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Exercice 1. Probabilités6 points
Commun à tous les candidats
Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. Cette entreprise propose deux tailles de ballons : une
petite taille, et une taille standard.Partie A
Un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à
l"intervalle [ 410; 450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l"intervalle [ 68; 70].
1. On noteXla variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l"entreprise, associe sa
masse en grammes. On admet queXsuit la loi normale d"espérance 430 et d"écart type 10. Déterminer une valeur approchée à10-3près de la probabilitéP(410?X?450). À la calculatrice, on trouve au millième prèsP(410?X?450)≈0,954
Remarque: Sur la TI Voyage 200
2. On noteYla variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l"entreprise associe sa
circonférence en centimètres. On admet queYsuit la loi normale d"espérance 69 et d"écart typeσ.
Déterminer la valeur deσ, au centième près, sachant que 97% des ballons de taille standard ont une circonférence
conforme à la réglementation.On pourra utiliser le résultat suivant : lorsqueZest une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors
P(-β?Z?β) = 0,97pourβ≈2,17.
SiYsuit la loi normale de paramètresμ= 69et d"écart typeσ, alors la variable aléatoireZ=Y-69
σsuit la loi normale
centrée réduite. Or -1 -1On a donc
-1 = 0,97Et d"après les données
D"où :
P? -1 = 0,97????? =?par identification1σ= 2,17etσ≈0,46Correction Bac S 2014 - Amérique du Sud
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Partie B
L"entreprise affirme que 98% de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors
réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d"entre eux sont conformes à la régle-
mentation. Le résultat de ce contrôle remet-il en question l"affirmation de l"entreprise? Justifier la réponse. (On pourra
utiliser l"intervalle de fluctuation).1. Analyse des données:
-"sur un échantillon den= 250ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d"entre eux sont conformes à la
réglementation.»Donc la fréquence observée de ballons conformes est f=233250= 0,932= 93,2%
-L"entreprise affirme quep= 98%de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation.
2. Intervalle de fluctuation:
Si les conditions suivantes sont remplies :??????n≥30 ?np≥5 ?n(1-p)≥5Alors un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de95%de la fréquenceFnd"un caractère dans
un échantillon de taillenest sipdésigne la proportion de ce caractère dans la population : I n=? p-1,96? p(1-p)⎷n;p+ 1,96? p(1-p)⎷n? Théorème 1(Intervalle de fluctuation asymptotique) On an= 250,p= 0,98vérifions les conditions d"application du théorème : ??n= 250≥30 ?np= 250×0,98 = 245≥5 ?n(1-p) = 250×0,02 = 5≥5 Un intervalle fluctuation asymptotique au seuil de confiancede95%est alors : I n=? p-1,96? p(1-p)⎷n;p+ 1,96? p(1-p)⎷n?0,98-1,96?
0,98×0,02⎷250; 0,98 + 1,96?
0,98×0,02⎷250?
Soit puisque les borne sont :
?p-1,96?p(1-p)⎷n≈0,9626. On arrondit la borne inférieure par défaut au millième soit0,962.
?p+ 1,96?p(1-p)⎷n≈0,99735. On arrondit la borne supérieure par excès au millième soit0,998.
I≈[0,962 ; 0,998]
3. ConclusionLafréquenceobservéen"appartientpasàl"intervalle,0,932??Idonclerésultatducontrôleremetenquestionl"affirmation
de l"entreprise. www.math93.com /www.mathexams.fr2/13Correction Bac S 2014 - Amérique du Sud
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Partie C
L"entrepriseproduit40% de ballonsde footballde petite taille et 60% de ballons de taille standard.On admet que 2% des ballons
de petite taille et 5% des ballons de taille standard ne sont pas conformesà la réglementation.On choisit un ballon au hasard dans
l"entreprise. On considère les évènements : A: " le ballon de football est de petite taille », B: "le ballon de football est de taille standard», C: " le ballon de football est conforme à la réglementation» etC, l"évènement contraire deC.
