[PDF] Cours dAlg`ebre 1 Année LMD Mathématiques et Informatique

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EPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE

& POPULAIRE

MINIST

ERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSIT

E IBN KHALDOUN-TIARETFACULT

E DES MATHEMATIQUES

ET DE L'INFORMATIQUE

Cours d'Algebre

1 reAnnee LMD

Mathematiques et Informatique

Realise par

DrAbdelkader MAATOUG

Expertise par :

PrLahcene GUEDDA- Uviversite Ibn Khaldoun, Tiaret. PrSeddik OUAKKAS- Uviversite Dr Moulay Tahar, Saida. 2

Avant Propos

Dans ce polycopie sont donnees quelques notions de base d'Algebre generale et d'Algebre lineaire. Loin d'^etre complet, ce manuel de cours expose des denitions et des theoremes importants dans cette branche de mathematiques. Il est destine aux etudiants de premiere annee LMD Mathematiques et Informatique (MI). Il peut aussi^etre utilise par lesetudiants d'autres paliers en sciences et sciences et techniques ou autre, la raison pour laquelle la rigueur des mathematiciens et certaines preuves sont parfois absentes. Ce texte est compose de deux parties. La premiere partie porte sur l'algebre generale. La deuxime partie est une introduction a l'algebre lineaire et un peu de calcul matriciel. Toutes les remarques et commentaires sont les bienvenus de la part des ensei- gnants ou des etudiants. Ils peuvent ^etre envoyes a : abdelkader.maatoug@univ-tiaret.dz ou maatougaek@yahoo.fr

Tiaret le 16-11-2017

Abdelkader MAATOUG

2

Table des matieres

3

4TABLE DES MATIERES

Premiere partie

Algebre I

5

Chapitre 1

Notions de logique

1.1 Calcul propositionnel

1.1.1 Notion de proposition

Denition 1.1.1On appelle proposition tout enonce qui est soit vrai soit faux.

Exemples

1) Je suis un ^etre humain. (cet enonce est vrai, donc c'est une proposition).

2) Comment allez vous? (cet enonce n'est ni vrai ni faux, donc ce n'est pas une

proposition)

3) 11 = 1 et 1 + 1 = 1:(cet enonce est faux, donc c'est une proposition)

4) L'entieradivise 2:(cet enonce n'est ni vrai ni faux, donc ce n'est pas une propo-

sition) Les propositions sont souvent noteesP; Q; R; P0;:::etc.

Quand une propositionPest vraie, on ecrit : On aP:A partir d'une ou plusieurs propositions, on peut construire de nouvelles propo-

sitions dites composees. C'est l'objet des paragraphes suivants.

1.1.2 La negation

Denition 1.1.2La negation d'une propositionPest la proposition noteePet qui est vraie siPest fausse et qui est fausse siPest vraie.Pse lit : NonP:

Exemples

1) SiPest : "Je suis un ^etre humain",

alorsPest : "Je ne suis pas un ^etre humain"

2) SiQest : "ce tableau est rouge",

alorsQest : " ce tableau n'est pas rouge". 7

8CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE

Attention :Qn'est pas " ce tableau est vert".

Remarque 1.1.1Pest aussi noteeeP:

1.1.3 La conjonction

Denition 1.1.3La conjonction des deux propositionsPetQest la proposition noteeP^Qet qui est vraie siPetQsont simultanement vraies et fausse dans les autres cas.

P^Qse lit :PetQ:

Exemples

SiPest : "Je suis un ^etre humain"

etQest : "Ce tableau est rouge", alors

1)P^Qest : "Je suis un ^etre humainetce tableau est rouge" (cette proposition

est fausse).

2)P^Qest : "Je suis un ^etre humainetce tableau n'est pas rouge" (cette proposition

est vraie).

1.1.4 La disjonction

Denition 1.1.4La disjonction des deux propositionsPetQest la proposition noteeP_Qet qui est fausse siPetQsont simultanement fausses et vraie dans les autres cas.

P_Qse lit :PouQ:

Exemples

SiPest : "Je suis un ^etre humain"

etQest : "ce tableau est rouge", alors

1)P_Qest : "Je suis un ^etre humainouce tableau est rouge" (cette proposition

est vraie).

2)P^Qest : "Je ne suis pas un ^etre humainouce tableau est rouge" (cette

proposition est fausse).

