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On considère un cône de sommet S Sa base a pour centre le point O et a un rayon de du toit du silo à grains de forme conique représenté ci- contre :
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ci-contre : Exercices : cône de révolution Exercice 1 : On considère un cône de sommet S Sa base a pour centre le point O et a un rayon de
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S est le sommet de ce cône [ ] SH est la hauteur de ce cône de longueur h Exemple : On considère le cône de révolution ci-contre
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Un cône de révolution est un solide constitué d'une base en forme de Un cône de sommet S et de hauteur [SO]dont l'aire du disque de base
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S : le sommet Un cône (ou cône de révolution) est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle Construire le patron du cône ci-contre
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Une arête latérale est un segment joignant un des sommets de la base au sommet La hauteur d'un cône de révolution est le segment qui joint le centre deÂ
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ABCD représentée ci-contre On considère le cône ci-contre de sommet S et dont la base Le volume V d'un cône de révolution de rayon R et de
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Le cône de révolution ci-contre de sommet S a une hauteur [SO] de 9 cm et un rayon de base [OA] de 5 cm a Calculer le volume V1 de ce cône au cm3 prèsÂ
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Calcule le volume de ce socle Exercice 19 On considère le tronc de cône ci-contre associé à un cône de révolution de sommet S et de rayon OBÂ
[PDF] considérant le cône représenté ci-contre nomme
7 jui 2016 · 5 SABCD est une pyramide à base rectangulaire dont les faces latérales sont des triangles isocèles a À l'aide du dessin nomme : S son sommetÂ
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Le cône de révolution ci-contre de sommet S a une hauteur [SO] de 9 cm et un rayon de base [OA] de 5 cm a Calculer le volume V1 de ce cône au cm3 prèsÂ
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On appelle hauteur d'un cône de révolution la droite passant par le sommet et perpendiculaire à la sa base Exemple : sur le cône ci-contre S est leÂ
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Exercices : cône de révolution Exercice 1 : On considère un cône de sommet S Sa base a pour centre le point O et a un rayon de 3cm Les points
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On considère un cône de sommet S Sa base a pour centre le point O et a un rayon de 3cm Les points M et N sont sur le cercle base du cône de telle façonÂ
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Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit La base d'un cône est un disque
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D'un point appelé sommet du cône La hauteur d'un cône est le segment joignant le sommet au centre de la base Exemple : Le cône ci contre a pour sommet S
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PYRAMIDE - CONE DE REVOLUTION EXERCICES 10D EXERCICE 1 - REUNION 2000 SABC est une pyramide de sommet S La base ABC est un triangle rectangle
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6 Cône de révolution a En considérant le cône de révolution représenté ci-contre nomme : • son sommet : S • le centre de sa base :
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S : le sommet Un cône (ou cône de révolution) est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle Construire le patron du cône ci-contre
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Le solide représenté ci-contre est un cône de révolution dont le sommet est S la base est le disque (D) de centre O et de rayon [OA] • La droite (SO) est l'Â
Quelle est la formule du cône de révolution ?
Soit un cône de révolution de hauteur h et dont la base a pour aire B. Son volume V est donné par la formule : V = \\frac{1}{3} × B × h. Dans cette formule, V, B et h sont exprimés dans des unités correspondantes ; par exemple : h en cm, B en cm2 et V en cm3.Quelles sont les caractéristiques d'un cône de révolution ?
Un cône de révolution est constitué d'une base en forme de disque et d'une surface conique. On appelle hauteur du cône de révolution, le segment perpendiculaire à la base issu du sommet. Le rayon d'un cône de révolution est le rayon de la base.Quelle est la nature du triangle Sad ?
Quelle est la nature du triangle SAD ? SAD est isocèle en S.- La section du plan et de la surface s'appelle la base du cône. Lorsque la section est circulaire de centre O et que la droite (OS) est perpendiculaire à la section, le cône est appelé cône de révolution ou cône circulaire droit.
