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Qu'est-ce que la correspondance horizontale ?
Ainsi, on nomme "correspondances horizontales" le rapprochement de deux sensations. On peut citer par exemple les vers de Baudelaire : "Il est des parfums frais comme des chairs d'enfants, Doux comme les hautbois, verts comme les prairies".Qu'est-ce que la correspondance verticale ?
Correspondances verticales:
Les correspondances verticales partent du réel vers le monde des Idées (thème platonicien, reprise du « mythe de la Caverne »), du fini vers l'infini, du relatif vers l'absolu, de l'objet vers son essence.Qu'est-ce que Baudelaire appelle les correspondances ?
Appelées aussi « synesthésies », les Correspondances désignent les rapports entre le monde matériel et le monde spirituel. D'après Charles Baudelaire, seuls les artistes savent déchiffrer le sens des analogies qui permettent de passer du monde des perceptions à celui des idées.- La théorie des analogies et correspondances considère les parties du monde et la nature comme analogues et leurs éléments en correspondances. Ainsi, l'homme (microcosme) et le monde (macrocosme) seraient analogues, ressemblants, de même structure.
CQP 099 - Mathématiques de base
Chapitre 7
Fonction quadratique
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
20 août 2018
Chapitre 7 - Fonction quadratique1 / 84
Introduction
Dans ce chapitre, nous verrons les différentes caractéristiques des fonctions quadratiques, soit des fonctions polynomiales de degré 2.Chapitre 7 - Fonction quadratique2 / 84
Plan du chapitre
1Définition et caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =x22Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x23Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax24Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax25Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax2Chapitre 7 - Fonction quadratique3 / 84
Plan du chapitre
6Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c7Points d"intersection de deux courbes
8Retour sur les inéquations quadratiques à une variable
9Forme générale et forme canonique d"une fonction quadratique
10Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x2Chapitre 7 - Fonction quadratique4 / 84
Plan du chapitre
11Détermination de la règle décrivant une fonction quadratique
12Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax2+bx+c13Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax2+bx+c14Références
Chapitre 7 - Fonction quadratique5 / 84
Définition et caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =x21Définition et caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =x22Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x23Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax24Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax25Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax2Chapitre 7 - Fonction quadratique6 / 84
Définition et caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =x2 Unefonction quadratiqueest une fonction polynomiale du second degré et sa règle de correspondance est de la formef(x) =ax2+bx+c, oùa,betcsont des constantes réelles eta6=0. Le graphique d"une fonction quadratique est uneparabole. Le graphique def(x) =x2, la fonction quadratique la plus simple, permet d"observer quelques caractéristiques des paraboles. Entre autres,f(0) =02=0 etf(x)>0 pour tout autre valeur réelle dex. Ainsi, la fonction possède un minimum au point(0;0), qu"on appelle lesommet de la parabole.Chapitre 7 - Fonction quadratique7 / 84 Définition et caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =x2 En évaluantf(x) =x2pour quelques valeurs dex, on peut voir la forme de la courbe :[3]Chapitre 7 - Fonction quadratique8 / 84
Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x21Définition et caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =x22Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x2
Réflexion, compression et étirement verticauxRéflexion, compression et étirement horizontaux3Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax24Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax25Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax2Chapitre 7 - Fonction quadratique9 / 84
Réflexion, compression et étirement verticaux1Définition et caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =x22Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x2
Réflexion, compression et étirement verticauxRéflexion, compression et étirement horizontaux3Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax24Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax25Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax2Chapitre 7 - Fonction quadratique10 / 84
Réflexion, compression et étirement verticaux Si on définit la fonctiong(x)comme étant l"opposé de la fonctionf(x) =x2, c"est-à-dire queg(x) =f(x) =x2, on se trouve à effectuer uneréflexion par rapport à l"axe des abscissesde la courbe originale.[3]Chapitre 7 - Fonction quadratique11 / 84
Réflexion, compression et étirement verticauxSi on définit plutôt la fonctiong(x)comme étant un multiple supérieur à 1 de la fonction
f(x) =x2, c"est-à-dire queg(x) =ax2, aveca>1, on se trouve à effectuer unétirement verticalde la courbe originale.[3]
On peut également combiner les deux transformations : il y aura donc un étirement vertical lorsquea>1 oua<1.Chapitre 7 - Fonction quadratique12 / 84 Réflexion, compression et étirement verticauxQuestion éclair 7.1
Quelles transformations élémentaires doit-on effectuer pour obtenir la courbe représentant la fonctiong(x)à partir de la courbe représentant la fonctionf(x) =x2? a)g(x) =6x2 b)g(x) =43 x2Chapitre 7 - Fonction quadratique13 / 84 Réflexion, compression et étirement verticaux Dans le cas où1Question éclair 7.2