1.1.5 L'implication

Denition 1.1.5L'implication des deux propositionsPpuisQest la proposition noteeP)Q, qui est fausse siPest vraie etQest fausse et qui est vraie dans les autres cas.

P)Qse lit :PimpliqueQ, ou aussi : SiPalorsQ:

1.2. CALCUL DES PR

EDICATS9

Exemples

SiPest : " 3 = 74 "

etQest : " 7 = 43 ", alors

1)P)Qest : "3 = 74implique7 = 43" (cette proposition est fausse).

2)Q)Pest : "7 = 43implique3 = 74 "(cette proposition est vraie).

1.1.6 L'equivalence

Denition 1.1.6L'equivalence des deux propositionsPetQest la proposition noteeP,Qet qui est vraie siPetQsont simultanements vraies ou simultanement fausses et qui est fausse dans les autres cas. P,Qse lit :Pequivalente aQ, ou aussi :Psi et seulement siQ:

Exemples

SiPest : " 3 = 74 "

etQest : " 7 = 43", alors

1)P,Qest : " 3 = 74 equivalenta7 = 43" (cette proposition est fausse)

2)Q,Pest : "76= 43 equivalenta3 = 74"(cette proposition est vraie)

En aectant la valeur 1 a la proposition vraie, et la valeur 0 a la proposition fausse, on peut resumer les denitions pecedentes par le tableau suivant, appele \Table de verites" ou \Tableau de verites"PQPP^QP_QP)QP,Q1101111

1000100

0110110

0010011

1.2 Calcul des predicats

1.2.1 Notion de predicat

Denition 1.2.1On appelle predicat tout enonce contenant une ou plusieurs va- riables et qui devient une proposition quand on substitue aux variables des objets concrets.

Exemples

1) L'entieradivise 2:(cet enonce est un predicat).

2) Le reelxest superieur a 0:(cet enonce est un predicat).

3) La dierence des deux entiersnpuismest un multiple de 3:(cet enonce est un

10CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE

predicat)

4) Ou est l'etudiantx? (cet enonce n'est pas un predicat)

Les predicats sont souvent notesP(x); Q(x;y); R(z); P0(x;y;z);:::etc.A partir d'un ou plusieurs predicats, on peut en construire d'autres, dits predicats

composes, en utilisant la negation, la conjonction, la disjonction, l'implication et l'equivalence.

Exemples

1) (x2= 1))((x= 1)_(x=1)) (cet enonce est un predicat)

2) [(x2N)^(x0) = 1])(x= 0) (cet enonce est un predicat)

3)jxj=jyj ,[(x=y)_(x=y)] (cet enonce est un predicat)

1.2.2 Les quanticateurs

SoitP(x) un predicat etEun ensemble non vide.

1) L'expression" Pour tout elementxdeE:P(x)est vraie "s'ecrit en abrege :

"8x2E; P(x):"

2) L'expression" Il existe au moins un elementxdeEtel queP(x)soit vraie "

s'ecrit en abrege :"9x2E; P(x):"

Exemples

1) "8x2Z; x=x3" veut dire :" Pour tout elementxdeZ:x=x3est vraie",

qui est fausse car 26= 23:

2) "9x2N; x4>0" veut dire :" Il existe au moins un elementxdeN, tel que

x4>0soit vraie "qui est vraie car 54>0:

3) "9x2R; x2<0" veut dire" Il existe au moins un elementxdeR, tel que

x

2<0soit vraie"qui est fausse car on ne peut pas trouver un reelxveriantx2

<0:

4) "8a2N;1 divisea" veut dire" Pour tout elementadeN:1diviseaest vraie"

qui est vraie car tous les entiers naturels sont divisibles par 1:

5)9x2R; x < y:Cette expression est un predicatQ(y):

Remarque 1.2.11) Le symbole8s'appelle le quanticateur universel et le symbole

9s'appelle le quanticateur existentiel.

