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Cours d'Analyse 1
Prof : Rachid Bahloul
1/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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1Les Suites2Limites des fonctions numeriques de la variable reelle3Fonctions Continues4Fonctions derivables5Fonctions hyperboliques6Developpements limites7Etude de courbes parametrees2/45
Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Ch 1 : Les suites
Denition:
- Une suite est une applicationudeNdansR. - Pourn2N, on noteu(n) parunet on l'appelle n-eme terme ou terme general de la suite.Exemple1. (pn)n0est la suite de termes : 0;1;p2;p3;::::
2. (1)nest la suite de termes : +1, - 1, +1, - 1,...Suite majoree, minoree, bornee
Denition
Soit (un)n2Nune suite.
- (un)n2Nest majoree si9M2R:8n2NunM - (un)n2Nest minoree si9m2R:8n2Nunm - (un)n2Nest bornee si elle est majoree et minoree, ce qui revient a dire :9M2R:8n2Njunj M
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Ch 1 : Les suites
Denition:
- Une suite est une applicationudeNdansR. - Pourn2N, on noteu(n) parunet on l'appelle n-eme terme ou terme general de la suite.Exemple1. (pn)n0est la suite de termes : 0;1;p2;p3;::::
2. (1)nest la suite de termes : +1, - 1, +1, - 1,...Suite majoree, minoree, bornee
Denition
Soit (un)n2Nune suite.
- (un)n2Nest majoree si9M2R:8n2NunM - (un)n2Nest minoree si9m2R:8n2Nunm - (un)n2Nest bornee si elle est majoree et minoree, ce qui revient a dire :9M2R:8n2Njunj M
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Denition:
- Une suite est une applicationudeNdansR. - Pourn2N, on noteu(n) parunet on l'appelle n-eme terme ou terme general de la suite.Exemple1. (pn)n0est la suite de termes : 0;1;p2;p3;::::
2. (1)nest la suite de termes : +1, - 1, +1, - 1,...Suite majoree, minoree, bornee
Denition
Soit (un)n2Nune suite.
- (un)n2Nest majoree si9M2R:8n2NunM - (un)n2Nest minoree si9m2R:8n2Nunm - (un)n2Nest bornee si elle est majoree et minoree, ce qui revient a dire :9M2R:8n2Njunj M
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Denition :Soit (un)n2Nune suite.
- (un)n2Nest croissante si8n2N:un+1un. - (un)n2Nest decroissante si8n2N:un+1un - (un)n2Nest monotone si elle est croissante ou decroissante 3/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Limite nie, limite innie
Dedinition :Soit (un)n2Nune suite. La suite (un)n2Na pour limitel2Rsi : pour tout" >0, il existe un entier natureln0tel que sinn0alorsjunlj ":8" >09n02N(8n2N) (nn0) junlj< ")
On dit aussi que la suite (un)n2Ntend versl.
Dedinition :
1. La suite (un)n2Ntend vers +1et on note limn!+1un= +1
si :8A>09n02N(8n2N) (nn0)un>A)
2. La suite (un)n2Ntend vers1et on note limn!+1un=1
si :8A>09n02N(8n2N) (nn0)un 4/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tend vers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tend vers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tend vers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Soient (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0etSn=v0+v1+v2+:::+vn. Alors S n=v01qn+11q Suites adjacentes:
denition: Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites. Elles sont adjacentes si elles verient les conditions suivantes : 1. L'une est croissante
2. L'autre est decroissante
3. lim
n!+1(unvn) = 0. 9/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Les SuitesLim itesdes fonctions num eriquesde la va riabler eelleF onctionsContinues F onctionsd erivablesF onctionshyp erboliquesD eveloppementslimit esEtude de courb espa rametrees
Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tendvers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tendvers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tendvers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0.Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Soient (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0etSn=v0+v1+v2+:::+vn. Alors S n=v01qn+11q Suites adjacentes:
denition: Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites. Elles sont adjacentes si elles verient les conditions suivantes : 1. L'une est croissante
2. L'autre est decroissante
3. lim
n!+1(unvn) = 0. 9/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0.Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Soient (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0etSn=v0+v1+v2+:::+vn. Alors S n=v01qn+11q Suites adjacentes:
denition: Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites. Elles sont adjacentes si elles verient les conditions suivantes : 1. L'une est croissante
2. L'autre est decroissante
3. lim
n!+1(unvn) = 0. 9/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
Les SuitesLim itesdes fonctions num eriquesde la va riabler eelleF onctionsContinues F onctionsd erivablesF onctionshyp erboliquesD eveloppementslimit esEtude de courb espa rametrees
Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0.Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Soient (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0etSn=v0+v1+v2+:::+vn. Alors S n=v01qn+11q Suites adjacentes:
denition: Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites. Elles sont adjacentes si elles verient les conditions suivantes : 1. L'une est croissante
2. L'autre est decroissante
3. lim
n!+1(unvn) = 0. 9/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
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Soient (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0etSn=v0+v1+v2+:::+vn. Alors S n=v01qn+11qSuites adjacentes:
denition: Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites. Elles sont adjacentes si elles verient les conditions suivantes :1. L'une est croissante
2. L'autre est decroissante
3. lim
n!+1(unvn) = 0. 9/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi:8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
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Donc par denition:
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Denition( Limite a gauche)
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lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si:8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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On note:
lim x!x+0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi:8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si:8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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On note:
lim x!x+0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si:8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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On note:
lim x!x0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si:8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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On note:
lim x!x0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si:8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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On note:
lim x!x0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si:8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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lim x!x0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
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gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
x!3qx 29x3=p6:13/45
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I. Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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8" >09 >08x2I[0 Donc 8" >091>08x2I[0 et 8" >092>08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proprietes des limites
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6. Donc lim
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Les SuitesLim itesdes fonctions num eriquesde la va riabler eelleF onctionsContinues F onctionsd erivablesF onctionshyp erboliquesD eveloppementslimit esEtude de courb espa rametrees
Proprietes des limites
Propriete: Soientfetgdeux fonctions denies sur un intervalle IdeRet admettant des limites niesl1etl2en un pointx02I.Alors:1limx!x0(f(x) +g(x)) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x) =l1+l22limx!x0(f(x)) =limx!x0f(x) =l1, pour tout2R3limx!x0f(x)g(x) = limx!x0f(x)limx!x0g(x) =l1l2.Theoreme: Soitfune fonction denie surI(sauf peut ^etre au
pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6.Donc lim
x!3qx29x3=p6:13/45
Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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pointx02I) et admettant une limite nielenx0. Sif0 alors. lim x!x0pf(x) =lExemple : On a lim x!3x29x3= limx!3(x+ 3) = 6.Donc lim
x!3qx29x3=p6:13/45
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