[PDF] Cahier de Vacances Mathématiques

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Cahier de Vacances

Math´ematiques

De la 3e `a la 2nde

Pr´eface

Les professeurs de Math´ematiques des coll`eges et des lyc´ees de l"acad´emie de Corse se sont r´eunis pour travailler

sur la liaison entre le coll`ege et le lyc´ee g´en´eral. Ils vous proposent un livret d"entrainement que vous pourrez

r´ealiser pendant les vacances d"´et´e. Il est `a destination des ´el`eves de troisi`eme entrant en seconde g´en´erale`a la

rentr´ee prochaine. Il n"est pas obligatoire, pas `a rendreet pas not´e.

Les exercices sont class´es par th`eme, ils sont de niveaux variables; des rappels de cours sont propos´es. Nous

vous recommandons de commencer par les exercices les plus simples (une ´etoile) et d"alterner les th`emes (ne

pas faire tous les exercices d"un th`eme donn´e le mˆeme jour).

Si vous ne parvenez pas `a faire les exercices, vous pourrez exprimer vos difficult´es `a votre futur professeur de

Math´ematiques de seconde.

En fin de livret, vous trouverez un espace d´etente avec des activit´es plus ludiques ainsi qu"un corrig´e rapide.

Bonnes vacances `a tous.

Val´erie Bordes, IA-IPR de Math´ematiques de l"acad´emie de Corse

Table des mati`eres

I Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1

II Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3

III Expressions litt´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 5

IV Factoriser une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 7

V Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 8

VI Notion de Fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 10

VII Quadrilat`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13

VIII Un peu de d´etente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 17

Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 21

Fractions

Rappel de cours

Dans tout ce qui suita,b,c,detksont des entiers relatifs avecb,detkdiff´erents de z´ero. •FRACTIONS´EGALES : On ne change pas un quotient en multipliant (ou en divisant) son num´erateur et son d´enominateur par un mˆeme nombre non nul: a b=a×kb×k=a÷kb÷k •R´EDUIRE DEUX FRACTIONS AU MˆEME D´ENOMINATEUR : Pour r´eduire des fractions au mˆeme d´enominateur, il faut trouver un multiple commun auxd´enominateurs : a b+cd=adbd+bcbd=ad+bcbd •ADDITION - SOUSTRACTION : On peut additionner ou soustrairedeux fractions si elles sont r´eduites au mˆeme d´enominateur : a b+cb=a+cbouab-cb=a-cb •MULTIPLICATION :a b×cd=a×cb×d •DIVISION : Diviser c"est multiplier par l"inverse : (avecb,cetdnon nuls) a b÷cd=ab×dc

Je m"exerce?

1Donner les fractions suivantes sous forme irr´eductible

A=7

21B=568C=5672D=2π6π

2Calculer et donner le r´esultat sous forme de fraction irr´eductible

A=3

7+27B=27-27C=37+314

D=-3

7+314E=37+54F=614+45

G=-4

6+2114H=2 +75I=13+48-56

1

Je m"exerce??

3Calculer et donner le r´esultat sous forme de fraction irr´eductible

A=1

4Calculer et donner le r´esultat sous forme de fraction irr´eductible

E=7

5Calculer et donner le r´esultat sous forme de fraction irr´eductible

M=2

3+53÷58N=110+310×45P=718-?53-1?

2

Je m"exerce? ? ?

6Calculer et donner le r´esultat sous forme de fraction irr´eductible

A=2

3×4

5B=2

3×12

4C=2

3×(-5)

4D=-23×?

-125? E=2

3÷2

3F=2 37
5G=5 4 3

7Lisandra fait une randonn´ee sur le GR20 pendant 3 jours.Le premier jour, elle parcourt les3

8du trajet.

Le deuxi`eme jour, elle parcourt les

4

5de la distance parcourue le premier jour.

Quelle fraction de la distance totale lui reste-t-il `a parcourir le troisi`eme jour? 2

Puissances

Rappel de cours

Pour tout nombreaet tout entiernsup´erieur

ou ´egal `a 1, a n=a×a×a×....×a avecnfacteursa.

Pour tout nombreanon nul et tout entiern

sup´erieur ou ´egal `a 1, a -n=1 an•a1=a,pour tout nombrea •a0= 1,pour tout nombrea •a-1=1 a,pour tout nombreanon nul •1n= 1,pour tout entiern •0n= 0,pour tout entiernnon nul

NOTATION SCIENTIFIQUE :

a×10n

Exemple :

250000 = 2,5×105

Je m"exerce?