2) "8x2E; P(x)" se lit aussi " Quel que soitxdeE; P(x)"

3)8x2E; P(x)est :9x2E;P(x)

4)9x2E; P(x)est :8x2E;P(x)

Exemples

1)8x2Z; x=x3est :9x2Z; x6=x3

2)9x2N; x4>0 est :8x2N; x40

3)8y2Z;9x2R; x < yest :9y2Z;9x2R; x < y, donc c'est9y2Z;8x2R; xy

1.2. CALCUL DES PR

EDICATS11

Proprietes

SoientP(x); Q(x) etR(x) trois predicats etEun ensemble non vide. On a les proprietes suivantes :

On ecritP(x),Q(x) si8x2E;(P(x),Q(x))

1)P(x),P(x)

2) [P(x)^P(x)],P(x) et [P(x)_P(x)],P(x):

3) [P(x)^Q(x)],[Q(x)^P(x)] et [P(x)_Q(x)],[Q(x)_P(x)]

4) ([P(x)^Q(x)]^R(x)),(P(x)^[Q(x)^R(x)])

et ([P(x)_Q(x)]_R(x)),(P(x)_[Q(x)_R(x)])

5) ([P(x)^Q(x)]_R(x)),([P(x)_R(x)]^[Q(x)_R(x)])

et ([P(x)_Q(x)]^R(x)),([P(x)^R(x)]_[Q(x)^R(x)])

6)P(x)^Q(x)

,P(x)_Q(x) etP(x)_Q(x) ,P(x)^Q(x) (Lois de De Morgan).

7) (P(x))Q(x)),P(x)_Q(x)

8)

P(x))Q(x)

P(x)^Q(x)

9) (P(x))Q(x)),Q(x))P(x)

(Q(x))P(x) est appelee implication cotraposee deP(x))Q(x))

10) ([P(x))Q(x)]^[Q(x))R(x)]))[P(x))R(x)]

11) [P(x),Q(x)],([P(x))Q(x)]^[Q(x))P(x)])

12)P(x),Q(x)

P(x)^Q(x)

_P(x)^Q(x) Les proprietes precedentes sont vraies aussi pour les propsitions. Quand deux predicats sont equivalents on peut remplacer l'un par l'autre. (La m^eme chose pour les propostions) Remarque 1.2.2SoientEetFdeux ensembles etP(x;y)un predicat a deux variables, alors8y2F; P(x;y)et9y2F; P(x;y)sont des predicats a une seule variable, donc on peux ecrire :

1)8x2E;8y2F; P(x;y)qui veut dire que pour toutxdeEet toutydeF:

P(x;y)est vraie.

2)9x2E;9y2F; P(x;y)qui veut dire qu'il existe au moins unxdeEet uny

deF, tel queP(x;y)soit vraie.

3)8x2E;9y2F; P(x;y)qui veut dire que pour toutxdeE;il existe au moins

unydeFtel queP(x;y)soit vraie. Autrement dit : Pour chaquexdeEil existe un certainydeFdependant dexqui verient ensembleP(x;y).

4)9x2E;8y2F; P(x;y)qui veut dire qu'il existe au moins unydeF;pour

toutxdeE;tel queP(x;y)soit vraie. Autrement dit : Il existe un certainydeF independant dexqui verieP(x;y)avec tous lesxdeE: Attention : Dans 4)xdoit ^etre le m^eme pour tous lesy, par contre dans 3)ypeut changer suivantx:

12CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE

Exemples

1)9x2N;8y2R; xy:(faux)

2)8x2N;9y2R; xy:(vrai)

3)9x2N;8y2Z; xdivisey:(vrai)

4)9x2R;9y2R; x2=y:(vrai)

5)8x2R;8y2R;(xy)2>0:(faux)

1.3 Les grands types de raisonnement

1.3.1 Le raisonnement deductif

Pour montrer que la propositionQest vraie il sut que les deux propositions

P)QetPsoient vraies.

Ce raisonnement est base sur le fait qu'on a :P^(P)Q) impliqueQ.

En eet :PQP)QP^(P)Q)(P^(P)Q)))Q11111

10001
01101
00101

Exemple

Montrons que l'equationx2x+ 2012 = 0 n'a pas de solution reelle. On sait que pour une equation de second degree dansRon a :4<0)(l'eqution n'a pas de solutions reelle)

Soit l'equationx2x+ 2012 = 0:

On a4=8047<0, donc on deduit que l'equation n'a pas de solution reelle.

1.3.2 Le raisonnement par contraposee

Pour montrer que la propositionP)Qest vraie il sut de montrer que sa contraposeeQ)Psoit vraie. Ce raisonnement est base sur le fait queP)Qet sa contraposeeQ)Psont equivalentes.