PYRAMIDE ET CÔNE
I. La pyramide
1) Vocabulaire
Définition :
Une pyramide est un solide formé d'un
polygone " surmonté » d'un sommet.S : le sommet
En vert : la base, un polygone
En rouge : les arêtes latérales
En bleu : la hauteur Pyramide du Louvre - Paris2) Une pyramide particulière : le tétraèdre
Vient du grec tetra (= 4) et edros (= base)
Euclide a prouvé qu'il existe seulement 5 polyèdres réguliers (toutes les faces sont des polygones réguliers) :
l'icosaèdre, le dodécaèdre, le tétraèdre, le cube, l'octaèdre. Ce sont les polyèdres de Platon qui symbolisaient
selon lui : l'Eau, l'Univers, le Feu, la Terre et l'Air.La base est un triangle
2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr3) Patron
Méthode : Construire un patron d'une pyramide
Vidéo https://youtu.be/GXkxA__A44A
Construire le patron de la pyramide GABC inscrite
dans le cube ABCDEFGH. On commence par tracer par exemple la base de la pyramide : le triangle ABC rectangle et isocèle en B tel que AB = BC = 6 cm.On trace ensuite la face de droite :
le triangle BCG rectangle et isocèle en C tel queCG = 6 cm.
On trace ensuite la face arrière :
le triangle ACG rectangle en C tel queCG = 6 cm.
On finit en traçant la face de devant : le triangle ABG. Pour cela, on reporte au compas les longueurs AG et BG déjà construites sur les autres triangles.A E F D C B G H 6cm
3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frII. Le cône de révolution
1) Vocabulaire
Définition :
Un cône (ou cône de révolution) est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle
autour d'un des côtés de l'angle droit. En grec " kônos » signifiait une pomme de pinS : le sommet
En vert : la base, un disque
En rouge : les génératrices
En bleu : la hauteur
B A C G G 6 cm G S
4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr2) Patron :
Méthode : Construire un patron d'un cône
Vidéo https://youtu.be/hepr9p3Svbw
Construire le patron du cône ci-contre.
On commence par faire un patron à main levée. - Périmètre de la base = 2í µí µ=2í µÃ—3=6í µOr, le périmètre de la base est égal au périmètre de l'arc í µí µ car ils se touchent.
Donc :
Périmètre de l'arc í µí µ =6í µ
- Périmètre du disque de centre S et de rayon 5 cm = 2Ã—í µÃ—5=10í µ. Dans un cercle, la longueur de l'arc est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre qui le définit.Angle au centre 360
Longueur de l'arc 10í µ 6í µ
On construit ainsi le patron en vraie grandeur :
O S B A 5cm 3cm 216°
5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frIII. Volumes
1) Rappels : formules d'aires
6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr2) Formules de volumes
Un premier exemple simple :
Vidéo https://youtu.be/RzIJ5Fq2fiU
Méthode : Calculer le volume d'une pyramide
Vidéo https://youtu.be/KKon_cIVd9k
AB = 4 cm et CH = 5 cm.
La hauteur de la pyramide est de 3,5 cm
Calculer son volume arrondi au centième de cm
3Calcul de l'aire de la base :
La base est un triangle de hauteur CH = 5 cm.
S 3,5 cm H C B A
7 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr A = = 10 cm 2Calcul du volume de la pyramide :
La pyramide a pour hauteur í µ = 3,5 cm.
V = cm 3» 11,67 cm
3Calcul du volume d'un cône :
Vidéo https://youtu.be/kMssaNRPXz8
IV. Agrandissement et réduction
1) Exemple d'introduction : Une pyramide réduite
Les faces CBA et CBD de la pyramide sont des triangles rectangles en B et la base DBA est un triangle rectangle et isocèle en B.CB = 6 cm et AB = 4 cm.
