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A)- potentiel et champ produits par deux électrodes planes : Etude de la répartition des potentiels et champ électrique à l'intérieur d'un condensateur plan

  • Quelles sont les surfaces équipotentielles ?

    Définition : Une surface équipotentielle est le lieu des points où le potentiel a une valeur donnée. Il a la même valeur en tous les points situés à une même distance, , de cette charge. Les surfaces équipotentielles sont, dans ce cas, les sphères ayant pour centre la position de la charge.

  • Quelle est la relation entre le champ électrique et le potentiel électrique ?

    Le champ "dérive du potentiel". Le champ se dirige dans le sens des potentiels décroissants. On peut dire que le vecteur indique la direction et l'importance de la décroissance du potentiel. L'expression explique pourquoi l'unité de champ électrique est le "volt par mètre".

  • Comment calculer le potentiel électrique ?

    Méthode :

    1Lorsque le champ est connu, le potentiel peut être obtenu par la circulation du champ sur le contour le plus simple allant de l'origine des potentiels à V ( M ) = ? ? r e f M E ? . d M ? 2Le potentiel peut être obtenu par calcul direct en sommant les potentiels créés par toutes les charges de la source.
  • Le potentiel électrique (ou plus simplement potentiel) en un point d'un champ électrique correspond au travail à fournir pour transporter une charge positive unitaire depuis l'infini jusqu'à ce point (le potentiel électrique à l'infini étant par définition égal à 0). La force et le potentiel sont directement liés.
Conducteurs en équilibre électrostatique 1 Conducteur en équilibre 8

Conducteursen´equilibre´electr ostatiqu e

1Con ducteuren´equilibre´electr ostatiq ue

1.1Conducteur et´equilibre

Conducteur

Unconducteurestunmat´ eriaudan slequelleschargessed´e placentlors qu'uneforce´electr ostatiquele ur

estappliq u´ee,aussipetitesoit-elle.

-Naturedescharge smobiles:danslesm´e taux,seuls les´electronssontmobile s,ler´eseaudech arges

positives´etant`apeupr`es fixe(casparticulie rdest rousdansles semi-conducteur s...).Dans lesliquid eset

lesgaz,lesi onssed´ eplacenta ussi.

-Casparti culier´etudi´eici:Seulesforces´elect rostatiques,condu cteurshomog`enes,temp´eratureuni-

forme,pasd'influen ce´el ectromagn´etiquevariabledansletemps .

-Forcederappel: lesforces derappel`alasurf aceducon ducteur(attracti on´elec trostat iquedesnoyaux)

sonttoujours consid´er´eesicicom mesu santespourretenir les´elec tronsdum´etal.(siforcet ropgrande !´emissiond'e =ra yonscathodiques,s ichau age=´ emi ssionthermo´electronique)

Equilibre´electrostatique

Uncon ducteuresten´equilibre´electrostatiquesiiln' yapasd ed´eplacem ent decharge smobil es.La

r´epartitiondeschargesestconstanted ansletemp s.

Cons´equences

-Puisqueleschargesnebougen tpas( F

´e.s .

=0), lechamp ´elect rostatiqueest toujoursnuldansunconduc- teur: E int =0. -Silech ampest nul,etpuisqu e E= gradV,le potent ielestconstant`al'int´eri eurducondu cteur.C'est unvolum e´equipotentiel . 81

82Chapitre8-Conducteursen´equi libr e´el ectrostatique

-Lescharge senexc`esnepeu ventpas ser´epartirdanslevol ume.En e↵et,appliqu onsleth´eor`emedeGauss

`aunes urfacefer m´eeS gauss quelconqueinclusedanslevolume .Lefluxduchampsurcettes urfaceest nul,

Figure8.1:Surfacede Gaussquelconque`a l'int´ erieurd'uncondu cteurcharg´e.Sileconducteurest en´equ ilibre

´electrostatique,ilnepeutpasyavoirdecharges`al'i nt´erie ur. puisquelechampestnul. Donc Z

Sgauss

E. dS=0= Q int 0 (8.1) lasomme deschargesint ´erieures `acettesurfacee stnulle.

Donclesch argesexc´ed entairesnepeuve ntser´epartirquesurlasurfaceduconducteur. Onaune densit´e

surfaciquedecharges.Ex p´erimentalement,onconstatequeleschargesser´epartissente↵ectivementsur

une´epais seurdequelques A.

-Lasu rfaceduconducteures tune´e quipotentielle(voirplushaut). Puisquel eslignesdechamp´electrostatique

sontperpe ndiculairesauxsurfaces´equipotentielles)lechamp cr´e´e`al'ex t´erieurpr`esdela surface est?

`ace ll e-c i. Exemple:conducteurnonc harg ´edansunchampuniforme.