En eet :PQPQP)QQ)P(P)Q)()Q)P

1100111

1001001

0110111

0011111

Exemple

Montrons que(l'entiera2est pair))(l'entieraest pair).

1.3. LES GRANDS TYPES DE RAISONNEMENT13

Il sut de montrer que(l'entieran'est pas pair))(l'entiera2n'est pas pair).

En eet :

On a(l'entieran'est pas pair))(9n2Z:a= 2n+ 1)

)(9n2Z:a2= 2(2n2+ 2n) + 1) )(a2n'est pas pair), donc l'implication initiale(l'entiera2est pair))(l'entieraest pair)est vraie.

1.3.3 Le raisonnement par l'absurde

Pour montrer que la propositionQest vraie, on suppose que sa negationQest vraie et on montre que cette supposition conduit a une proposition fausse. Ce raisonnement est base sur le fait que siQ)Pest vraie etPest fausse alorsQ est fausse, doncQest vraie.

En eet :PQPQQ)PQ)P^PQ)P^P

)Q1100101

1001101

0110111

0011001

Exemple

Montrer quep2 est irrationnel.

Supposons quep22Q;alorsp2 =

ab ;avecaetb(b6= 0) deux entiers premiers entre eux. Ainsi,a2= 2b2;donca2est pair. Mais on sait que(l'entiera2est pair))(l'entier aest pair),alorsa= 2a0, aveca0entier; par consequent 4a02= 2b2;c.a.d : 2a02=b2 et de la m^eme facon on conclut quebest pair, donc 2 diviseaetb;avecaetbsont deux entiers premiers entre eux, ce qui est faux.

Par suitep2=2Q:

1.3.4 Le raisonnement par disjonction de cas

Pour montrer que la propositionQest vraie, il sut de montrer que les propo- sitionsP)QetP)Qsont vraies. Ce raisonnement est base sur le fait que siP)QetP)Qsont vraies, alorsQ est vraie.

En eet :PQPP)QP)Q(P)Q)^P)Q

(P)Q)^P)Q)Q1101111

1000101

0111111

0011001

14CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE

Exemple

Soitnun entier. Montrons quen(n+ 1) est pair.

1 ercas: Sinest pair, c.a.d :n= 2k, aveck2Z; alorsn(n+ 1) = 2k(2k+ 1) qui est pair. 2 emecas: Sinn'est pas pair, c.a.d :n= 2k+ 1, aveck2Z; alorsn(n+ 1) =

2(2k+ 1)(k+ 1) qui est pair.

Dans les deux casn(n+ 1) est pair.

1.4 Exercices du chapitre 1

Exercice 1.1Les propositions suivantes sont elles vraies? P

1: ((1 + 2 = 4)_(1 + 42)))(42 = 1)

P

2: ((1 + 14))(1 = 0))^(j2j= 2)

P

3: (1 + 2 = 4)_(1 + 4>2))(42 = 1)

P

4:(1 + 2 = 3),1 + 45)(1divise0)

P

5:(0divise3),13

= 0:33_(2 = 3)^p2 = 1:41

Ecrire les negations de ces propositions.

Exercice 1.2SoientP;QetRdes propositions. Montrer qu'on a les equivalences suivantes :

1)P^Q,P_Q

2)

P)Q,P^Q

3)

P()Q,P^Q

_P^Q

4)((P^Q)_R),((P_R)^(Q_R))

Exercice 1.3Ecrire les negations des enonces suivants et dires'ils sont vrais ou faux. P

1:9x2R+; x2=x:

P

2:8y2Q; y+12

=2Z: P

3:8n2N;((n <2))(2divisen)):

P

4:9a2Z;((aest impair)^(a <0)):

Q

1:8x2R;8y2Rx2+y20:

Q

2:9n2N;9x2R; xn= 0:

Q

3:8x2R;9n2N; xn:

Q

4:9n2N;8x2R; xn:

Exercice 1.41) Montrer, par l'absurde, queln2ln3

est un nombre irrationnel.

2) Soitaetbdeux nombres reels. Montrer par contraposee que :

(a6=1etb6=1))(a+b+ab6=1).