1Ecrire sous forme d´ecimale

A=102+ 103B=102-103C=3×104

D=2×10-2E=5×103+ 2×103F=5×102+ 2×103

2Ecrire les r´esultats sous la forme 10n

A=102×105B=10-2×105C=1015

105D=1051015

E=1

105F=10310-7G=107107H= (102)3

3

Je m"exerce??

3Un laboratoire effectue des recherches sur le d´eveloppementd"une population de bact´eries dans un milieu

clos. Les chercheurs observent que le nombre de bact´eries triple toutes les heures.

A 0 heure, il y a 4 bact´eries.

1D´eterminer le nombre de bact´eries :

a.`a 1 heure; b.`a 2 heures; c.`a 5 heures.

2Exprimer le nombre de bact´eries `a 24heures.

AB

1HeureNombre de

bact´eries 204
3112
42
53
64

4Voici quelques distances dans l"univers. Compl´eter le tableau ci-dessous :

Distances en kmDistances en km en notation

scientifique

Terre-Lune384 400

Terre-Soleil149 600 000

Soleil-Jupiter7783×105

Soleil-Neptune4,5×109

Etoile Polaire-Terre4 100 000 000 000 000

Je m"exerce? ? ?

5On sait que la galaxie du grand nuage de Magellan est `a 162 000ann´ees-lumi`ere de la terre.

Exprime cette distance en km en utilisant la notation scientifique. Indication : 1 ann´ee-lumi`ere est ´egale `a 9 461 milliards de kilom`etres.

6Combien peut-on aligner de virus de longueur 10-7m sur un segment de 1 mm?

4

Expressions litt´erales

Rappel de cours

•R´EDUIRE une expression litt´erale : R´eduire une somme, c"est l"´ecrire avec le moins de termes

possibles.

Exemple :4x+ 6y+ 2x-y= 6x+ 5y

R´eduire un produit, c"est l"´ecrire avec le moins de facteurs possibles.

Exemple :2x×3x= 6x2

•D´EVELOPPER une expression litt´erale : C"est transformer unproduit en somme ou diff´erence.(aveck,a,b,cetddes nombres relatifs) →Simple distributivit´e :k(a+b) =ka+kbouk(a-b) =ka-kb →Double distributivit´e : (a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd •FACTORISER une expression litt´erale : Factoriser une somme ou une diff´erence signifie l"´ecrire sous la forme d"un produit.(aveck,a,btrois nombres relatifs) ka+kb=k(a+b) ouka-kb=k(a-b)

Je m"exerce?

1R´eduire les sommes suivantes

A= 3x+ 2x-5x E= 10x2-3x+ 8-4x2-7x-10

B= 4a-15a+a+ 2 + 15a F= 3ab+ 6a-b-4ab-2a

C= 12a+ 4-10b+ 8a+ 2b-1G=2

3x+ 2x

D= 0,9y+y

2Simplifier les produits suivants

A= 3×2a B= 6×(-3)×x C= 2×x×5

D=x×4x E=-10×x×0,2x F= (-3x)(-5x)

5

Je m"exerce??

3D´evelopper les expressions suivantes

A= 2(x+ 5)B= 3(a-2)C=x(2x+ 4)

D= (2-7x)×4E= 10x(5 + 2x)F= 8(-2 +x)

G= 3x(4x-1)-2x(6x+ 2)

4D´evelopper et r´eduire

A= (x+ 1)(x+ 3)B= (x+ 3)(x-5)C= (5-x)(x+ 4)

D= (10-x)(3-x)E= (2x-3)2F= (x-1)(x+ 1)

G= (x-1

3)(3x+ 2)H= 25x2-(10x+ 1)(2x-5)I= (8x-2)(3x-2)-2x(x+ 4)

5Factoriser

A= 2a+ 2x B= 9x+ 18C= 12a-8b+ 16

D= 2x2-x E=-2t2+ 6t F= 12a2+ 12a

Je m"exerce? ? ?

6Probl`eme 1

3 m6 m

1Calculer le p´erim`etre et l"aire du rectangle ci-dessus.

2On ajoutexm`etres `a la longueur et `a la largeur.

