[PDF] Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation `a l





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Khâgne B/L Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de

Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aléatoires réelles discr`etes. 08.1. On dispose de n bo?tes numérotées de 1 `a n.



Leçon 258 — Couples de variables aléatoires possédant une

Calculer les lois marginales de X1 et de X2. Exercice 4 (Loi Gamma). Soient X1X2



Exercices corrigés

Soit (XY ) un couple de variables aléatoires indépendantes. On suppose que X suit une loi uniforme sur [0



Couples de variables aléatoires discrètes

2 Généralités sur les couples de variables aléatoires réelles Déterminons les lois marginales du couple (X Y ) dans l'exercice précédent.



TD1 : Variables aléatoires réelles vecteurs aléatoires

La variable aléatoire Y = X2 est-elle `a densité ? Reconna?tre la loi de Y . 3. Calculer l'espérance et la variance de Y . Exercice 3.



Couples de variables aléatoires discrètes Loi dun couple lois

Loi d'un couple lois marginales et conditionnelles. Exercice 7.1 (?). On considère un couple (X



Probabilités TD6 ter Lois de probabilité dun couple de variables

Exercice 1 : transferts 2D. 1. Soient 2 variables aléatoires réelles (v.a.r.) X et Y indépendantes de loi exponentielle de paramètre.



Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation `a l

C'est alors un exercice de dénombrement que de démontrer que le couple (X Y ) suit alors une loi trinomiale de param`etres (n



Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation `a l

C'est alors un exercice de dénombrement que de démontrer que le couple (X Y ) suit alors une loi trinomiale de param`etres (n



Exercices de Probabilités

Exercices de Probabilités 6 Couples de variables aléatoires ... Exercice 2. X variable aléatoire réelle discrète



TD01- COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES ET INDEPENDANCE

un couple (X Y) de variables aléatoires discrètes Les nombres écrits près des points sont les poids des points Ils sont proportionnels aux probabilités 1 Tracer la droite de régression de Y en X On détaillera les calculs 2 Calculer le coefficient de corrélation linéaire de X et de Y Exercice 12



Kh^agne B/L Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de

Kh^agne B/L Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de variables al eatoires r eelles discr etes 08 1 On dispose de nbo^ tes num erot ees de 1 a n La bo^ te kcontient kboules num erot ees de 1 a k On choisit au hasard une bo^ te puis une boule dans cette bo^ te Soit Xle num ero de la bo^ te et Y le num ero de la boule



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Ainsi les variables aléatoires réelles considérées ne prennent qu’un nombre ?ni de valeurs I –Lois de probabilités 1 –Loi d’un couple de variables aléatoires Dé?nition 2 1 – On appelle couple de variables aléatoires tout couple (XY) où X et Y désignent deux variables aléatoires dé?nies sur un même ensemble › (l

  • Exercice 1

    et sont deux v.a.r. indépendantes définies sur le même espace probabilisé. suit la loi normale centrée réduite, on notera sa fonction de répartition et sa densité continue sur . suit la loi uniforme sur . On pose . Question 1 : , , et sont indépendantes, donc . est strictement positive sur ; est nulle en dehors de et vaut sur ,donc est bornée, donc...

  • Exercice 2

    On considère une suite de v.a.r. indépendantes suivant toutes la même loi de Bernouilli de paramètre , . Pour , on pose . Question 1 : est somme de deux v.a.r. indépendantes qui suivent une loi de Bernouilli de paramètre , donc suit une loi binomiale de paramètre . et . Question 2 : L’espérance est linéaire, donc . On écrit: . Les v.a.r. , et sont ...

  • Exercice 3

    Une v.a.r. définie sur est symétrique si pour tout réel, . Question 1: Si suit la loi normale centrée réduite, on a bien pour tout réel, , c’est-à-dire , et comme est à densité, . Donc est symétrique. Question 2: Si est symétrique et à densité, pour tout réel, , donc en dérivant : est paire, sa courbe en repère orthogonal est symétrique par rapport...

  • Exercice 4

    , , sont des v.a.r. définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, de fonctions de répartition . On définit les v.a.r. et par et . Question 1 : Pour tout réel, , et sont indépendantes, donc: Question 2 : sont continues sur , sur privé peut-être d’un nombre fini de points, donc et ont ces mêmes propriétés, donc et sont à densité. Question 3...

Comment trouver une variable aléatoire indépendante d'elle-même?