1. Représenter cette expérience aléatoire à l"aide d"un arbre de probabilité.
En remarquant queB=
Aon a :
A C C B C CP(A) = 40%
PA(C) = 98%
PA?C?= 2%
P(B) = 60%
PB(C) = 95%
PB?C?= 5%
2. Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la règlementation.
"Le ballon est de petite taille et il est conforme à la règlementation» correspond à l"événementA∩C. D"après l"arbre :
P(A∩C) =PA(C)×P(A)
P(A∩C) = 0,98×0,40
SoitP(A∩C)0,392
3. Montrer que la probabilité de l"événementCest égale à0,962.
D"après la formule des probabilités totales :P(C) =P(A∩C) +P(B∩C)
P(C) = 0,392+PB(C)×P(B)
P(C) = 0,392+ 0,95×0,60
P(C) = 0,392+ 0,570
SoitP(C) = 0,962
4. Le ballon de football choisi n"est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite
taille? On arrondira le résultat à10-3. On cherche la probabilité qu"il soit de petite taille, autrement dit on chercheP C(A). P(C) = 1-P(C) = 1-0,962 = 0,038
donc PC(A) =P(A∩C)
P(C)=0,40×0,020,038
Soit arrondi au millième
PC(A)≈0,211
www.math93.com /www.mathexams.fr3/13Correction Bac S 2014 - Amérique du Sud
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Exercice 2. QCM de Géométrie dans l"espace4 pointsCommun à tous les candidats
1. Réponse b.
Dans un repère orthonormé de l"espace, on considère les points A(2 ; 5 ;-1), B(3; 2; 1) et C(1 ; 3 ;-2). Le repère étant
orthonormé,on peut calculer les distances avec les formules usuelles :AB2= (3-2)2+ (2-5)2+ (1 + 1)2= 1 + 9 + 4 = 14
AC2= (1-2)2+ (3-5)2+ (-2 + 1)2= 1 + 4 + 1 = 6
BC2= (1-3)2+ (3-2)2+ (-2-1)2= 4 + 1 + 9 = 14
Le triangle ABCest isocèle en B.
Si il était rectangle, ce serait en B car AB et BC sont les plus grands côtés. Or : AB2+BC2?=AC2
Donc d"après la contraposée du théorème de Pythagore, ABC n"est pas rectangle. Le triangle ABCest isocèle en B et non
rectangle.2. Réponse c.
Dansun repèreorthonormédel"espace,onconsidèreleplanPd"équation2x-y+3z-1 = 0etlepointA(2; 5;-1).
Une représentation paramétrique de la droited, perpendiculaire au planPet passant par A est:Un vecteur normal au planPest?n(2;-1; 3), donc toute droite perpendiculaire au planPaura un vecteur directeur colinéaire
au vecteur?n, ce qui élimine les propositionsa.etb.On cherche si le point A appartient à la droite dont la représentation paramétrique est enc.; on résout le système :
?2 = 6-2t5 = 3 +t
-1 = 5-3t Ce système a pour solutiont= 2donc la bonne réponse estc.3. Réponse c.
Soit A et B deux points distincts du plan.
MA·---→MB= 0??---→MA?---→MB
??MAB est un triangle rectangle en M ??M appartient au cercle de diamètre [AB]4. Réponse c. Les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et non coplanaires).
ABC DE FG H I J MN ?Choisissons le repèreA,--→AB,--→AD,--→AE?
Les points I, J, M et N ont pour coordonnées :
I ?12; 1 ; 1?
, J?1 ;12; 1?
, M?12; 0 ;12? , N?1 ;12;12?