Quelles transformations élémentaires doit-on effectuer pour obtenir la courbe représentant la fonctiong(x)à partir de la courbe représentant la fonctionf(x) =x2? a)g(x) =78 x2 b)g(x) =34 x2Chapitre 7 - Fonction quadratique15 / 84 Réflexion, compression et étirement horizontaux1Définition et caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =x22Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x2
Réflexion, compression et étirement verticauxRéflexion, compression et étirement horizontaux3Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax24Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax25Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax2Chapitre 7 - Fonction quadratique16 / 84
Réflexion, compression et étirement horizontaux En définissantg(x)parf(x), on a queg(x) = (x)2, ce qui a pour effet d"effectuer une réflexion par rapport à l"axe des ordonnées. Dans le cas particulier def(x) =x2, on aura que les courbesf(x)etg(x)sont condonfues, à cause de la symétrie def(x)par rapport à l"axe des ordonnées.Chapitre 7 - Fonction quadratique17 / 84
Réflexion, compression et étirement horizontaux Définissions maintenantg(x)parf(bx). On a donc queg(x) = (bx)2. Sijbj>1, cela aura pour effet de créer unecompression horizontale.[3]Chapitre 7 - Fonction quadratique18 / 84
Réflexion, compression et étirement horizontauxQuestion éclair 7.3
Quelles transformations élémentaires doit-on effectuer pour obtenir la courbe représentant la fonctiong(x)à partir de la courbe représentant la fonctionf(x) =x2? a)g(x) =54 x2 b)g(x) = (4x)2Chapitre 7 - Fonction quadratique19 / 84 Réflexion, compression et étirement horizontaux À l"opposé, sijbj<1, on créera unétirement horizontalde la courbe de la fonction originale.[3]Chapitre 7 - Fonction quadratique20 / 84
Réflexion, compression et étirement horizontauxExercices 7.1
Chapitre 7 - Fonction quadratique21 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax21Définition et caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =x22Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x23Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax24Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax25Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax2Chapitre 7 - Fonction quadratique22 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2Exercices 7.2Chapitre 7 - Fonction quadratique23 / 84
Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax21Définition et caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =x22Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x23Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax24Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax25Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax2Chapitre 7 - Fonction quadratique24 / 84
Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax2 Au chapitre 5, nous avons défini la notion de réciproque d"une fonction, de même qu"une méthode pour en trouver le graphique. En appliquant cette stratégie à la fonction f(x) =x2, on obtient la représentation suivante :[3]Chapitre 7 - Fonction quadratique25 / 84
Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax2 En utilisant plutôt la méthode algébrique pour trouver la réciproque def(x), on peut conclure que x=y2=)y=pxouy=px [3]Chapitre 7 - Fonction quadratique26 / 84
Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax2Exercices 7.3Chapitre 7 - Fonction quadratique27 / 84
Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax21Définition et caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =x22Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x23Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax24Réciproque d"une fonction quadratique de la formef(x) =ax25Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax2Chapitre 7 - Fonction quadratique28 / 84
Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax2Question éclair 7.4 L"aire d"un carré de côtéxest donnée par la formuleA(x) =x2. a) Quelle est l"aire d"un carré dont les côtés mesurent 3 ;2 cm? b) Quelle est la longueur des côtés d"un carré dont l"aire est de 68 cm2Chapitre 7 - Fonction quadratique29 / 84
Applications des fonctions quadratiques de la formef(x) =ax2Exercices 7.4Chapitre 7 - Fonction quadratique30 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c6Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c7Points d"intersection de deux courbes
8Retour sur les inéquations quadratiques à une variable
9Forme générale et forme canonique d"une fonction quadratique
10Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x2Chapitre 7 - Fonction quadratique31 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c Au début du chapitre, nous avons mentionné qu"unefonction quadratiqueest une fonction polynomiale du second degré et sa règle de correspondance est de la forme f(x) =ax2+bx+c, oùa,betcsont des constantes réelles eta6=0. Jusqu"à maintenant, nous avons analysé les impacts de la valeurasur la fonction, en supposant queb=c=0. Dans cette section, on étudiera le format général de la fonction quadratique.Chapitre 7 - Fonction quadratique32 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+cQuestion éclair 7.5 Le profit totalP(x), exprimé en dollars, qu"une entreprise tire de la vente dexpièces électroniques d"un certain type est donné par la fonctionP(x) =0;2x2+80x780
a) Quel profit total l"entrepr isetire-t-elle de la v entede 50 piècesélectroniques?
b) Quel profit total l"entrepr isetire-t-elle de la v entede 150 piècesélectroniques?
