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Enoncés : Barbara Tumpach

Exo7

Révisions - Algèbre linéaire

Exercice 1

1.

Résoudre de quatre manières dif férentesle système sui vant(par substitution, par la méthode du pi votde

Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer) :

2x+y=1

3x+7y=2

2.

Choisir la méthode qui v ousparaît la plus rapide pour résoudre, selon les v aleursde a, les systèmes

suivants : ax+y=2 (a2+1)x+2ay=1 (a+1)x+ (a1)y=1 (a1)x+ (a+1)y=1 Résoudre le système suivant de 5 équations à 6 inconnues :

8>>>><

>>>:2x+y+z2u+3vw=1

3x+2y+2z3u+5v3w=4

2x+2y+2z2u+4v4w=6

x+y+zu+2v2w=3

3x3u+3v+3w=6

Pour chaque couple de matrices(Ai;bi), 16i65, ci-dessous 1. donner la nature de l"ensemble des solutions du système AiX=bi; 2. donner une représentation paramétrique de l"ensemble des solutions de AiX=bi; 3. donner une base de l"image et une base du no yaude Ai. a)A1=0 B

B@1 2 3 4

0 1 2 3

0 0 1 2

0 0 0 11

C

CAb1=0

B B@1 1 1 11 C

CA; b)A2=0

B

B@1 2 0 1 3

0 1 1 1 2

0 0 1 2 3

0 0 0 1 11

C

CAb2=0

B B@1 1 1 11 C CA; c)A3=0 B

BBB@1 2 3 4

0 1 2 3

0 0 1 2

0 0 0 1

0 0 0 01

C CCCAb 3=0 B BBB@1 1 1 1 11 C

CCCA; d)A4=0

B

BBB@1 2 0 1 1

0 1 1 2 2

0 0 1 2 1

0 0 0 1 1

0 0 0 0 01

C CCCAb 4=0 B BBB@1 1 1 1 11 C CCCA; e)A5=0 B

BBB@1 2 0 1 1

0 1 1 2 2

0 0 1 2 1

0 0 0 1 1

0 0 0 0 01

C CCCAb 5=0 B BBB@1 1 1 1 01 C 1

Exercice 4

Calculer une base de l"image et une base du noyau de l"application linéaire f:R3!R5 (x;y;z)7!(x+y;x+y+z;2x+y+z;2x+2y+z;y+z)

On considère la matriceA=0

@1 0 0 0 1 1

3 1 11

A 1.

Soient B=0

@1 1 1 0 1 0

1 0 01

A etC=0 @1 1 1 1 2 1 0111
A . Montrer queAB=AC. La matriceApeut-elle être inversible ? 2.

Déterminer toutes les matrices Fde taille(3;3)telles queAF=0, (où 0 est la matrice dont tous les

coefficients sont nuls).

Pour quelles valeurs deala matrice

A=0 @1 1 1 1 2 4 1 3a1 A

Soitaetbdeux réels etAla matrice

A=0 @a21b

3 0 14

5 41 21

A Montrer que rg(A)>2. Pour quelles valeurs deaetba-t-on rg(A) =2 ?

Calculer l"inverse de la matrice suivante :

A=0 B

B@4 8 7 4

1 3 2 1

1 2 3 2

0 0 1 11

C CA 2 Ondésigneparfe1;e2;:::;englabasecanoniquedeRn. Àunepermutations2Sn, onassociel"endomorphisme u sdeRnsuivant : u s:Rn!Rn0 B @x 1... x n1 C A7!0 B @x s(1)... x s(n)1 C A 1. Soit t=(ij)unetransposition. Écrirelamatricedeutdanslabasecanonique. Montrerquedet(ut)=1. 2.

Montrer que 8s;s02Sn,usus0=us0s.

3. En déduire que 8s2Sn, detus=e(s)oùedésigne la signature. 1. Calculer les v aleurspropres et les v ecteurspropres de la matrice A=0 @0 22 11 2 13 41 A 2.

Calculer Anpour toutn2N.

