix2est en dehors de l'intervalle d'int´egration[x0,x1].

3a)Soit doncp2(x)le polynˆome d'interpolation qui interpolefaux pointsx0,x1,x2. Montrer

queZx1 x 0p

2(x)dx=h

12[5f(x0)+8f(x1)-f(x2)].(2)

On note par la suite

R(f) =Z

x1 x

0f(x)dx-h

12[5f(x0)+8f(x1)-f(x2)]

4 x x x 0 1 2p f l'erreur d'int´egration.

Corrig´e :A nouveau, le polynˆome d'interpolation s'´ecrit avec les polynˆomes de Lagrange

p

2(x) =2å

j=0f(xj)Lj(x) et par cons´equent Zx1 x 0p

2(x)dx=2å

j=0f(xj)Z x1 x 0L j(x)dx.

Ici, on n'int`egre pas sur tout l'intervalle[x0,x2]d'interpolation (si c'´etait le cas on retrouverait

la m´ethode de Simpson discut´ee en cours) mais seulement sur le sous-intervalle[x0,x1]. Les polynˆomes de Lagrange ´etant ici L j(x) =2Õ k=0k?=jx-xk xj-xk,j=0,···,2, le changement de variablex=x0+htpermet d'´ecrire (carxk=x0+kh,k=0,1,2) Z x1 x 0L j(x)dx=hZ 1

02Õ

k=0k?=jt-k j-kdt,j=0,1,2. Donc, Zx1 x 0L

0(x) =hZ

1

0(t-1)(t-2)

(0-1)(0-2)dt=h512, Z x1 x 0L

1(x) =hZ

1

0(t-0)(t-2)

(1-0)(1-2)dt=h23, 5 Zx1 x 0L

2(x) =hZ

1

0(t-0)(t-1)

(2-0)(2-1)dt=-h112 ce qui donne bien Zx1 x 0p

2(x)dx=h

12[5f(x0)+8f(x1)-f(x2)].

3b)On suppose maintenant quef?C3[x0,x2]et on rappelle (cf. cours) que pourtoutx?[x0,x2]

il existexx?]x0,x2[(xxd´ependant dex) tel que f(x) =p(x)+f???(xx)

3!(x-x0)(x-x1)(x-x2)

avecp(x)le polynˆome d'interpolation defenx0,x1,x2. En d´eduire qu'il existeˆx?]x0,x2[tel que l'erreur d'int´egration

R(f) =h4

4!f???(ˆx).

Indication :on observera que la fonctionf(x) = (x-x0)(x-x1)(x-x2)est de signe constant sur]x0,x1[et on utilisera le th´eor`eme de la valeur interm´ediaire.

Corrig

´e :On noteY(x) =f???(xx)

3!(x-x0)(x-x1)(x-x2)et parf(x) =p(x)+Y(x), on aura

R(f) =Z

x1 x

0f(x)dx-h

12[5f(x0)+8f(x1)-f(x2)]

Z x1 x

0p(x)dx-h

12[5p(x0)+8p(x1)-p(x2)]

Z x1 x

0Y(x)dx-h

12[5Y(x0)+8Y(x1)-Y(x2)]

Evidemment,p(xj) =f(xj),j=0,1,2,p(x)´etant le polynˆome d'interpolation def(x)aux pointsxjet par construction de la formule d'interpolation Z x1 x

0p(x)dx-h

12[5p(x0)+8p(x1)-p(x2)] =R(p) =0.

Bien sˆur,Y(xj) =0,j=0,1,2 et donc

R(f) =Z

x1 x

0Y(x)dx=Z

x1 x 0f ???(xx)

3!(x-x0)(x-x1)(x-x2)dx.

La fonctionf(x) = (x-x0)(x-x1)(x-x2)est positive ou nulle sur]x0,x1[: on peut donc affirmer que min y?[x0,x2]f???(y)1 3!Z x1 x 0f f(x)dx 6

et ensuite, par le th´eor`eme de la valeur interm´ediaire ´etant donn´e quef?C3[x0,x2], on peut

affirmer qu'il existe

ˆxtel que

Z x1 x 0f ???(xx)

3!f(x)dx=R(f) =f???(ˆx)13!Z

x1 x

0(x-x0)(x-x1)(x-x2)dx.

Il reste `a calculer

Z x1 x

0(x-x0)(x-x1)(x-x2)dx=h4Z1

0t(t-1)(t-2)dt=h4

4 (on fait le changement de variablesx=x0+th). On trouve bien

R(f) =h4

4!f???(ˆx).

3c)Maintenant, on suppose seulement quef?C2[x0,x2]et on consid`ere la formule de Taylor

avec reste int´egral f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) +Z x x

0f??(t)(x-t)dt,x?[x0,x2].

En d´eduire que le resteR(f)de la formule d'int´egration (2) s'´ecrit Rf=Z x2 x

0f??(t)K(t)dt

pour une fonctionK(t),t?[x0,x2]que l'on explicitera. En d´eduire une majoration pour|R(f)|.

Corrig

´e :On introduit (voir la partie cours) la fonction q

0 sit>x

de fac¸on `a ce que la fomule de Taylor avec reste puisse s'´ecrire f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) +Z x2 x

0f??(t)q1(x,t)dt=p(x)+g(x)

avecp(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0)qui est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egale `a 1 dans

[x0,x2]etg(x) =Rx2x0f??(t)q1(x,t)dt. On en d´eduit que

R(f) =Z

x1 x

0f(x)dx-h

12[5f(x0)+8f(x1)-f(x2)]

Z x1 x

0p(x)dx-h

12[5p(x0)+8p(x1)-p(x2)]

Z x1 x

0g(x)dx-h

12[5g(x0)+8g(x1)-g(x2)].(3)

7

On observe ici qu'´etant donn´e quep(x)est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 1, il est

identique `a son polynˆome d'interpolationp2aux pointsx0,x1,x2et donc par construction de la formule d'int´egration Z x1 x

0p(x)dx-h

12[5p(x0)+8p(x1)-p(x2)] =0.

Etant donn´ee l'expression deg(x), et en intervertissant l'ordre d'int´egration, on peut ´ecrire

R(f) =Z

x2 x

0f??(t)?

Zx1 x 0q

1(x,t)dx-h

12[5q1(x0,t)+8q1(x1,t)-q1(x2,t)]?

dt. Donc,

K(t) =Z

x1 x 0q

1(x,t)dx-h

On observe que sit?[x0,x1], alors

Z x1 x 0q

1(x,t) =Z

x1 t(x-t)dx=(x1-t)2 2 tandis que Zx1 x 0q

1(x,t) =0 sit?[x1,x2].

Par ailleurs,q1(x0,t) =0 sit?[x0,x2]tandis queq1(x1,t) =x1-tsit?[x0,x1]etq1(x1,t) =0 sit?[x1,x2]; enfin,q1(x2,t) =x2-tsit?[x0,x2]. On en d´eduit que

K(t) =?

(x1-t)2 Pour avoir une id´ee du graphe de la fonction, et notamment pour savoir si la fonction est de signe constant sur[x0,x2], il convient de supposer quex0=-h,x1=0,x2=h: en effet, pour x

0quelconque etx1=x0+h,x2=x0+2hla fonction peut ˆetre obtenue par simple translation.

Donc, un rapide calcul montre que

K(t) =?

t2 h La figure montre le graphe de cette fonction, pourh=1. On voit queK(t)n'est pas de signe constant et la seule majoration possible de l'erreur d'int´egration est |R(f)|=|Zquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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