Figure8.2:Lescharge sdansunc onducteurneutreplac ´edansuncha mp´ele ctrostatiqueuniformesed´eplacent pour

annulerlechampdansle conduc teur.Lechampext ´erieurenestm odifi´e . Lescharge squipeuventsem ouvoirsed´e placentverslasurfacepou rannul erexactementlech amp

Epartout

`al'in t´erieurduconducteur!

1.2Cavit ´evidedansunconducteur

Consid´eronsunecavit´ecreus´eed ansunconduc teur,cettecavit´e´et antenti`erement"incluse"d ansleconduc -

teur.Notons lasur facedecettecavit´e.

Enl'abs encedecharges,lepotentieln epeut pasavoird'extrˆemum( sic'´ etaitlecas,onauraitunensembl e

deligne sdechampquipartir aientt outesdecetext rˆemum,d oncilyauraitunechargeencepoint).

1-C ond ucteuren´equilibre´electrostati que83

Figure8.3:Cavit´e⌃dansunconduc teur.Un esurfacedeGaussGquelconqueestrepr´esent´ee.

Orlepot entie lestconstant(notons-leV

0 )su rtoutelasu rface ,com medanstoutlec onducteur. Donc

V=cte=V

0 partoutdanslacavi t´e.

E=0d ansl acavit´e.

!vraiquelqu esoitlechampext´erieur auconducteu r)blindagecontreleschamp sext´erieurs=cagede

Faraday

CagedeFar aday,pr otectioncontrelafoudr e,voircourantsdeterre.

Recherchepersonnelle

Etsiil yavaitu necharge su rfaciquesur

?Uti lisationduth´eor`emedeGauss G`achev alentrelacavit´ eet lecondu cteur:fluxduchampnulcarchampn ul)(⌃)=0. Tout ech argeexc´edent aireseretrouv esurla surfaceext´erieured uconducteur.

1.3Th´ eor`emedeCoulomb

Calculduchampauvoi sinageim m´ediatd'unc ondu cteurcharg´e. Figure8.4:SurfacedeG aussutilis´eep ourd´e montrerleth´eor `emedeCoulomb UtiliseunesurfacedeG aussG=cy lindre`achevalsurlasurfac eext´ erieureduconduct eur.Lasur facede baseestinfi nit´esimal edS.

Nousavons vu

E=0d ansl econducteu r

84Chapitre8-Conducteursen´equi libr e´el ectrostatique

E?`alasu rfaceju steaudessusdecelle -ci.Donc

Eet dSsontcolin´ eaires(rappel: dSestperp`al' ´el ´em ent desurf acedS) doncleflux( ´el´em entairecar dSestunesur face´el´em entaire)est d= E. dS=E.dS= q int 0 etcomme lachargeint´er ieure `alasurfacede Gaussestq int =.dS,le champs' ´ecrit: E= 0 n

C'estleth´eor`emedeCoulomb:

Auvoi sinageimm´ediatd'unc onducteurportantlocalementu nedensit´ede chargesurfacique,le champ ´electrostatiqueestport´eparlanormale`alasurfac eetvaut E= 0 n(8.2) 0 ))etli enavec leth´eor`eme deCoulom b.

Pression´electrostatiqu e...

1.4Capacit ´ed'unconducteuren´equilibre´electrostatique

Pouruncondu cteure n´equilibre´electrostatique, ilyau nlienentrelepotentielauquelcecon ducteursetrouve

etlach argequie str´eparties ursasurfac e.Ene et,lepoten tiele ntoutpointM`al'in t´erieurduconducteur peuts'´ecr ire V= 1 0 ZZ S e dS r o`uSestlasurf aceducon ducteur, e estladens it´esu rfaciquedechargeetrladist ancedupointMs´electionn´e `al'´e l´ementdesurfacedS. Or,lacharge totaleQestlasomm edesch arges´el´ement aires: Q= ZZ S e dS

Doncsil'on multip lie

e parunco e cientquelconque ,pu isquel'int´egraleestun eop´erationlin´eaire,V etQserontaussimultip li´espar.Don clerapportQ/Vestunecons tante.Onl' appellecapacit´epropredu

conducteurisol´e,c'est`adire seuldansl'espace.Sav aleurd´ependuni quemen tdelaformeet delagrandeurde

sasurf ace:

Q=CV(8.3)

2-E nsem bledeconducteursen´equi libre´el ectrostatique85

L'unit´edecapacit´eestl eFarad,sy mboleF.C' estuneunit´etr` esgrande.O nutilisepluscommun ´ementle

µF(10

6

F),voirele pF(10

12 F)

Exemple:pourunesph`er e,V=

1 0 Q R 0 R retrouverl'expressiondupot entieldanslecasdelasph`ere

Recherchepersonnelle

Applicationnum´erique:pourl aTerre,C=700µF!