Correction del"exer cice1 N1.(a) Par substitution.La première équation s"écrit aussiy=12x. On remplace maintenantydans la

deuxième équation

3x+7y=2=)3x+7(12x) =2=)11x=9=)x=911

Onendéduity:y=12x=12911

=711 . Lasolutiondecesystèmeestdonclecouple(911 ;711 N"oubliez pas de vérifier que votre solution fonctionne ! (b)Par le pivot de Gauss.On garde la ligneL1et on remplace la ligneL2par 2L23L1:

2x+y=1

3x+7y=2()2x+y=1

11y=7 Onobtientunsystèmetriangulaire: onendéduity=711 etalorslapremièrelignepermetd"obtenir x=911 (c)Par les matrices.En terme matriciel le système s"écrit

AX=YavecA=2 1

3 7 X=x y Y=1 2 On trouve la solution du système en inversant la matrice :

X=A1Y:

L"inverse d"une matrice 22 se calcule ainsi

siA=a b c d alorsA1=1adbc db c a Il faut bien sûr que le déterminant detA=a b c d =adbcsoit différent de 0.

Ici on trouve

A 1=111 71
3 2 etX=A11 2 =111 9 7

(d)Par les formules de Cramer.Les formules de Cramer pour un système de deux équations sont les

suivantes si le déterminant vérifieadbc6=0 : ax+by=e cx+dy=f=)x= e b f d a b c d ety= a e c f a b c d

Ce qui donne ici :

x= 1 1 2 7 2 1 3 7 911
ety= 2 1 32
2 1 3 7 =711 2. (a)

A vanttout on re gardes"il e xisteune solution unique, c"est le cas si et seulement si le déterminant

est non nul. Pour le premier système le déterminant esta1 a

2+1 2a

=a21 donc il y a une unique solution si et seulement sia6=1.

Biensûrtouteslesméthodesconduisentaumêmerésultat! Parexempleparsubstitution, enécrivant

la première ligney=2ax, la deuxième ligne devient(a2+1)x+2a(2ax) =1. On en déduit que sia6=1 alorsx=4a1a

21puisy=2a2+a2a

21.
4 Traitons maintenant les cas particuliers. Sia=1 alors le système devient :x+y=2

2x+2y=1

Mais on ne peut avoir en même tempsx+y=2 etx+y=12 . Donc il n"y a pas de solution.

Sia=1 alors le système devient :x+y=2

2x2y=1et il n"y a pas de solution.

(b)

Ici le déterminant est

a+1a1 a1a+1 = (a+1)2(a1)2=4a. Sia6=0 alors on trouve la solution unique(x;y). Par exemple avec la formule de Cramer x= 1a1 1a+1

4a=12aety=

a+1 1 a1 1

4a=12a:

Sia=0 il n"y a pas de solution.Correction del"exer cice7 NAvant toute, un coup d"oeil sur la matrice nous informe de deux choses : (a)An"est pas la matrice nulle donc

rg(A)>1 ; (b) il y a 3 lignes donc rg(A)63 (le rang est plus petit que le nombre de colonnes et que le nombre

de lignes). 1. Montrons de dif férentesf açonsque r g(A)>2. •Première méthode : sous-déterminant non nul.On trouve une sous-matrice 22 dont le

déterminant est non nul. Par exemple la sous-matrice extraite du coin en bas à gauche vérifie3 0

5 4 =126=0 donc rg(A)>2. •Deuxième méthode : espace vectoriel engendré par les colonnes.On sait que l"image de

l"application linéaire associée à la matriceAest engendrée par les vecteurs colonnes. Et le rang

est la dimension de cette image. On trouve facilement deux colonnes linéairement indépendantes :

la deuxième0 @2 0 41
A et la troisième0 @1 1 11 A colonne. Donc rg(A)>2.

•Troisième méthode : espaces vectoriel engendré par les lignes.Il se trouve que la dimension

de l"espace vectoriel engendré par les lignes égal la dimension de l"espace vectoriel engendré

par les colonnes (car rg(A) =rg(tA)). Comme les deuxième et troisième lignes sont linéairement

indépendantes alors rg(A)>2. Attention : les dimensions des espaces vectoriels engendrés sont égales mais les espaces sont différents ! 2.

En utilisant la dernière méthode : le rang est e xactement2 si la première li gneest dans le sous-espace

engendré par les deux autres. Donc rg(A) =2()(a;2;1;b)2Vect(3;0;1;4);(5;4;1;2) () 9l;m2R(a;2;1;b) =l(3;0;1;4)+m(5;4;1;2) () 9l;m2R8 >:3l+5m=a 4m=2 lm=1

4l+2m=b()8

>:l=12 m=12 a=1 b=3 Conclusion la rang deAest 2 si(a;b) = (1;3). Sinon le rang deAest 3.5quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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