[PDF] THEME : Le triangle SAB est rectangle

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Exercice 1 : Brevet - Rouen - 1997

I·RNÓHP ŃL-contre est constitué d'un cylindre et d'un cône de révolution ayant une base commune dont le rayon mesure 5 cm. La hauteur du cône mesure 12 cm, celle du cylindre mesure 4 cm. On désigne par V1 le volume du cône, par V2 le volume du cylindre, et VT est le volume total de l'objet.

1) Calculer les valeurs exactes de V1 et V2. Vérifier que V1 = V2.

2) En déduire la valeur exacte du volume total VT puis en donner une valeur

arrondie au cm3.

Solution :

a) Calcul du volume V1 du cône : Le cône a un rayon de base de 4 cm et une hauteur de 12 cm. IH YROXPH G·XQ Ń{QH HVP GRQQp SMU OM IRUPXOH V1 = 3 h B

RZ % HVP O·MLUH GH OM NMVH GX Ń{QHB

R Aire de la base du cône ( disque de 5 cm de rayon ) :

5² ›

R Volume du cône de 12 cm de hauteur :

V1 = 3

12 5² ›u

Remarque : Il est LQXPLOH GH IMLUH OH ŃMOŃXO HQ GHX[ pPMSHVB HO HVP SRVVLNOH G·pŃULUH GLUHŃPHPHQP

V1 = 3

12 5² ›u

Il est demandé une valeur exacte et non ici une valeur approchée ou un arrondi.

Nous avons donc :

V1 =

100 › 4 25 › 3

4 3 25 › 3

12 25 › uu

uuu uu que nous écrirons : V1 =

› 100

Calcul du volume V2 du cylindre :

Le cylindre a un rayon de base de 5 cm et une hauteur de 4 cm. IH YROXPH G·XQ Ń\OLQGUH HVP GRQQp SMU OM IRUPXOH V2 = hB

RZ % HVP O·MLUH GH OM NMVH GX Ń\OLQGUHB

Le volume de notre cylindre est donc :

V2 =

4 5² ›u

100 › 4 25 › uu

soit : V2 =

› 100

THEME :

PYRAMIDE ET CONE

AGRANDISSEMENT ET REDUCTION

V1 =

› 100

et V2 =

› 100

donc : V1 = V2 b) Calcul du volume total VT :

VT = V1 + V2 =

› 100

› 100

› 200

VT =

› 200

soit (valeur arrondie au cm3 ) VT

3cm 628

Exercice 2 : Brevet ² Nord - 2006

Sur la figure ci-contre, SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA] telle que AB = 9 cm et

SA = 12 cm. Le triangle SAB est rectangle en A.

EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base et telle que SE = 3 cm.

1) a) Calculer EF.

b) Calculer SB.

2) a) Calculer le volume de la pyramide SABCD.

b) Donner le coefficient de réduction permettant de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SEFGH. c) En déduire le volume de SEFGH. On donnera une valeur arrondie à l'unité.

Solution :

1) a) Calcul de EF :

IM VHŃPLRQ ()*+ HVP RNPHQXH j O·MLGH G·XQ SOMQ SMUMOOqOH j OM NMVH GRQŃ OHV GURLPHV () et (AB) sont

parallèles. ( de même les droites (FG) et (BC), de même les droites ( HG) et (DC) , de même les droites (EH) et

(AD) ).

Dans les triangles SAB et SEF,

E (SA)

F (SB)

les droites ( EF) et (AB) sont parallèles. GRQŃ G·MSUqV OH POpRUqPH GH 7OMOqV QRXV MYRQV : AB EF SB SF SA SE 9 EF SB SF 12 3

Calcul de EF :

9 EF 12 3 donc EF12 93u
soit EF = ) cm ( 2,25 4 9 43
93 u
u

EF = 2,25 ( cm )

b) Calcul de SB :

Dans le triangle SAB rectangle en A ,

1RXV MYRQV G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH :

SB² = SA² + AB²

SB² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225

SB = ) cm ( 15 225

SB = 15 ( cm )

2) a) Calcul du volume de la pyramide SABCD :