2En sembledeconducteursen´eq uilibr e´electrostatique

2.1Propri ´et´esdeslignesdechamp

Soitlecasd edeuxc onducte urs`ap roximit´el' undel'autre,l'uncharg´e(Q 1 >0)et l'autre non(Q 2 =0).

Lescharge sdansleconducteu rneutrevon tsed´e placerpourannulerlechamp`al'in t´erieurdececonduc teur.

Figure8.5

Lesligne sdechamppr´esen tentce rtainespropri ´et´es: -Uneligne dechampest?`alasu rfacede sconducteursetpartd 'uner´egion o`uladensit´esurfaciqueest >0,se termi nesuruner´egion<0oub ien `al'infini.

-Lelon gd'unelign edechamp,lepoten tield´ecroitf orc´em ent(sinonminimum dupoten tiel,donccharges

pr´esentessurlalignedechamp,ceq uiestfaux) .Cons´e quence:puis qu'unc onducteurdonn´ee stpartou t

aumˆ emepotentielV,un elignedech ampnepeutpasa voirses deuxextr´emi t´ess urlemˆemecond ucteur .

)vade V 1 `aV 2 oubi endeV 1 `al' infi ni. -Sionappl iqu eleth´eor`emedeGausssu runtub edechampquicommencesuruncondu cteur etfinitsur unautre .SurfacedeGauss= tubedechamp+bouchons `al'in t´erieurdes cond ucteurs.

Al' int´erieurdesconducteurs

E=0e tsu rletub edechamp, pard´efi nition

E? dS.Don clefluxtotal est nul: Z S E. dS=0( 8.4)

86Chapitre8-Conducteursen´equi libr e´el ectrostatique

Figure8.6

Lesseul escharges`al'int´er ieurdelasurfaced eGauss sontcellespr´esentes`alasurfacedescond ucteur s.

Onaq 1 surlecondu cteur1 etq 2 surlecondu cteur2. Etd'apr`esleth´eor`emedeGauss : =0= q 1 +q 2 0 )q 1 =q 2 (8.5)

Onditq uelessur facesdescon ducteurs `al'int´erieurdutubed echampsont des´el´ementscorrespondants.

2.2Conducteurs eninfluencepartielle

Surlesch´ emadel afigure8.5,onv oitu nexemple o`udeu xconducteurss'influenc entmaiscer taineslignes

dechamp partentdel'un desconducteurs`al' infini.

Onditq u'onainfluencepartielle.

Onavul et h´eor`e medesu perposition.Sionadeux´etatsposs iblesd 'unsyst`eme,l'´etatquiseraitlasomme

desdeux(s ommedescharges ,sommedespotentie lsoudesch amps)est´egalementun´ etatpossible.

Ilestal orspossible d'´ecrir elarelationentrechargeet potentiels,forc´ementunpeupl uscompl iqu´eeque

danslecasd 'uncond ucteur isol´e: Q 1 =C 11 V 1 +C 12 V 2 Q 2 =C 21
V 1 +C 22
V 2 (8.6)

Cesyst `emed'´equationsexprimequ elachargeQ

1 d´ependlin´eairementd upotentielV 1 ,com medanslecasd' un conducteurseul,maisaussidupote ntielV 2 ,pu isqu'ilyaundeuxi`emeconduct eu rqu iinflue ncelescharges. LesC ij sontlescoecientsdecapacit´e,qu inesontpasi dentiq ues`alac apacit´e d'unconducteurseuldans l'espace.

2.3Conducteurs eninfluencetotale

Consid´eronslaconfigurationdelafigure8.7.Unc ondu cteurcreux("conducteur2")entou recompl`etement un"condu cteur1". Conducteur)lescharges sontsurlasurface. Lachargetotal esurlecond ucteur 2estdoncQ 2 =Q 0 2 +Q 00 2 Q 0 2 ´etantlacharge`al' int´e rieurdelacav it´e,Q 00 2 cellesurlasurfac eext´eri euredu conducteur.

Nousallons supposerquele potentielV

2 ducondu cteurexterneestnul(reli´e `al'infiniparunfilm´etal lique parexem ple).

Voyonslescons´equ ences.

-PuisqueV 2 =0,l esc hargestotales d´ependentdupot entielV 1 Q 1 =C 11 V 1 Q 2 =C 21
V 1 (8.7)

3-C ond ensateurs87

Figure8.7

-Toutesleslignesd echampontun eextr´emit´esu rlecond ucteur1etl' autresu rleconduct eur2.Sion appliqueleprincipedes ´el´em entscorrespondants(voirci-d essus),ona Q 0 2 +Q 1 =0 -PuisqueV 2 =0=V 1 ,il n'yap asdevariation dep otentie l`al' ext´erieurduconduct eur2d onclechamp ext´erieurestnul E ext =0.D oncl achargeQ 00 2 =0 -Misensem ble,lespointspr´ec´edentsdon nent Q 2 =Q 1 )C 11 =C 21
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