Trouver une variable aléatoire indépendante d'elle-même. Exercice 5 On considère l'épreuve consistant à jeter 2 fois un dé normal. On désigne par X le premier numéro obtenu, par Y le deuxième numéro obtenu et par Z l’indicatrice de l’événement : « La somme des deux numéros obtenus est impaire ».

Comment montrer qu'une variable aléatoire suit une loi de Pareto ?

Exercice 13 - Produit de lois de Pareto [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] On dit que la variable aléatoire X suit une loi de Pareto de paramètre ? > 0 si, ?x ? 1, P(X > x) = x ? ?. Démontrer que cette propriété caractérise effectivement la loi de X . Montrer que X suit une loi à densité, et préciser cette densité.

Comment calculer la probabilité de couple ?

On pose, pour tout couple (i, j) ? {1, …, n + 1}2 ai, j = P(X = i, Y = j). On suppose que : ai, j = { 1 2n si | i + j ? (n + 2) | = 1 0 sinon. Vérifier que la famille (ai, j) ainsi définie est bien une loi de probabilité de couple. Ecrire la matrice A ? Mn + 1(R) dont le terme général est ai, j. Vérifier que A est diagonalisable.

Est-ce que la courbe en repère orthogonal est symétrique ?

: est paire, sa courbe en repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Si est symétrique et à densité, pour tout réel, est à densité et , donc en dérivant . Donc a même loi que . Si admet une espérance, , donc .

Couples et vecteurs de variables aléatoires Préparation `a l

Couples et vecteurs de variables aleatoires

Preparation a l'agregation interne

1 Couples et vecteurs aleatoires discrets

1.1 Loi conjointe

On se donneXetYdeux variables aleatoires discretes avecX( ) =fxi;i2NgetY( fyj;j2Ng. Laloi conjointedu couple (X;Y) est donnee par (X;Y)( ) (ou parX( ) et Y( )) ainsi que par les probabilites P(X=x;Y=y) =Pf!;X(!) =xetY(!) =yg;pour tout couple (x;y)2(X;Y)(

Remarque :On doit bien entendu avoirP

x;yP(X=x;Y=y) = 1. Plus generalement, siX1;:::;Xnsontnvariables aleatoires discretes a valeurs dansN, la loi conjointe du vecteur (X1;:::;Xn) est donnee par l'ensemble-image (X1;:::;Xn)( )Nn ainsi que par les probabilitesP(X1=i1;:::;Xn=in), pour toutn-uplet (i1;:::;in)2Nn. Exemple 1 :Fixonsp2]0;1[ et >0 et considerons le couple de variables aleatoires (X;Y) a valeurs dansf0;1g Ndont la loi est donnee par :

P(X= 0;Y= 0) = 1p

P(X= 1;Y=k) =pek=k!;pour toutk2N

P(X=j;Y=k) = 0 sinon.

On a bien

P i;jP(X=i;Y=j) = 1 : on a donc bien ecrit la loi d'un couple aleatoire discret. Exemple 2 :On dispose d'une urne contenant quatre jetons numerotes de 1 a 4, et on tire au sort successivement deux jetons sans remise. On note (X;Y) les resultats des deux tirages. On a :P(X=i;Y=i) = 0 pour toutientre 1 et 4 etP(X=i;Y=j) = 1=12 si

1i;j4 eti6=j.

On peut ecrire les probabilites sous la forme du tableau suivant (ou par exemple dans la deuxieme case de la premiere ligne, on litP(X= 1;Y= 2)) :

XnY1234

Exemple 3 : Loi trinomiale.On se xe un nombre entiernstrictement positif et deux parametres reels positifspxetpytels quepx+py1. La loi trinomiale (n;px;py) est la loi du couple (X;Y) tel que (X;Y)( )2N2et donnee pour tout (i;j)2N2tels quei+jnpar :

P(X=i;Y=j) =n!i!j!(nij)!pixpjy(1pxpy)nij;

2 etP(X=i;Y=j) = 0 sinon. Exercice :Montrer que l'on denit bien ainsi la loi d'un couple aleatoire. La loi trinomiale est une extension de la loi binomiale. Imaginons en eet une experience qui a trois issues possibles, noteex,yetz, avec comme probabilite de realisationpx,pyet p z= 1pxpy. Repetonsnfois cette experience (nest xe) de facon independante et comptons le nombre d'apparitions dex(nombre noteX) et dey(noteZ) parmi cesnrepetitions. C'est alors un exercice de denombrement que de demontrer que le couple (X;Y) suit alors une loi trinomiale de parametres (n;px;py).