3) Montrer par disjonction des cas quen(n+ 1)(n+ 2)est un multiple de3:

1.4. EXERCICES DU CHAPITRE 115

Exercice 1.51) Soitxetydeux nombres reels.

Montrer que six6=y;alors(x+ 1)(y1)6= (x1)(y+ 1)

2) Sachant que tout entier superieur ou egal a2admet un diviseur premier.

Montrer, que l'ensemblePdes nombres premiers est inni.

3) Soitaetbdeux nombres reels. Posonsab=a+b+ab:

Montrer que8a2R;(aa)a=a3+ 3a2+ 3a:

Montrer que9a2R; aa=a.

16CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE

Chapitre 2

Ensembles et Applications

2.1 Ensembles

2.1.1 Notion d'ensemble

Un ensemble est une collection d'objets appeles elements de cet ensemble Si cet ensemble est note A, on ecritx2Apour dire quexest un element deAet on ecritx =2Apour dire quexn'est pas un element deA. On decrit un ensembleAen donnant la liste de tous ses elements. C.a.d :A=fa1;a2;:::;ang(Appelee description en extension), ou en caracterisant ses elements parmi ceux d'un ensembleEdeja connu au moyen d'un predicatP(x): C.a.d :A=fx2E:P(x)g(Appelee description en comprehension).

Remarque 2.1.1x2Ase lit :xappartient aA:

Exemples

1) L'ensemble des chires du systeme decimal :F=f0;1;2;3;4;5;6;7;8;9g:

(descrit en extension)

2) L'ensembles des entiers naturels pairs : 2N=fx2N: 2 divisexg:(descrit en

comprehension)

3) L'ensemble des reels positifs :R+=fx2R:x0g:(descrit en comprehension)

4)A=fa2Z:jaj=1g=f1;1g:(descrit en comprehension puis en extension)

On a 32F, 7=22N;1822N;4=2R+et 1=2A:

2.1.2 Sous-ensemble d' un ensemble, Operations sur les en-

sembles

Denition 2.1.1SoientE; AetBdes ensembles.

D1) On dit queBest un sous-ensemble deA, si tout element deBest un element 17

18CHAPITRE 2. ENSEMBLES ET APPLICATIONS

deA. Dans ce cas on ecrit :BAet dans le cas contraire on ecrit :B6A: D2) La dierence deApuisBest l'ensemble des elements deAqui ne sont pas des elements deB:Cet ensemble est noteAnB. C.a.d :AnB=fx2A:x =2Bg: D3) SiAE, le complementaire deAdansEest l'ensembleEnA:Cet ensemble est noteCEA. C.a.d :CEA=fx2E:x =2Ag: D4) L'ensemble qui ne contient aucun element est appele l'ensemble vide et est note?:

On a par convention :?E

D5) L'intersection deAetBest l'ensemble des elements qui sont deAet deBen m^eme temps. Cet ensemble est noteA\B:C.a.d :A\B=fx:x2Aetx2Bg: D6) L'union deAetBest l'ensemble des elements qui sont deAou deB. Cet ensemble est noteA[B:C.a.d :A[B=fx:x2Aoux2Bg: D7) Le produit cartesien deApuisBest l'ensemble des couples(a;b)tels quea2A etb2B:Cet ensemble est noteAB. C.a.d :AB=f(a;b) :a2Aetb2Bg:

ExemplesSoitF=f0;1;2;3;4;5;6;7;8;9g;

1) On aFNmaisF62N:

2)Fn2N=f1;3;5;7;9g, (2N)nF=fx22N:x10g=f10;12;14;16;:::g

3)CNF=fx2N:x10g=f10;11;12;:::g,CN(2N) = 2N+ 1 (l'ensemble des nombres impairs)

4)F\2N=f0;2;4;6;8g;R+\R=f0g;(CNF)\ f1;2;4g=?:

5)f0;2;4;6;8g [ f1;2;4g=f0;1;2;4;6;8g; F\2N=f0;2;4;6;8g;R+[R=R:

6)f0;2;4g f1;2g=f(0;1);(0;2);(2;1);(2;2);(4;1);(4;2)g

f1;2g f0;2;4g=f(1;0);(2;0);(1;2);(2;2);(1;4);(2;4)g

2.1.3 Ensembles et predicats

SoientE; AetBdes ensembles, et soientP(x)etQ(x)des predicats surE.

