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Quelle année est concernée par les sujets de bac SVT?
En SVT des QCM sont apparus en 2012 au baccalauréat S, pour disparaitre avec l'épreuve de spécialité du bac 2021 , mais les anciens sujets vous permettrons quelque entrainement... en ligne (consultez les archives, les liens sont ci-dessus).
Combien de sujets sont disponibles dans la banque de sujets de bac ?
La banque officielle de sujets (.pdf (s) sur le site officiel). sujets 0 : 28 exercices à combiner (pdf sur le site eduscol; il s'agit d'exemples pour les deux "épreuves communes" prévues pendant l'année de première). C'est minimaliste. Exemple de sujet complet, avec sa correction La banque officielle de sujets (.pdf sur le site officiel).
Quand aura lieu l'épreuve de spécialité SVT au baccalauréat 2023 ?
En SVT, ceci concerne l'épreuve d'enseignement scientifique et l'épreuve de spécialité pour les élèves de première qui décident de l'abandonner en terminale. En 2023, les épreuves de spécialité terminale sont prévues en mars (lire ci-dessous ).
Quels sont les sujets de correction ?
Sujets1 & ?l?ments de corrections "phylog?nie" et "lign?e humaine" Sujet 2A: Des poules et des drosophiles... Sujet 2A: s?lection naturelle... Sujet IIA: Brassage g?n?tique, comportement des chromosomes et des all?les
![Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013 Corrigé Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013 Corrigé](https://pdfprof.com/Listes/17/47303-17Corrige_Nlle_Caledonie_S_14_nov_2013.pdf.pdf.jpg)
A. P. M. E. P.
?Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14/11/2013?Corrigé
EXERCICE15 points
Commun à tous les candidats
Soitfla fonction dérivable, définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=ex+1 x.1. Étude d"une fonctionauxiliaire
a.Soit la fonctiongdérivable, définie sur [0 ;+∞[ parg(x)=x2ex-1. Pour tout réelxde [0 ;+∞[ :g?(x)=2xex+x2ex?0 sur ]0 ;+∞[ (car tous les termes sont positifs. La fonctiongest strictement croissante sur [0 ;+∞[ (car la dérivée ne s"annule qu"en 0). b.g(0)=-1<0 etg(1)=e-1>0. Dressons le tableau de variations deg: x0a1+∞ g(x) -10e- 1 D"après ce tableau de variations, l"équationg(x)=0 admet une solution unique dans l"intervalle [0;1]; on appelleacette solution. g (0,703)≈-0,0018<0 etg(0,704)≈0,002>0 donca?[0,703;0,704]. c.D"après le tableau de variations deg: •g(x)<0 sur [0;a[ •g(x)>0 sur ]a;+∞[2. Étude de la fonctionf
a. limx→0ex=1 lim x→0 x>01 x=+∞??????? =?limx→0 x>0e x+1x=+∞=?limx→0 x>0f (x)=+∞ lim x→+∞ex=+∞ lim x→+∞1 x=0??? b.On notef?la fonction dérivée defsur l"intervalle ]0 ;+∞[. f(x)=ex+1 x=?f?(x)=ex-1x2=x2ex-1x2=g(x)x2 c.Pour toutxde ]0 ;+∞[,x2>0 doncf?(x)est du signe deg(x).On dresse le tableau de variation def:
x0a+∞ g(x)-1---0+++ f?(x)---0+++ f(x) f(a)Baccalauréat SA. P. M. E. P.
d.D"après son tableau de variation, la fonctionfadmet le nombref(a) comme minimum sur son intervalle de définition. f (a)=ea+1 a. Oraest la solution de l"équationg(x)=0 donc g (a)=0??a2ea-1=0??a2ea=1??ea=1 a2.On en déduit quef(a)=1
a2+1aet on a donc démontré que la fonctionf admettait pour minimum sur ]0 ;+∞[ le nombre réelm=1 a2+1a. e.On a successivement(en valeurs approchées) :0,703 0,4942 1 0,4957<1a2<10,4942
2,017<1
a2<2,024 0,703 1 0,704<1a<10,703
1,420<1
a<1,423 donc par somme : 2,017+1,420<1 a2+1a<2,024+1,423 et donc : 3,43 EXERCICE25 points
Commun à tous les candidats
Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn 3etvn+1=un+3vn4
PARTIEA
Variables :Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin État des variables :
KWUV 0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIEB
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn 4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
Nouvelle-Calédonie214 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 5 12et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.