I et J ont la même cote : ils appartiennent au plan d"équationz= 1; M et N ont la même cote : ils appartiennent au plan d"équationz=1 2. Ces deux plans sont parallèles et distincts, donc les droites (IJ) et (MN) ne sont ni perpendicu- laires ni sécantes. Les réponsesa.etb.sont fausses.On a-→IJ?1
2;-12; 0?
et--→MN?12;12; 0? Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites (IJ) et (MN) ne sont pas parallèles. La réponsed.est fausse.Or-→IJ.--→MN=1
4-14= 0
Les vecteurs sont orthogonauxet les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales. Réponsec. www.math93.com /www.mathexams.fr4/13Correction Bac S 2014 - Amérique du Sud
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Exercice 3. Obligatoire : Suites5 points
Candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité On considère la suite numérique(un)définie surNpar :???u 0= 2 u n+1=-12u2n+ 3un-32pour toutn?N
Partie A : Conjecture
1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, deu1etu2.
u1=-1
2u20+ 3u0-32=-1222+ 3×2-32=-2 + 6-32=52
u2=-1
2u21+ 3u1-32=-12?
52?2 + 3×52-32=-258+152-32=238
Donc :
u 1=52;u2=238
2. Donner une valeur approchée à10-5près des termesu3etu4.
En programmant à la calculatrice la fonctionfdéfinie surRpar f(x) =-12x2+ 3x-32
on obtient : u3=f(u2) =f?23
8? =≈2,99219etu4=f(u3) =f?383128? ≈2,999973. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite(un).
On peut conjecturer que la suite(un)est croissante et qu"elle converge vers 3.3.1 Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique(vn)définie pour tout entier natureln, par :vn=un-3.1. Montrer que, pour tout entier natureln, vn+1=-1
2v2n. ?n?N;vn+1=un+1-3 v n+1=-12u2n+ 3un-32-3
v n+1=-12u2n+ 3un-92
v n+1=-12?u2n-6un+ 9?
Or on a aussi :
?n?N;v2n= (un-3)2 v2n=u2n-6un+ 9
Donc ?n?N;vn+1=-1 2v2n2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,-1?vn?0.
SoitPnla propriété-1?vn?0.
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On sait que, pour toutp,vp+1=-1
2v2p. =? -1 =? -1 DoncEt la propriété est vraie au rangp+ 1.
ConclusionLa propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire; doncelle est vraie pour tout entier natureln.
3.3. a. Démontrer que, pour tout entier natureln, vn+1-vn=-vn?1
2vn+ 1?
Pour tout entier natureln:
v n+1-vn=-12v2n-vn=-vn?12vn+ 1?
?n?N;vn+1-vn=-vn?12vn+ 1?
3. b. En déduire le sens de variation de la suite(vn).
On a montré lors de la question 2. que :
Or 1De ce fait :
?n?N;12vn+ 1>0
?n?N:??????-vn?0 12vn+ 1>0???
=?par produit-vn?12vn+ 1?
?0??vn+1-vn?0 Pour toutn,vn+1-vn?0, donc la suite(vn)est croissante4. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite(vn)converge?
Lasuite(vn)estcroissante et majorée par 0
5. On note?limite de la suite(vn). On admet que??[-1 ; 0]et vérifie l"égalité :?=-1
2?2.Déterminer la valeur de?.
On résout l"équationx=-1
2x2dont?est solution :
x=-12x2??2x+x2= 0??x(2 +x) = 0??x= 0oux=-2
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Mais on sait que??[-1; 0]donc la seule solution possible estx= 0. DoncLa limite de la suite(vn)est 0.
6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées?
La suite(vn)est croissante et, pour toutn,un=vn+ 3; donc on peut dire que la suite(un)est croissante.
La suite(vn)est convergente vers 0 donc, d"après les théorèmes sur les limites, on peut dire que la suite(un)est
convergentevers 3. Les conjectures faites dans lapartie Asont donc validées. www.math93.com /www.mathexams.fr7/13Correction Bac S 2014 - Amérique du Sud
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Exercice 3. Spécialité Maths5 points
Candidats ayant suivi l"enseignement de spécialitéUne ville possèdeun réseaudevélos enlibre servicedontdeuxstations A et B se situenten hautd"unecolline.On admetqu"aucun
vélo des autres stations n"arrive en direction des stationsA et B.On constate pour chaque heurenqu"en moyenne :
20% des vélos présents à l"heuren-1à la station A sont toujours à cette station.60% des vélos présents à l"heuren-1à la station A sont à la station B et les autres sont dans d"autres stations du réseau
ou en circulation.10% des vélos présents à l"heuren-1à la station B sont à la station A, 30% sont toujours à la station B et les autres sont
dans d"autres stations du réseau ou en circulation. Au début de la journée, la station A comporte 50 vélos, la station B 60 vélos.Partie A
Au bout denheures, on noteanle nombre moyen de vélos présents à la station A etbnle nombre moyen de vélos présents à la
station B. On noteUnla matrice colonne? a n b n? et doncU0=? 5060?
