[PDF] Chaînes de Markov Définition 2.1 (Chaî





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Chaînes de Markov

Définition 2.1 (Chaîne de Markov). Une chaîne de Markov sur X de matrice de transition P est une suite de variables aléatoires (Xn)n2Ndéfinies sur un espace (? 



1 Définition

P est la matrice de transition de X. Ainsi (Xn)n est une chaîne de Markov si



Chaînes de Markov.

DÉFINITION (CHAÎNE DE MARKOV (?P)). Une chaîne de Markov



Chapitre I - Introduction aux chaines de Markov

Définition I.1.2. Soit P une matrice stochastique sur E. Une suite de variables aléatoires (Xnn ? N). `a valeurs dans E est appelée cha?ne de Markov de 



CHAÎNES DE MARKOV

n?1 k=0 pxkxk+1 . ?. Définition 4. On appelle matrice de transition la matrice P = (px



Chaînes de Markov cachées

11 May 2018 4.4 Estimation de matrice de transition pour une chaîne de Markov cachée . . . 53 ... Puis par définition d'une chaîne de Markov.



CHAÎNES DE MARKOV

n?1 k=0 pxkxk+1 . ?. Définition 4. On appelle matrice de transition la matrice P = (px



Chaînes de Markov

Une telle matrice dont les coefficients sont positifs et tels que la somme des coefficients de chaque ligne est égale à 1



Chaînes de Markov

Avant même de pouvoir donner la définition d'une chaîne de Markov il nous faut définir la notion fondamentale de noyau de transition.



Les chaînes de Markov cachées

Cela en effet peut être résumée par la définition ci-après : Définition : Chaîne de Markov. Une chaîne de Markov est un processus stochastique.



[PDF] Chaînes de Markov

Définition 2 1 (Chaîne de Markov) Une chaîne de Markov sur X de matrice de transition P est une suite de variables aléatoires (Xn)n2Ndéfinies sur un espace (? 



[PDF] Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov - DI ENS

Définition 8 1 8 Si la cha?ne est irréductible la période d commune `a tous les états est appelée la période de P ou de la cha?ne Si d = 1 la matrice de 



[PDF] Introduction aux chaines de Markov - CERMICS

Une cha?ne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xnn ? N) qui permet de modéliser l'évolution dynamique d'un syst`eme aléatoire : Xn représente 



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22 fév 2021 · Idée : Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires dans le temps ou conditionnel- lement au présent le futur ne dépend pas 



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4 1 Définition et loi d'une variable aléatoire 5 3 4 Graphe associé à une chaîne de Markov homogène large/proba09/ENSmarkov pdf 2009



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On dit alors que (Xn)n?0 est une chaîne de Markov de loi initiale ? et de famille de noyaux de transition (pn(··))n?0 On vérifie sur la définition 



[PDF] Chaînes de Markov

Définition Soit (Xn)n?N une suite de variables aléatoires de (?A P) dans un espace E fini ou dénombrable 



[PDF] Chaînes de Markov

Définition 1 1 Soit E un espace mesurable Une chaîne de Markov sur E est une suite de variables aléatoires (Xn) n?IN à valeurs dans E telle qu'il



[PDF] Chaînes de Markov - Mathieu Mansuy

Chaînes de Markov TP 8 1 Un exemple introductif : évolution soci- ologique d'une société 2 2 Théorie des chaînes de Markov 5 2 1 Définition

Les chaînes de Markov sont des suites aléatoires sans mémoire, en quelque sorte. Dans l'évolution au cours du temps, l'état du processus à un instant futur ne dépend que de celui à l'instant présent, mais non de ses états antérieurs. On dit souvent que conditionnellement au présent, passé et futur sont indépendants.

  • Pourquoi chaîne de Markov ?

    Une chaîne de Markov est un processus aléatoire (Xn)n2N dont les transitions sont données par une matrice stochastique P(Xn,Xn+1). Ces processus vérifient la propriété de Markov, c'est-à-dire qu'observés à partir d'un temps (d'arrêt) T, (XT+n)n2N ne dépend que de XT et est de nouveau une chaîne de Markov.

  • Comment montrer que c'est une chaîne de Markov ?

    = P(Xn+1 = yXn = xn). Cette preuve permet de montrer rigoureusement que la marche aléatoire sur Zd est bien une chaîne de Markov. Dans le monde déterministe, cela revient à étudier les suites (xn)n?0 définies par ré- currence de la manière suivante : xn+1 = f(xn,n).

  • Comment calculer la période d'une chaîne de Markov ?

    Cela conduit au calcul suivant : P(X2 = s/X0 = m) = P(X2 = s/X1 = m) · P(X1 = m/X0 = m) + P(X2 = s/X1 = s) · P(X1 = s/X0 = m) = 0,15 · 0,0,55 + 0,15 · 0,1=0,0975. La cha?ne n'est pas périodique comme on peut le voir facilement sur son diagramme en points et fl`eches.
  • est indépendant de l'état de départ. Pour les chaînes ergodiques, on demande simplement que tout état soit atteignable depuis tout autre, mais le nombre de pas n'est pas nécessairement fixé.
Chaînes de Markov

Chapitre2

ChaînesdeMarkov

Résumé.Unechaînede Markovestunpro cessusaléatoire(X n n!N dont lestransitio nssontdonnéesparune matricestochastiqueP(X n ,X n+1 Cesproc essusvérifientlapropriétéde Markov,c'est-à-direqu'ob servés