Chapitre 7 - Fonction quadratique33 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c Lesommetde la parabole représentant la fonctionf(x) =ax2+bx+cest le point (h;k), oùh=b2aetk=f(h).Chapitre 7 - Fonction quadratique34 / 84 Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+cQuestion éclair 7.6 Déterminez les coordonnées du sommet des paraboles représentant les fonctions quadratiques suivantes. a)f(x) =3x218x+29 b)g(x) =4x2+2x+14Chapitre 7 - Fonction quadratique35 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c Le graphique de la fonctionf(x) =ax2+bx+ccoupe l"axe desyau point(0;f(0)) = (0;c)et le nombrecest l"ordonnée à l"origine.Chapitre 7 - Fonction quadratique36 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+cQuestion éclair 7.7 Déterminez l"ordonnée à l"origine des fonctions quadratiques suivantes. a)f(x) =3x218x+29 b)g(x) =4x2+2x+14Chapitre 7 - Fonction quadratique37 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+cExemple interactifÉquation quadratique
Chapitre 7 - Fonction quadratique38 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c On peut trouver leszérosde la fonctionf(x) =ax2+bx+cen utilisant la formule quadratique pour chercher les solutions de l"équationax2+bx+c=0. Sib24ac>0, la fonctionf(x) =ax2+bx+cpossède deux zéros distincts : x1=b+pb
24ac2aetx2=bpb
24ac2a:
Sib24ac=0, la fonctionf(x) =ax2+bx+cpossède un seul zéro : x=b2a:Sib24ac<0, la fonctionf(x) =ax2+bx+cne possède aucun zéro.Chapitre 7 - Fonction quadratique39 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c[3]Chapitre 7 - Fonction quadratique40 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+cQuestion éclair 7.8 Déterminez, s"ils existent, les zéros des fonctions quadratiques suivantes. a)u(x) =2x2+x6 b)f(x) =3x218x+29 c)g(x) =4x2+2x+14Chapitre 7 - Fonction quadratique41 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+cQuestion éclair 7.9 Le profit totalP(x), exprimé en dollars, qu"une entreprise tire de la vente dexpièces électroniques d"un certain type est donné par la fonctionP(x) =0;2x2+80x780
a) Combien de pièces électroniques l"entrepr isedoit-elle v endrepour réaliser un profit maximal? b) Quel est le profit total maximal que l"entrepr isepeut tirer de la v ente de pièces électroniques de ce type?Chapitre 7 - Fonction quadratique42 / 84
Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+cExercices 7.5Chapitre 7 - Fonction quadratique43 / 84
Points d"intersection de deux courbes
6Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c7Points d"intersection de deux courbes
8Retour sur les inéquations quadratiques à une variable
9Forme générale et forme canonique d"une fonction quadratique
10Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x2Chapitre 7 - Fonction quadratique44 / 84
Points d"intersection de deux courbes
Nous avons vu au chapitre précédent que le point d"intersection de deux droites est le couple solution d"un système de eux équations linéaires. De façon générale, les points d"intersection de deux courbes quelconques sont les couples solutions du système constitué des équations de ces courbes.Chapitre 7 - Fonction quadratique45 / 84
Points d"intersection de deux courbes
Exercices 7.6
Chapitre 7 - Fonction quadratique46 / 84
Retour sur les inéquations quadratiques à une variable6Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c7Points d"intersection de deux courbes
8Retour sur les inéquations quadratiques à une variable
9Forme générale et forme canonique d"une fonction quadratique
10Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x2Chapitre 7 - Fonction quadratique47 / 84
Exercices 7.7
Chapitre 7 - Fonction quadratique48 / 84
Forme générale et forme canonique d"une fonction quadratique6Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c7Points d"intersection de deux courbes
8Retour sur les inéquations quadratiques à une variable
9Forme générale et forme canonique d"une fonction quadratique
10Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x2Chapitre 7 - Fonction quadratique49 / 84
Forme générale et forme canonique d"une fonction quadratique La notationf(x) =ax2+bx+cest appelée laforme généraledef(x). On peut également écriref(x)sous la formef(x) =a(xh)2+k, où(h;k)est le sommet de la parabole. Il s"agit alors de laforme canonique.Chapitre 7 - Fonction quadratique50 / 84 Forme générale et forme canonique d"une fonction quadratiqueQuestion éclair 7.10
Déterminez la forme générale des fonctions quadratiques suivantes. a)f(x) =2(x+2)21 b)g(x) =14 (x3)2+34Chapitre 7 - Fonction quadratique51 / 84
Forme générale et forme canonique d"une fonction quadratiqueQuestion éclair 7.11
Déterminez la forme canonique des fonctions quadratiques suivantes. a)f(x) =2x28x+11 b)g(x) =12 x24x10Chapitre 7 - Fonction quadratique52 / 84 Forme générale et forme canonique d"une fonction quadratiqueExercices 7.8
Chapitre 7 - Fonction quadratique53 / 84
Transformations élémentaires de la fonctionf(x) =x26Caractéristiques de la fonction quadratiquef(x) =ax2+bx+c7Points d"intersection de deux courbes
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