D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n 2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On avu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ;on peut en déduire que pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0. Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn 4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn. Donc la suite
(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un. La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10. Pour tout entier natureln,vn>un
v n?10? =?un?10. La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2. Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u. La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v. 3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de
deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u. Or la suite
(wn)est géométrique de raison5 12et-1<512<1; donc on peut
dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?. 4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t 0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46. Les suites
(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?. La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7. La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7. Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
PartieA
1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la
probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc : 0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une
bille soit hors norme est 0,0124. 2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :
N 0,9876?A
0,99 A0,01 N 0,0124?A
0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P? N∩A?
=P(N)×PN(A)+P?N? ×PN(A)
≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P? A∩
N? P(A)=0,0002480,977972≈0,0003
La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième). PartieB
1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre
au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede 2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit
np?1-p?. DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24
etσ(Y)=? 3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes
hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p 2?1-p?n-2=?
100
2? ×0,01242×0,987698=
Nouvelle-Calédonie414 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 100
0? ×0,01240×0,9876100+?
100
1? ×0,01241×0,987699
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct? O,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
1. (1+i)4n=?(1+i)4?net(1+i)4=?(1+i)2?2 1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i ; donc(1+i)4=(2i)2=4i2=-4
Donc (1+i)4n=(-4)n;la propositionest vraie. 2.On cherche les solutions de l"équation (E) : (z-4)?z2-4z+8?=0.
Il y az=4 qui annulez-4.
Pourz2-4z+8=0 :Δ=(-4)2-4×1×8=16-32=-16<0
L"équation admet deux solutions complexes conjuguées : z 1=-(-4)+i?
16 2=4+4i2=2+2i etz2=2-2i
L"équation (E) admet pour solutions
4, 2+2i, 2-2i?
Représentons les points dont les affixes sont solutions de (E) : u? v ?Oquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36
0,4957<1a2<10,4942
2,017<1
a2<2,0240,703 1 0,704<1a<10,703
1,420<1
a<1,423 donc par somme : 2,017+1,420<1 a2+1a<2,024+1,423 et donc : 3,43 EXERCICE25 points
Commun à tous les candidats
Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn 3etvn+1=un+3vn4
PARTIEA
Variables :Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin État des variables :
KWUV 0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIEB
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn 4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
Nouvelle-Calédonie214 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 5 12et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.
D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n 2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On avu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ;on peut en déduire que pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0. Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn 4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn. Donc la suite
(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un. La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10. Pour tout entier natureln,vn>un
v n?10? =?un?10. La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2. Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u. La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v. 3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de
deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u. Or la suite
(wn)est géométrique de raison5 12et-1<512<1; donc on peut
dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?. 4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t 0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46. Les suites
(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?. La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7. La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7. Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
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EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
PartieA
1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la
probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc : 0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une
bille soit hors norme est 0,0124. 2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :
N 0,9876?A
0,99 A0,01 N 0,0124?A
0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P? N∩A?
=P(N)×PN(A)+P?N? ×PN(A)
≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P? A∩
N? P(A)=0,0002480,977972≈0,0003
La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième). PartieB
1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre
au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede 2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit
np?1-p?. DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24
etσ(Y)=? 3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes
hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p 2?1-p?n-2=?
100
2? ×0,01242×0,987698=
Nouvelle-Calédonie414 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 100
0? ×0,01240×0,9876100+?
100
1? ×0,01241×0,987699
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct? O,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
1. (1+i)4n=?(1+i)4?net(1+i)4=?(1+i)2?2 1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i ; donc(1+i)4=(2i)2=4i2=-4
Donc (1+i)4n=(-4)n;la propositionest vraie. 2.On cherche les solutions de l"équation (E) : (z-4)?z2-4z+8?=0.
Il y az=4 qui annulez-4.
Pourz2-4z+8=0 :Δ=(-4)2-4×1×8=16-32=-16<0
L"équation admet deux solutions complexes conjuguées : z 1=-(-4)+i?
16 2=4+4i2=2+2i etz2=2-2i
L"équation (E) admet pour solutions
4, 2+2i, 2-2i?
Représentons les points dont les affixes sont solutions de (E) : u? v ?Oquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36
EXERCICE25 points
Commun à tous les candidats
Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn3etvn+1=un+3vn4
PARTIEA
Variables :Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin État des variables :
KWUV 0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIEB
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn 4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
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Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 5 12et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.
D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n 2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On avu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ;on peut en déduire que pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0. Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn 4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn. Donc la suite
(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un. La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10. Pour tout entier natureln,vn>un
v n?10? =?un?10. La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2. Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u. La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v. 3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de
deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u. Or la suite
(wn)est géométrique de raison5 12et-1<512<1; donc on peut
dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?. 4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t 0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46. Les suites
(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?. La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7. La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7. Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
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EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
PartieA
1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la
probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc : 0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une
bille soit hors norme est 0,0124. 2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :
N 0,9876?A
0,99 A0,01 N 0,0124?A
0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P? N∩A?