àpartird'untemps(d'arrêt)T,(X

T+n n!N nedépend quedeX T etest denouv eauunechaînedeMarkov. Lesétatsd 'unechaînedeMarkov peuventêtreclassése ndeuxcatégo ries:lesétatstr ansitoires,quine sontvisitésqu'unnombre finidefois p.s.,etles étatsr écurrents,quiune foisatteints sontvisités p.s.uneinfinitédefois, ainsiquetouslesautres étatsdanslamême classederéc urrenc e.Pourunecha înedeMarkov irréductiblerécu rrente,lamesureempiriqueetlaloima rgina ledupro - cessusconv ergentsoitversl'uniquemesuredeprobabilitéP-invariante (récurrencepositive),soit verslevecteur nul(récurrencenulle).Cette théories'appliqueen particulierauxmarchesaléatoiresetau xmodèles defilesd'attente. Danscequis uit,onfixeune spac ed'étatsXfiniou dénombrable,muni delatribude l'ensembledesparties P(X).SiXestfini,on noteraNsonnombre d'éléments.

1.Ma tricesstochastiqueset propriétédeMarkov

1.1.Cha înesdeMarkov.UnematricestochastiquesurXestunefonction P:

(x,y)!X"#P(x,y)![0,1]telleque,p ourto utx!X, y!X

P(x,y)=1.

Autrementdit,tout x!Xdéfinitunemesure de probabilité P(x,·)surX,appelée probabilitédetransitionàpartirdex. Définition2.1(Chaîne deMarkov).Unechaîne deMar kovsur Xdematric ede transitionPestune suitedevariablesaléatoir es(X n n!N définiessurun espace (!,B,P) età valeursdans X,tellequepourtoutn,ettouspointsx 0 ,...,x n+1 P[X n+1 =x n+1 |X 0 =x 0 ,...,X n =x n ]=P(x n ,x n+1

Ainsi,lalo iconditio nnelleP

X n+1 |(X 0 ,...,Xn) estlaprobabilité detransitio nP(X n ,·).Il estutiled ereprésenter lesmesuresdeprobabilité "surXpardesvecteursen ligne ("(x 1 ),"(x 2 ),...,"(x k ),...).Alors,si" 0 estlaloi deX 0 ,quipeutêtrearbitraire,ona P[(X 0 ,X 1 ,...,X n )=(x 0 ,x 1 ,...,x n )]="(x 0 )P(x 0 ,x 1 )···P(x n"1 ,x n 7

82. CHAÎNE SDEMARKOV

parconditionneme ntsuccessif,desortequ'enparticulierlaloi" n deX n estdonnée par leproduit matriciel" n 0 P n .D'unpo intdevuedual,sifestunefonction bornéesur

X,vuecommeunvecteurcolonne,alors

E[f(X n+1 )|X 0 =x 0 ,...,X n =x n ]=(Pf)(x n E[f(X n n f=" 0 P n f. Notonsquelesproduitsmatriciels considérésso ntlicites mêmelorsquel'espace d'états estinfinidénom brable,puisqu'ona desbonnesbornessur lessommesde coe cientssur chaquelignedelam atricedetransi tion. Exemple.Onrepr ésenteusuellementunechaînedeMa rkovd'espaced'étatsXpar ungra pheorientéétiquetéG=(V,E)dontlessommetssont leséléments deX,etdont lesarê tesétiquetéessontlescouples (x,y)avecP(x,y)>0,lavaleurdelaprobabilité detransitio nétantl'étiquettedel'arêtex#y.Con sidéronsparexemplelachaînede Markovd'espaced' états[[1,N]],etdematricedetransition P= 1 3 111
11 .11 111
1 31
3 1 3 9 Leg rapheassociéestdessinéci-dessus, etlachaîneconsidéréeestl amarc hea léatoire surlecercle Z/NZoù,àchaq ueét ape,onaprobabilité1/3derestera umêmeendro it,et probabilité1/3desauter àgaucheo uàdro ite.Lesloismarginalesdecettec haînepeuvent êtrecalculéesco mmesuit.P ourtoutvecteurv!(C) Z/NZ ,notons

ˆv(k)=

1 N N j=1 v(j)# jk satransforméede Fourier discrète, avec#=e 2i!/N .D'autrepart,notonsC N lamatrice circulante C N 01 0 .1 10 ;P= I+C N +(C N "1 3

Pourtoutve cteurv,

(vC N )(k)=# k N parla transforméedeFourierdiscrètea gitdia gonalement,avec valeurs propres#,# 2 N .Il s'ensuitquesi Destlamat rice diagonale

D=diag

1+2cos

2! N 3

1+2cos

4! N 3

1+2cos

2N! N 3

1.MATR ICESSTOCHASTIQUESETPROP RIÉTÉDEMARKOV9

alorspourtout emesureiniti ale" 0 ,ona n 0 P n 0 D n où+·indiquelatra nsforméede Fourierinverse: +v(l)= 1 N N k=1 v(k)# "kl

Enpa rticulier,commeD

n pourtoutem esureinitiale" 0 ,laloimarginale" n convergeverslevecteur( 1 N 1 N C'estuncaspa rticul ierdesthé orèmesergodiquesquiserontévoqués auparagr aphe3.

Onpeu tmontrerqu epourtoutemesureinit iale"

0 surX,ettoutematricedetransition P,i lexist ee"ectivementunechaînedeMarkovave ccetteme sureinitialeetcett ematr ice detransitio n.OnnoteraP 0 etE 0 lesproba bilitésetespérancesrelativesà cettecha îne deMarko v,etdanslecasparti culie roù" 0 x estconcentrée enunseulpoint x!X, onnot eraP x etE x .Ces probab ilitésportentsurl'espacedestrajecto iresquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38
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