1.2 Lois marginales

Denition 1.1Les (deux)lois marginalesdu couple(X;Y)sont les lois des variables alea- toiresXetY. On les obtient de la facon suivante :

P(X=x) =X

y2Y( )P(X=x;Y=y);

P(Y=y) =X

x2X( )P(X=x;Y=y):

Preuve :On a

fX=xg=fX=x;Y2Y( )g=[ y2Y( )fX=x;Y=yg: Comme la reunion est denombrable et disjointe, il vient :

P(X=x) =X

y2Y( )P(X=x;Y=y): Plus generalement, un vecteur (X1;:::;Xn) a valeurs dansZnpossedenlois marginales unidimensionnelles, mais egalementn(n1) lois marginales bidimensionnelles, et ainsi de suite.

On a par exemple

P(X1=x) =X

(x2;:::;xn)2Zn1P(X1=x;X2=x2;:::;Xn=xn):

Reprenons les exemples precedents :

Exemple 1.

Determinons la loi deX:Xest a valeurs dansf0;1get on a :

P(X= 0) =X

j2NP(X= 0;Y=j) = 1p:

De la m^eme facon :

P(X= 1) =X

j2NP(X= 1;Y=j) =X j0pe j=j! =p: 3 La variable aleatoireXsuit donc une loi de Bernoulli de parametrep. Calculons aussi la loi de Y:

P(Y= 0) =P(X= 0;Y= 0) +P(X= 1;Y= 0) = 1p+pe:

Et pour toutj1,

P(Y=j) =P(X= 0;Y=j) +P(X= 1;Y=j) =pej=j!:

Exemple 2 :Il sut de sommer en colonne pour avoir la loi deX, et en ligne pour obtenir celle deY. En pratique, on peut ajouter une colonne et une ligne au tableau pour y ecrire les lois de XetY. Et avant de conclure, on prend le soin de verier que la somme de cette colonne (et de cette ligne) vaut 1. On trouve ici queXetYsuivent une loi uniforme surf1;2;3;4g. Exemple 3 :On considere le couple (X;Y) de loi trinomiale (n;px;py). Determinons la loi marginale deX: xonsj2 f0;:::;nget evaluonsP(X=j). On a

P(X=j) =nX

k=0P(X=j;Y=k) njX k=0P(X=j;Y=k) +nX k=nj+1P(X=j;Y=k) njX k=0n!j!k!(njk)!pjxpky(1pxpy)njk+ 0 n!j!(nj)!pjxnjX k=0(nj)!k!(njk)!pky(1pxpy)njk n j p jx(1px)nj La variable aleatoireXsuit donc une loi Bin(n;px). Un calcul similaire montre queYsuit une loi binomiale Bin(n;py).

1.3 Loi def(X;Y)

Probleme :On dispose d'un couple de variables aleatoires discretes (X;Y) dont on conna^t la loi conjointe et on voudrait conna^tre la loi de la variable aleatoireZ=f(X;Y), ouf: X( )Y( )!Rest une fonction donnee. Par exemple, on a souvent besoin de conna^tre la loi deX+Y, ou celle deXY, ou deXY. Et determiner la loi deXa partir de celle de (X;Y) revient a considerer la fonctionf(x;y) =x.

Proposition 1.2On aZ(

) =f((X;Y)( ))et pour toutz2f((X;Y)( )), on a

P(Z=z) =X

(x;y)2(X;Y)( );f(x;y)=zP(X=x;Y=y): 4 Exemple :Reprenons une nouvelle fois l'exemple 1 et considerons la fonctionf(x;y) =xy. La variable aleatoireXYest a valeurs dansNet on a

P(XY= 0) =P(X= 0;Y= 0) +P(X= 1;Y= 0) = 1p+pe

et, pour toutk2N,

P(XY=k) =P(X= 1;Y=k) =pekk!:

Un cas particulier important. Nous considerons ici la fonctionf(x;y) =x+y. On obtient :

P(X+Y=z) =X

(x;y)2(X;Y)( );x+y=zP(X=x;Y=y) X x2X( )P(X=x;Y=zx) X y2Y( )P(X=zy;Y=y) Plus generalement, siX= (X1;:::;Xn) est un vecteur aleatoire discret etf:X( )!R est une fonction donnee, on a :

P(f(X1;:::;Xn) =z) =X

x

On en deduit le corollaire fondamental suivant :