=P(N)×PN(A)+P?N? ×PN(A)
≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P? A∩
N? P(A)=0,0002480,977972≈0,0003
La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième). PartieB
1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre
au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede 2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit
np?1-p?. DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24
etσ(Y)=? 3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes
hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p 2?1-p?n-2=?
100
2? ×0,01242×0,987698=
Nouvelle-Calédonie414 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 100
0? ×0,01240×0,9876100+?
100
1? ×0,01241×0,987699
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct? O,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
1. (1+i)4n=?(1+i)4?net(1+i)4=?(1+i)2?2 1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i ; donc(1+i)4=(2i)2=4i2=-4
Donc (1+i)4n=(-4)n;la propositionest vraie. 2.On cherche les solutions de l"équation (E) : (z-4)?z2-4z+8?=0.
Il y az=4 qui annulez-4.
Pourz2-4z+8=0 :Δ=(-4)2-4×1×8=16-32=-16<0
L"équation admet deux solutions complexes conjuguées : z 1=-(-4)+i?
16 2=4+4i2=2+2i etz2=2-2i
L"équation (E) admet pour solutions
4, 2+2i, 2-2i?
Représentons les points dont les affixes sont solutions de (E) : u? v ?Oquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36
AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
FinÉtat des variables :
KWUV0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIEB
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
Nouvelle-Calédonie214 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géomé- trique de raison 512et de premier termew0=v0-u0=10-2=8.
D"après le cours (forme explicite d"une suite géométrique)on peut dire que, pour tout entier natureln,wn=8?5 12? n2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On avu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ;on peut en déduire que pour tout n,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0.Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn.Donc la suite
(vn)est décroissante. b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à- direvn>un.La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10.Pour tout entier natureln,vn>un
v n?10? =?un?10.La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2.Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. c.La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de la convergence monotone, la suite (un)est convergente vers un réel?u.La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théo- rème, la suite (vn)est convergente vers un réel?v.3.La suite(wn),définie parwn=vn-un,est convergente comme différence de
deux suites convergentes, et sa limite est égale à?v-?u.Or la suite
(wn)est géométrique de raison512et-1<512<1; donc on peut
dire que la suite (wn)est convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?.4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46.Les suites
(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite tn)définie partn=3un+4vnest convergente vers 3?+4?=7?.La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7.La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7.Nouvelle-Calédonie314 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE35 points
Commun à tous les candidats
PartieA
1.Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la
probabilité qu"une bille soit dans la norme est P (9?X?11)=P(X?11)-P(X?9). La probabilité que la bille soit hors norme est donc :0,01241933; donc une valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une
bille soit hors norme est 0,0124.2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :
N0,9876?A
0,99 A0,01 N0,0124?A
0,02 A0,98 b.D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P?N∩A?
=P(N)×PN(A)+P?N?×PN(A)
≈0,9780 La probabilité deAest 0,9780 (arrondie au dix-millième). c.On cherche :PA? N? =P?A∩
N?P(A)=0,0002480,977972≈0,0003
La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième).PartieB
1.Laprobabilitéqu"unebillesoithorsnormeest0,0124 :onadmetqueprendre
au hasard un sacde 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées. DonclavariablealéatoireYqui, àtout sacde100 billes, associe lenombrede2.L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit
np?1-p?.DoncE(Y)=np=100×0,0124=1,24
etσ(Y)=?3.La probabilité pour qu"un sac de 100 billes contienne exactement deux billes
hors norme estP(Y=2). P (Y=2)=? n 2? p2?1-p?n-2=?
1002?
×0,01242×0,987698=
Nouvelle-Calédonie414 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
P (Y?1)=P(Y=0)+P(Y=1) 1000?
×0,01240×0,9876100+?
1001?
×0,01241×0,987699
Nouvelle-Calédonie514 novembre2013
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct?O,-→u,-→v?
On noteCl"ensemble des nombres complexes.
1. (1+i)4n=?(1+i)4?net(1+i)4=?(1+i)2?21+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i ; donc(1+i)4=(2i)2=4i2=-4
Donc (1+i)4n=(-4)n;la propositionest vraie.2.On cherche les solutions de l"équation (E) : (z-4)?z2-4z+8?=0.
Il y az=4 qui annulez-4.
Pourz2-4z+8=0 :Δ=(-4)2-4×1×8=16-32=-16<0
L"équation admet deux solutions complexes conjuguées : z1=-(-4)+i?
162=4+4i2=2+2i etz2=2-2i
L"équation (E) admet pour solutions
4, 2+2i, 2-2i?
Représentons les points dont les affixes sont solutions de (E) : u? v ?Oquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36[PDF] l'intolérance au lactose exercice bac
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