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Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

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COURS ET EXERCICES

Pour économiste

Licence 1

Professeur : FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

UFR SEG, Université de Cocody

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

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AVANT-PROPOS

première année Economie- un solide programme de mathématiques. Le document est divisé en deux grandes parties : la première partie est corrigés. La première partie comporte quatre chapitres. Le cours est composé des définitions, théorèmes et propriétés nécessaires et suffisantes et de nombreux exemples. Les termes utilisés sont accessibles à tout étudiant ayant fait au moins la classe de Terminale. document Prof. FOADE Denis Joël Tongnivi, UFR-SEG, Université de Cocody-Abidjan, denis_foade@hotmail.com

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SOMMAIRE

Chapitre 1 : Suites numériques et raisonnement par récurrence Chapitre 2 : Fonction numérique à une variable Chapitre 3 : Formule de Taylor, développements limités et étude de quelques fonctions usuelles Chapitre 4 : Fonction de plusieurs variables et optimisation ; courbes de niveau et calcul intégral.

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4 CHAPITRE 1 : SUITES NUMERIQUES et RAISONNEMENT PAR

RECURRENCE.

1.1-Suites numériques

1-Définition

Une suite réelle ou complexe est une application ધ de Գ R Généralement ધ =Գ ou ધ =Գכ

2- Convergence et Limites

On dit que la suite (ܷ

rang ݊଴ (dépendant du choix de ߝ) la valeur de tout ܷ suite est

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5 -PROPRIETES v) Soit ܷ௡ൌܽ௡൅ܾ݅௡ avec ܽ௡ǡܾ௡א

Théorème : Unicité de la limite

alors cette limite est unique.

Preuve :

En particulier pour ߝ

ସ et ࣿ൒݊଴ ou ȁܷ

En particulier pour ߝ

ସ et ࣿ൒݊ଵ֜ȁܷ

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3 - Sens de variations

4 - Suites bornées

La suite (ܷ

Théorème :

i) Toute suite croissante, majorée est convergente ii) Toute suite décroissante minorée est convergente iii) Toute suite monotone et non bornée est divergente

5 - Suites extraites-sous suites

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7 Soit une suite (ܷ௡) définie sur Գou Գכ : la suite (ܷ

D de Գ est telle que, ܷ௡ᇱ=ܷ௡, ׊Գא D, est appelée une suite extraite de (ܷ

Exemple : ܷ

(ܷ௡ᇱ) est une suite extraite de ( ܷ Soit une suite (ܷ௡) définie sur Գ et ߮ une application, ߮

6 - Suites adjacentes

Théorème : Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite. UVnn n olim

Toute suite stationnaire est convergente.

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Si κ൒Ԣܷ

n

7- Suites récurrentes

Théorème :

Exemple : étude de ܷ

Posons y=ଵ

xא

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Tableau de variation

( ܸ௡ ) est décroissante et minorée par ܷ௡ܸ֜

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Exercice :

est convergente.

Résolution

Si la relation est vraie pour݊ൌͳǢ݊ൌʹet n = n on aura : ʹ௡൐݊

1 1

2, 2 1

2.2 2 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2

n nn nn nn avec n on a n n n n n n n

1.2- Raisonnement par récurrence

1- Définition : le raisonnement par récurrence est un procédé de démonstration

des propriétés dépendant des entiers naturels. Soit ܲ௡ une propriété où א

Pour démontrer que ܲ

a) On vérifie que ܲ b) On suppose que Pk est vraie pour Ͳ൑݇൑݊ c) On déduit de b) appelé hypothèse de récurrence que Pn +1 est vraie.

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11 d) On conclut que ܲ௡ est vraie ׊݊א

2- Exercices

i) Démontrer par récurrence sur

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3- Propriétés sur les suites

1°) soitאܽԹ, on appelle constante, une suite dont le terme générale Unൌܽ

2°) Si 2 suites convergent vers 0 alors leur somme converge vers 0.

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Preuve :

Remarque :

5) Critère de majoration

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14 et si אڊ

également vers la même limite ݈.

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15 double égalité ܷ௡൑ܸ௡൑ܹ la borne inférieure des valeurs de la suite.

Exemple :

1.3- Limites infinies

1. Définition

2)

2. Opérations

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Remarque :

forme.

Exemples : si ൜ܷ

rien dire apriori sur la limite du produit.

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1. 4- Suites récurrentes

-Rappel : soit aאԹכǢܷ௡ൌܽ ii) si ȁܽȁ൐ͳǡܷ

1- Définition

Soit ؿܣ

Soit ݂ǣܣ

est définie par : ׊݊൒݌Ǣܷ௡ൌ݂൫ܷ௡ି௣ǡܷ௡ି௣ାଵǢǥǢܷ

2-Exemples

i) sans second membre

Si ܽൌͳǡܷ௡ืܷ

ii) dre un avec second membre

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18 Posons ܷ௡ൌܸ௡൅݄֜ݐݍܸ௡ൌܸܽ

Si ܷ

iii)Suites récurrentes de 2° dégrée sans second membre

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CHAPITRE 2 : FONCTIONS NUMERIQUES

1. Définitions

ide dans Թ.

Ou f de Թ ou

E Թ

x f(x)

2. Domaine de définition

la fonction ݂ǣ௫ืξଷି௫ Exercice : Déterminer, le domaine de définition

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3. Parité et périodicité

4. Limites

Définition

Limite à droite en un point

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Limite à gauche en un point

f admet une limite

à gauche en ݔ଴ et on note :

Remarques :f admet une limite en un point ݔ଴ si et seulement si , elle admet une

limite à gauche enݔ଴ ; une limite à droite en ݔ଴ et la limite à gauche est égale à la

limites à droite.

Limites infinies en un point

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5- Opérations sur les limites

Théorème :

6- Formes indéterminées

7- continuité

Définition : une fonction numérique ݂ est continu en ݔ଴ si ݂ est définie en ݔ଴ et

- ݂ est continu à droite en ݔ଴ si ݂ est définie en ݔ଴ et - ݂ est continu à gauche en ݔ଴ si ݂ est définie en ݔ଴ et Soit ݂ une fonction définie sur ή݂ est continue sur continue en tout point de

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8- Prolongement par continuité

Soit ݂, une fonction définie sur D et admettant une limite , en un point ݔ଴ ׊ݔא la fonction g est définie sur ׫ continuité de ݂ en ݔ଴.

La fonction g ainsi définie est unique.

8.1-Théorème des valeurs intermédiaires

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compris entre -

8-2.Théorème des fonctions continues bornées

de

9)Continuité et composition des fonctions

Proposition : Soit ݂ et

des fonctions continues alors ל݂ et ݂ל

Preuve : soit ݔ଴ un point où ל

9.1-Dérivées

et ݔ଴

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On dit que ݂ est dérivable au point ݔ଴ , ݔืݔ଴฻ݔെݔ଴ืͲ฻݄ൌݔെݔ଴

ݔ଴. En admet une dérivé au point ݔ଴ alors La réciproque est fausse ; il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables.

9.2-Fonction dérivées Dérivées successives

La valeur de la dérivée en ݔ଴ dépend de ݔ଴ݔ଴. Si cette fonction ݂ᇱ est aussi dérivabl

9-3.Dérivée à droite Dérivée à gauche

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Théorème : ݂ est dérivable en ݔ଴, si et seulement si elle est dérivable à gauche et

9.4-Calcul des dérivées

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