Exprimer le nouveau p´erim`etre et la nouvelle aire en fonction dex.

7Probl`eme 2

•Choisir un nombre •Lui ajouter 4 •Multiplier par le nombre de d´epart •Retirer le carr´e du nombre de d´epart

Si le nombrexchoisi est un nombre entier naturel, montrer que le r´esultat obtenu est un multiple de 4.

6

Factoriser une expression

Rappel de cours

Je sais trouver un facteur cach´e

A=7ab+ 14a

7×a×b+ 2×7×a

=7×a(b+ 2) =7a(b+ 2)

Je m"exerce?

1Factoriser.

B=5xy+ 35y C=x2-3x

D=24a-6a2E=x3-x2

F=12xy+ 6x2y-3xy2

Rappel de cours

Je sais factoriser avec une addition

G= (2x+ 3)(x-1) + (3x+ 8)(2x+ 3) =(2x+ 3)[(x-1) + (3x+ 8)] =(2x+ 3)(x-1 + 3x+ 8) =(2x+ 3)(4x+ 7)

Je m"exerce?

2Factoriser.

H=(5x-4)(x+ 2) + (5x-4)(-3x+ 7)

I=(x+ 3)2+ (x+ 3)(5x-8)

J=(2x-7)(-x+ 4) + (2x-7)

K=?2

3x+ 4?

2 +?23x+ 4??52-x?

Rappel de cours

Je sais factoriser avec une soustraction

L=(6x+ 5)

(3x-7)-(3x-7)(-x+ 3) =(3x-7)[(6x+ 5)-(-x+ 3)] =(3x-7)(6x+ 5 +x-3) =(3x-7)(7x+ 2)

Je m"exerce??

3Factoriser.M=(2x-5)(x+ 2)-(x+ 2)(-7x+ 3)

N=(5x+ 4)(x-1)-(x-1)2

P=(2x+ 3)(x-9)-4(2x+ 3)

Q=?1 3x-5? (2x+ 3)-(2x+ 3)?16x-2?

Rappel de cours

Je sais utilisera2-b2= (a+b)(a-b)

R=x2-4

=x2-22 =(x+ 2)(x-2)Je m"exerce? ? ?

4Factoriser.

S=x2-81T=4x2-25

U=16x2-(2x+ 5)2V=x2-3

7

Equations

Rappel de cours

Je sais r´esoudre une ´equation simple

2x+ 5 = 2

?2x+ 5 -5= 2-5 ?2x=-3 2x 2=-32 ?x=-32

Je m"exerce?

1R´esoudre les ´equations suivantes.

a)4x-3 =-5 b)-2x= 1 c)2 = 7x-4 d)5(2-x) = 3

Rappel de cours

Je sais r´esoudre une ´equation

8x-1 = 5x+ 4

?8x-1 -5x= 5x+ 4-5x ?3x-1+1= 4+1 ?3x3=53 ?x=53

Je m"exerce??

2R´esoudre les ´equations suivantes.

a)5x-7 =-3x+ 9 b)5x+ 4 = 8x-6 c)0,4x+ 3,1 = 2,4 + 0,5x d)2

7x-43=-37x+13

Rappel de cours

Je sais r´esoudre une ´equation produit

(4x-9)(x+ 12) = 0

Un produit de facteur est nul si et seulement

si l"un au moins des facteurs est nul.

4x-9 = 0ou x+ 12 = 0

?4x= 9ou x=-12 ?x=9

4ou x=-12

Je m"exerce??

3R´esoudre les ´equations suivantes.

a)(x+ 7)(5x-10) = 0 b)5x(15x+ 12) = 0 c)8(2,1x-4,9) = 0 d)(-3x+ 11)(7x-4) = 0 e) ?3

2x+ 6??815x+1625?

= 0

Rappel de cours

Je sais r´esoudrea2-b2= 0

4x2-25 = 0

?(2x)2-52= 0 ?(2x-5)(2x+ 5) = 0 ?2x-5 = 0ou2x+ 5 = 0 ?2x= 5ou2x=-5 ?x=5

2ou x=-52

Je m"exerce? ? ?

4R´esoudre les ´equations suivantes.

a)x2-9 = 0 b)81-16x2= 0 c)25x2-(x+ 2)2= 0 d)x2-5 = 0 8

Je m"exerce? ? ?

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