Proposition 1.3SoientXetYdeux variables aleatoires discretes et integrables. Alors la variable aleatoireZ=X+Yest integrable et on aE(X+Y) =E(X) +E(Y). Preuve :En eet, on vient de voir queZest une variable aleatoire discrete et que sa loi est donnee par : pour toutz2(X+Y)(

P(X+Y=z) =X

x2X( )P(X=x;Y=zx)

On a donc

E(jX+Yj) =X

z2(X+Y)( )2 4 jzjX x2X( )P(X=x;Y=zx)3 5 Puis

E(jX+Yj) =X

z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )jx+ (zx)jP(X=x;Y=zx)3 5 5

En utilisant l'inegalite triangulaire, il vient :

E(jX+Yj)X

z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )(jxj+jzxj)P(X=x;Y=zx)3 5 X z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )jxjP(X=x;Y=zx)3 5 X z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )jzxjP(X=x;Y=zx)3 5

Etudions tout d'abord la premiere somme :

X z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )jxjP(X=x;Y=zx)3 5 =X x2X( )2 4 jxjX z2(X+Y)( )P(X=x;Y=zx)3 5 X x2X( )[jxjP(X=x)] =E(jXj)

Passons a la deuxieme somme : sommer surx2X(

) ou surxtel quezx2Y( ) ne change pas la valeur de cette somme. On a donc X z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )jzxjP(X=x;Y=zx)3 5 =X z2(X+Y)( )2 4 X zx2Y( )jzxjP(X=x;Y=zx)3 5 X z2(X+Y)( )2 4 X y2Y( )jyjP(X=zy;Y=y)3 5 X y2Y( )2 4 jyjX z2(X+Y)( )P(X=zy;Y=y)3 5 X y2Y( )jyjP(Y=y) =E(jYj) On remarque donc que siXetYsont integrables,X+Yl'est egalement, et en eectuant le m^eme calcul sans les valeurs absolues, on conclut queE(X+Y) =E(X) +E(Y). Exemple :Supposons que (X;Y) suit une loi trinomiale (n;px;py) et calculons la loi deX+Y. Cette variable aleatoire est a valeurs dansNet on a, pour tout entierk:

P(X+Y=k) =nX

j=0P(X=j;Y=kj): Pour toutk > n, chacun des termes de cette somme est nul doncP(X+Y=k) = 0. 6

Fixons maintenant un entierk2 f0;:::;ng. On a :

P(X+Y=k) =kX

j=0P(X=j;Y=kj) kX j=0n!j!(kj)!(nk)!pjxpkjy(1pxpy)nk n!(nk)!(1pxpy)nkkX j=01j!(kj)!pjxpkjy n!k!(nk)!(1pxpy)nk(px+py)k: La variable aleatoireX+Ysuit donc une loi binomiale Bin(n;px+py).

1.4 Loi conditionnelle

Considerons un couple (X;Y) de variables aleatoires discretes, dont on conna^t la loi jointe et xonsytel queP(Y=y)>0. Laloi conditionnelledeXsachant l'evenementfY=ygest donnee par le fait que c'est une loi surX( ) ainsi que par les probabilites conditionnellesP(X=xjY=y) pour tout x2X(

On verie aisement queX

x2X( )P(X=xjY=y) = 1 ce qui implique que la loi conditionnelle deXsachantfY=ygest la loi d'une variable aleatoire. De plus, la formule des probabilites totales implique que

P(X=x) =X

y2Y( )P(X=xjY=y)P(Y=y): Cette denition de la loi conditionnelle s'etend a des vecteurs aleatoires : par exemple pour un triplet aleatoire (X;Y;Z), on peut etudier la loi conditionnelle deXsachantfY=yg, la loi conditionnelle deXsachantfY=yetZ=zg, la loi conditionnelle du couple (X;Y) sachant fZ=zg... Exemple 1 :La loi deYsachantfX= 1gest donnee parY( )2Net, pour tout entier positifk, on a

P(Y=kjX= 1) =P(Y=ketX= 1)P(X= 1)=pekk!1p

=ekk!: La loi conditionnelle deYsachant quefX= 1gest donc une loi de Poisson de parametre 7 Exemple 2 :La loi deXsachantfY= 1gest la loi uniforme surf2;3;4g. Exemple 3: Supposons que (X;Y) suit une loi trinomiale (n;px;py) et calculons la loi conditionnelle deXsachantfY=kg, pour un entierk2 f0;:::;ng. Remarquons tout d'abordquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38
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