1) Calculer :
• L'aire du triangle DBA ; • Le volume de la pyramide CDAB.2) On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base passant par le
point E tel que CE = 3 cm. La pyramide CGFE est une réduction de la pyramide CDAB.Calculer :
• Le coefficient de réduction ; • L'aire du triangle GEF ; • Le volume de la pyramide CGFE.1) • A
DBA = B x h : 2 = 4 x 4 : 2 = 8 cm 2 • V CABD = A DBA x H : 3 = 8 x 6 : 3 = 16 cm 32) •
0 = 0,50,5 est le coefficient de réduction. ➜ Les longueurs sont multipliées par 0,5.
• (EF = GE= 0,5 x 4 = 2 cm) A GEF = B x h : 2 = 2 x 2 : 2 = 2 cm 2Compléter : A
GEF = ? x A DBA2 = ? x 8
? = 2 : 8 = 0,25 (= 0,5 2 A GEF = 0,5 2 x A DBA ➜ Les aires sont multipliées par 0,5 2C 4cm 6cm E G F B A D
8 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr • V CEFG = A GEF x H : 3 = 2 x 3 : 3 = 2 cm 3Compléter : V
CEFG = ? x V CABD2 = ? x 16
? = 2 : 16 = 0,125 (= 0,5 3 V CEFG = 0,5 3 x V CABD ➜ Les volumes sont multipliés par 0,5 32) Propriétés
Propriétés :
Pour un agrandissement ou une réduction de rapport k, -les longueurs sont multipliées par k, -les aires sont multipliées par k 2 -les volumes sont multipliés par k 3 Remarque : Dans la pratique, on applique directement la propriété.3) Application
Méthode : Appliquer un agrandissement ou une réductionVidéo https://youtu.be/YBwMKghrSOE
Le récipient représenté ci-contre a une forme conique et a pour dimensions : OM = 6 cm et SO = 12 cm.1) Calculer, en cm
3 , le volume de ce récipient. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième de cm 32) On remplit d'eau le récipient jusqu'au point O' tel que SO' = 4,5 cm.
Le cône formé par l'eau est une réduction du cône initial.Calculer le coefficient de réduction.
3) Déduire une valeur approchée du volume d'eau.
1) Aire de la base du récipient :
Il s'agit d'un disque de rayon OM = 6 cm, donc : A = pR 2 = p x 6 2 = 36pVolume du récipient :
Il s'agit d'un cône de hauteur SO = 12 cm, donc : 336í µÃ—12
3 =144í µí µí µ =452,4í µí µ2) Coefficient de réduction :
Le coefficient de réduction est le rapport de deux longueurs qui se correspondent sur les deux solides. On prend ici les hauteurs SO et SO' des deux solides. 4,5 12 =0,3753) Pour une réduction de rapport k =0,375, les volumes sont multipliés par k
3 =0,375 3 Ainsi, le volume du petit cône correspondant à l'eau dans le récipient est égal à : =452,4×0,375 =23,9í µí µ 9 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frV. Repérage dans l'espace
1) Repère de l'espace
Un parallélépipède peut définir un repère de l'espace. Il faut choisir une origine (ici le point A) et trois axes gradués définis à partir des dimensions du parallélépipède : abscisse - ordonnée - altitude Méthode : Se repérer sur le parallélépipède rectangleVidéo https://youtu.be/OTUHNsf1Gek
On donne le repère de l'espace représenté ci-dessous défini à partir du parallélépipède
ABCDEFGH.
Donner l'abscisse, l'ordonnée et l'altitude des sommets du parallélépipède et du milieu K du
segment [FG].Pour chaque point, on note dans l'ordre entre parenthèses l'abscisse, l'ordonnée et l'altitude.
A(0 ; 0 ; 0) E(0 ; 0 ; 4) K(3,5 ; 5 ; 4)
B(0 ; 5 ; 0) F(0 ; 5 ; 4)
C(7 ; 5 ; 0) G(7 ; 5 ; 4)
D(7 ; 0 ; 0) H(7 ; 0 ; 4)
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