1. Déterminer la matriceMtelle queUn+1=M×Un.
D"après le texte, on peut dire que, pour toutn: a n+1= 0,2an+ 0,1bn b n+1= 0,6an+ 0,3bnavec? a 0= 50 b 0= 60 Donc a n+1 b n+1?0,2 0,1
0,6 0,3?
a n b n? ??Un+1=M×UnoùM=?0,2 0,1
0,6 0,3?
2. DéterminerU1etU2.
U1=M×U0=?
0,2 0,1
0,6 0,3?
5060?
0,2×50 + 0,1×60
0,6×50 + 0,3×60?
16 48?U
2=M×U1=?
0,2 0,1
0,6 0,3?
16 48?0,2×16 + 0,1×48
0,6×16 + 0,3×48?
8 24?3. Au bout de combien d"heures reste-t-il un seul vélo dans lastation A?
À la calculatrice, on trouve successivement :U3=? 4 12? ,U4=? 2 6? etU5=? 1 3? C"est donc au bout de 5 heures qu"il ne reste qu"un seul vélo dans la station A www.math93.com /www.mathexams.fr8/13Correction Bac S 2014 - Amérique du Sud
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Partie B
Le service décide d"étudier les effets d"un approvisionnement des stations A et B consistant à apporter après chaque heure de
fonctionnement 30 vélos à la station A et 10 vélos à la stationB.Afin de conduire cette étude, il décide de modéliser la situation présente de la manière suivante :
Au bout denheures, on noteαnle nombre moyen de vélos présents à la station A etβnle nombre moyen de vélos présents à la
station B. On noteVnla matrice colonne? n n? etV0=? 5060?
Dans ces conditionsVn+1=M×Vn+RavecR=?
3010?
1. On noteIla matrice?
1 0 0 1? etNla matriceI-M.1. a. On désigne parVune matrice colonne à deux lignes. Montrer queV=M×V+Réquivaut àN×V=R.
V=M×V+R??V-M×V=R
V=M×V+R??I×V-M×V=R
V=M×V+R??(I-M)×V=R
Donc puisqueN=I-M:
V=M×V+R??N×V=R
1. b. On admet queNest une matrice inversible et queN-1=?
1,4 0,2
1,2 1,6?
. En déduire queV=? 4452?
N×V=R??N-1×N×V=N-1×R
N×V=R??V=?
1,4 0,2
1,2 1,6?
3010?
N×V=R??V=?
1,4×30 + 0,2×10
1,2×30 + 1,6×10?
Soit V=? 4452?
2. Pour tout entier natureln, on poseWn=Vn-V.
2. a. Montrer queWn+1=M×Wn.
?n?N;Wn+1=Vn+1-V or ?n?N;Vn+1=M×Vn+RV=M×V+R
Donc, pour tout entiern:
W n+1=M×Vn+R-(M×V+R) W n+1=M×Vn+R-M×V-R W n+1=M×(Vn-V) Donc ?n?N;Wn+1=M×Wn www.math93.com /www.mathexams.fr9/13Correction Bac S 2014 - Amérique du Sud
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2. b. Pour la suite on admet que pour tout entiern:
?W n=Mn×W0 n?1,Mn=1 2n-1?0,2 0,1
0,6 0,3?
Calculer, pour tout entier natureln?1, Vnen fonction den. W0=V0-V=?
5060?
44
52?
6 8?
Or on a :
??n?N;Wn=Mn×W0 ?n?N?;Mn=1 2n-1?0,2 0,1
0,6 0,3?
Donc pour toutn?1,
W n=1 2n-1?0,2 0,1
0,6 0,3?
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