La base de cette pyramide est un carré de 9 cm de côté et sa hauteur est 12 cm. IH YROXPH G·XQH S\UMPLGH HVP GRQQp SMU OM IRUPXOH V = 3 h B

RZ % HVP O·MLUH GH OM NMVHB

VSABCD =

) cm ( 324 12 93 3

12 93 3

3

12 993uu

uuu uu

VSABCD = 324 cm3

b) Calcul du coefficient de réduction :

La pyramide SEFGH est un réduction de la pyramide SABCD. Le rapport est égal à : ( rapport des

hauteurs par exemple ² ou rapport des mesures de côtés associés , par exemple EF et AB ) k = 4 1 12 3 ( ou k = 4

10,259

0,25 9

9

2,25 u

Le rapport de réduction est

4 1 ou 0,25 c) Calcul du volume de SEFGH :

Méthode 1 :

IM VHŃPLRQ G·XQH S\UMPLGH SMU XQ SOMQ SMUMOOqOH j OM NMVH M OM PrPH IRUPH TXH OM NMVHB La base EFGH de la pyramide SEFGH est donc un carré de 2,25 cm de côté. La hauteur de cette pyramide étant égale à 3 cm, le volume est donc :

VSEFGH =

) cm ( 5 5,0625 2,25²3

3 2,25²

3

3 2,25² 3

u u

VSEFGH = 5 ( cm3 )

Méthode 2 :

La pyramide SEFGH est une réduction de la pyramide SABCD de rapport 4 1

Donc le volume de la pyramide SEFGH est :

VSEFGH =

)4 1(3

VSABCD =

) cm ( 5 5,0625 64

324324 64

1324 4

1 324 )4

1(3 3

33 u u u

VSEFGH = 5 ( cm3 )

Remarque :

Le rapport de réduction est demandé à la deuxième question de cet exercice.

1RXV QH GHYRQV SMV POpRULTXHPHQP O·Xtiliser avant cette question. Sinon, déterminer ce rapport dès le

début permet de simplifier ce problème. Si dés le début nous le calculons, la première question est

VLPSOLILpHB HO Q·HVP SOXV XPLOH GH IMLUH MSSHO MX POpRUqPH GH 7OMOqV HP j VM UpGMŃPLRQ MVVez lourde.

Avec un rapport de réduction de

4 1 , obtenu en faisant le rapport des hauteurs des deux pyramides ( voir

question 2 b ), nous pouvons écrire ( toutes les longueurs de la pyramide SEFGH sont égales à celles de la

pyramide SABCD multipliées par ce rapport 4 1 EF = 4 1 AB = ) cm ( 2,25 4 99 4
1 u

Exercice 3 : Brevet ² Afrique 3 - 1995

Voici, représenté en perspective cavalière, un parallélépipède rectangle ou pavé droit ABCEFGH. La face ABCD est un carré de 3 cm de côté.

On donne HD = 6 cm.

1) Déterminer les longueurs des segments [BD] et [DE].

On donnera les valeurs exactes de ces mesures.

2) Le triangle EDC est rectangle en D. Calculer la longueur exacte de

son hypoténuse.

3) On considère la pyramide de sommet E et de base ABCD et de

hauteur EA.

Montrer que son volume est 18 cm3.

4) Compléter le patron de la pyramide EABCD représenté à la fin du

problème.

5) On fabrique cette pyramide à partir du pavé droit. Quel est le

volume perdu au cours de cette opération ?

6) La pyramide ainsi obtenue est

une maquette à l'échelle 1/50 d'une pyramide réelle. Calculer la hauteur, l'aire de la base et le volume de la pyramide réelle. Voici l'ébauche d'un patron de la pyramide EABCD.

Solution :

1) Calcul de BD :

Dans le triangle ABD rectangle en A ,

1RXV MYRQV G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH :

BD² = AB² + AD²

BD² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18

2 3 2 3 2 9 2 9 18 BDu u u

Calcul de DE :

Dans le triangle ADE rectangle en A ,

1RXV MYRQV G·MSUqV Oe théorème de Pythagore :

DE² = AE² + AD²

DE² = 6² + 3² = 36 + 9 = 45

5 3 5 3 5 9 5 9 45 DEu u u

2) Nature du triangle EDC :

IM GURLPH FG HVP SHUSHQGLŃXOMLUH MX[ GURLPHV $G HP G+ OHV IMŃHV G·XQ SMUMOOpOpSLSqGH VRQP GHV

rectangles. Donc (CD) est perpendiculaires à toutes les droites de la face ADHE, passant par D. Donc (CD) est perpendiculaire à la droite (DE).