SiA=fx2E:P(x)getB=fx2E:Q(x)g;alors :

D'1)BA,[8x2E;Q(x))P(x)]

D'2)AnB=n

x2E:P(x)^Q(x)o

D'3)CEA=n

x2E:P(x)o

D'4)?=n

x2E:P(x)^P(x)o

D'5)A\B=fx2E:P(x)^Q(x)g

D'6)A[B=fx2E:P(x)_Q(x)g

D'7)AB=f(x;y) :P(x)^Q(y)g

Exemples

SoientA=fx2R:x2> xg,B=fx2R:x >1getC=fx2R:jxj 1g

2.1. ENSEMBLES19

1) On a8x2R: (x >1)x2> x) (en multipliant les membres de l'in'egalitex >1

parxqui est positif ), doncBA:

2)AnB=fx2R: (x2> x)^(x1)get on a les equivalences :

(x2> x)^(x1),[(x <0)_(x >1)]^(x1) ,[(x <0)^(x1)]_[(x >1)^(x1)] ,[(x <0)^(x1)] ,x <0:

AlorsAnB=fx2R:x <0g

3)CRA=fx2R:x2xg=fx2R: 0x1g

4)A\B=B;carBA:

5)A\C=fx2R: (x2> x)^(jxj 1)g;on a

(x2> x)^(jxj 1),[(x <0)_(x >1)]^(1x1) ,[(x <0)^(1x1)]_[(x >1)^(1x1)] ,(1x <0):

AlorsA\C=fx2R:1x <0g:

6)A[B=A;carBA:

7)A[C=fx2R: (x2> x)_(jxj 1)g;on a

(x2> x)_(jxj 1),[(x <0)_(x >1)]_(1x1) ,x2R:

AlorsA[C=fx2R:x2Rg=R:

Remarque 2.1.2R1) SiBA, on dit aussi queBest une partie deAouBest contenu ou inclus dansA:

R2)AnBest aussi noteAB

R3)CEAest aussi noteAC:

R4)(a;b)6= (b;a)sia6=b.

R5) L'ensemble de toutes les parties d' un ensembleAest noteP(A).

Exemple

SoitA=f0;1;2g;alors

P(A) =f?;f0g;f1g;f2g;f0;1g;f0;2g;f1;2g;Ag

2.1.4 Proprietes

SoientA;B;CetEdes ensembles. On a :

1)A\A=AetA[A=A:

2)A\B=B\AetA[B=B[A:

3)(A\B)\C=A\(B\C)et(A[B)[C=A[(B[C):

20CHAPITRE 2. ENSEMBLES ET APPLICATIONS

4)(A\B)[C= (A[C)\(B[C)et(A[B)\C= (A\C)[(B\C):

5)A\?=?etA[?=A:

6) SiAE;alorsA\CEA=?etA[CEA=E:

7) SiAEetBE;alorsCE(A\B) = (CEA)[(CEB)

etCE(A[B) = (CEA)\(CEB):

8) SiAB;alorsCEBCEA:

2.1.5 Partition d'un ensemble

Denition 2.1.2On appelle partition d'un ensembleE, toute familleFde parties non vides deE;telle que :

1) Les elements deFsont deux a deux disjoints, c.a.d :8A;B2 F; A\B=?:

2)Fest un recouvrement deE, c.a.d :[A2FA=E:

Exemple

SoitB=f0;1;2;3;4g;alors

F=ff0;2g;f1;4g;f3ggest une partition deB:

MaisF0=ff0;1g;f3;4g;f1;2ggn'est pas une partition deB:

2.2 Applications

2.2.1 Notion d'application

Denition 2.2.1On appelle application d'un ensembleAdans un ensembleB, toute correspondancef, qui associe a chaque elementxdeAun et un seul element ydeB: * On dit queAest l'ensemble de depart ou la source et queBest l'ensemble d'arrivee ou le but. * L'elementyassocie axparfs'appelle l'image parfdexet se note souvent f(x)(C.a.d :y=f(x)). Remarque 2.2.1R1) Siy=f(x);alorsxs'appelle antecedent parfdey R2) Une imageypeut avoir deux antecedents, mais un antecedent ne peut jamais avoir deux images par une application. R3) Pour dire quefest une application deAdansBetyest l'image parfdexon ecrit : f:A!Bquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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