Le triangle EDC est donc rectangle en D.

Calcul de CE :

Dans le triangle CDE rectangle en D ,

1RXV MYRQV G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH :

CE² = DC² + DE²

CE² = 3² + 45 ( voir ci-dessus DE² = 45 )

CE² = 9 + 45 = 54

6 3 6 3 6 9 6 9 54 CEu u u

6 3 CE

3) Volume de la pyramide de sommet E et de base ABCD :

La base de cette pyramide est un carré de 3 cm de côté et sa hauteur est 6 cm. IH YROXPH G·XQH S\UMPLGH HVP GRQQp SMU OM IRUPXOH V = 3 h B

RZ % HVP O·MLUH GH OM NMVHB

VEABCD =

) cm ( 18 633 633
3

6333u

uu uu

VEABCD = 18 ( cm3 )

4) Patron de la pyramide EABCD :

Nous ne pouvons pas, sur un patron, écrire le nom des points. Par exemple, sur l·ébauche du patron de

cette pyramide, le point E apparait déjà deux fois. Ce qui est incorrect pour un dessin géométrique. Mais

cette entorse aux règles va nous permettre de comprendre la réalisation de ce patron.

Il manque deux faces : la face CDE et la face

BCE. Nous venons de le démontrer ci-dessus,

la face CDE est un triangle rectangle en D ( il en est de même pour la face BCE ² triangle rectangle en B ). Remarquons que ces deux faces sont d·ailleurs identiques.

Nous devons donc à partir de BC tracer un

triangle rectangle en B avec une longueur BE

égale à

5 3 Cette longueur figure déjà sur le dessin ( BE est également l·hypoténuse du triangle rectangle ABE ). Il suffit, avec un compas, de reporter cette longueur.

5) Volume perdu au cours de la fabrication de cette pyramide :

Volume du pavé droit :

VTotal =

) cm ( 546 3 33uu

Le volume de la pyramide étant de 18 cm3 ( question 3 ), le volume perdu lors de la fabrication de cette

pyramide est : VPerdu = VTotal - VPyramide = 54 ² 18 = 36 ( cm3 ) Le volume perdu au cours de la fabrication de cette pyramide est 36 cm3

6) Hauteur, aire de la base et volume de la pyramide réelle :

La pyramide obtenue est une maquette à l'échelle 1/50 d'une pyramide réelle. Donc la pyramide réelle

est un agrandissement de cette pyramide de rapport, de coefficient 50.

R Hauteur de la pyramide réelle :

m 3 soit ) cm ( 300 50 6u

R Aire de la base de la pyramide réelle :

( Attention , lorsque les dimensions sont multipliées par un coefficient k, les aires sont multipliées par le

coefficient k² ! ) L·aire de la base de la pyramide réduite est : 3 3 soit 9 cm² Donc l·aire de la base de la pyramide réelle est : m² 2,25 soit ) cm² ( 500 22 25009 50²9u u

R Volume de la pyramide réelle :

( Attention , lorsque les dimensions sont multipliées par un coefficient k, les volumes sont multipliés par

le coefficient k3 ! )

Le volume de la pyramide réduite étant égal à 18 cm3, le volume de la pyramide réelle est égal à :

333m 2,25 soit ) cm ( 000 250 2 000 12518 5018u u

Hauteur de la pyramide réelle : 3 m

Aire de la base de la pyramide réelle : 2,25 m²

Volume de la pyramide réelle : 2,25 m3

Vérification :

La pyramide réelle a une base de 2,25 m² et une hauteur de 3 m.

Son volume est donc :

) m ( 2,25 3

32,25 3

32,253

u u

Nous retrouvons le résultat ci-dessus.

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