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tache pour de nombreux exercices par la suite. Je ferai également quelques Bien choisir son type de données permet d'optimiser la mémoire utilisée ainsi.
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Exercices sur le cours “Optimisation et programmation dynamique” 2018-2019 Master mention Mathématiques appliquées 1`ere année Université Paris Dauphine
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ANALYSE VARIATIONNELLE ET OPTIMISATION Éléments de Cours exercices et problèmes corrigés D AZÉ J -B HIRIART-URRUTY
Exercices de Michel Quercia
Les exercices suivants ont été recueillis par mes étudiants (Maths-Sup, puis Maths-Spé) aux oraux des concours
d"entrée aux grandes écoles. Ils sont classés par thèmes correspondant grosso-modo aux différents chapitres des
programmes de Maths des CPGE, mais certains exercices anciens sont toutefois devenus hors programme. Pour
la plupart, les exercices sont accompagnés d"une solution plus ou moins succinte allant de la simple réponse au
calcul demandé à une rédaction complète pour les questions non immédiates.Michel Quercia
Contents
I Algèbre générale
61 Applications6
2 Coefficients du binôme
83 Ensembles finis10
4 Nombres complexes13
5 Opérations18
6 Groupes19
7 Anneaux25
8 Relations d"équivalence
309 Relations d"ordre32
10 Propriétés deN35
11 Propriétés deR37
12 Suites récurrentes linéaires
3813 Permutations39
II Arithmétique
4114 Congruences41
15 Pgcd43
16 Relation de Bézout45
17 Factorisation en nombres premiers
461
18 Propriétés deQ47
19 Propriétés deZ=nZ49
III Polynômes
5120 Polynômes51
21 Division euclidienne55
22 Racines de polynômes
5823 Polynômes irréductibles
6224 Fonctions symétriques
6325 Fractions rationnelles
6526 Décompositions de fractions rationnelles
6627 Décomposition en éléments simples
6928 Division suivant les puissances croissantes
70IV Algèbre linéaire
7129 Espaces vectoriels71
30 Applications linéaires
7331 Espaces vectoriels de dimension finie
7432 Applications linéaires en dimension finie
7633 Matrices81
34 Calcul matriciel88
35 Équations linéaires91
36 Déterminants94
37 Calculs de déterminants
9838 Rang de matrices102
39 Projections105
40 Réductions des endomorphismes
10640.1 Diagonalisation
10640.2 Calculs
10840.3 Espaces fonctionnels
11140.4 Polynômes caractéristique
11240.5 Polynômes annulateur
11540.6 Endomorphismes de composition
11940.7 Similitude
1212
40.8 Usage de la réduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
40.9 Réduction par blocs
12440.10Image et noyau
12540.11Sous-espaces stables
12640.12Trigonalisation
12741 Dualité128
42 Sommes directes132
V Algèbre bilinéaire
13443 Produit scalaire134
44 Espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3
14045 Formes quadratiques
14446 Transformations orthogonales
14747 Endomorphismes auto-adjoints
15148 Problèmes matriciels
15749 Espaces vectoriels hermitiens
160VI Fonctions d"une variable
16350 Fonctions continues
16351 Fonctions monotones
16752 Fonctions usuelles169
53 Fonctions circulaires inverses
173VII Calcul différentiel
17554 Dérivation175
55 Fonctions convexes182
56 Formules de Taylor185
57 Calculs de développements limités
18858 Calculs de limites par développements limités
19059 Développements limités théoriques
19260 Développements limités implicites
19361 Équivalents195
62 Équations différentielles linéaires (I)
1963
63 Équations différentielles linéaires (II)203
64 Équations différentielles non linéaires (I)
20765 Équations différentielles non linéaires (II)
20866 Dérivées partielles212
67 Étude d"extrémums
22168 Équations aux dérivées partielles
223VIII Calcul intégral
22569 Intégrale de Riemann
22670 Primitives232
71 Intégrale généralisée
23372 Intégrale dépendant d"un paramètre
24073 Intégrale multiple250
IX Séries254
74 Fonction exponentielle complexe
25475 Séries numérique255
76 Familles sommables
26677 Suites et séries de fonctions
26978 Séries entières278
78.1 Rayon de convergence
27878.2 Développement, sommation
28178.3 Étude au bord
28478.4 Équations différentielles
28578.5 Intégrales
28778.6 Analycité
28878.7 Divers
28979 Séries de Fourier290
79.1 Développements
29079.2 Calcul de séries
29179.3 Coefficients de Fourier
29279.4 Relation de Parseval
29379.5 Convergence
29479.6 Intégrale de Fourier
29679.7 Divers
296X Topologie297
480 Suites convergentes298
81 Suitesun+1=f(un)303
82 Topologie deR305
83 Topologie dans les espaces métriques
30684 Topologie dans les espaces vectoriels normés
30784.1 Géométrie
30784.2 Suites
30984.3 Normes
31084.4 Topologie
31384.5 Fonctions continues
31584.6 Applications linéaires continues
31884.7 Connexité
32185 Compacité322
86 Connexité324
87 Espaces complets324
88 Fonctions vectorielles
325XI Géométrie
32789 Sous-espaces affines
32790 Applications affines329
91 Barycentres331
92 Propriétés des triangles
33293 Coniques334
93.1 Parabole
33493.2 Ellipse
33693.3 Hyperbole
33694 Quadriques337
95 Torseurs340
96 Géométrie euclidienne en dimension 2
34197 Géométrie euclidienne en dimension 3
34398 Courbes paramétrées
34699 Courbes en polaires
348100Courbes définies par une condition
349101Branches infinies351
102Points de rebroussement
3525
103Enveloppes352
104Rectification, courbure
354105Courbes dans l"espace
357106Surfaces paramétrées
357Part I
Algèbre générale
1 Applications
Exercice 2889Images directes et réciproquesSoitf:E!Fune application,A;A0EetB;B0F. 1.Simplifier f(f1(f(A)))etf1(f(f1(B))).
2.Montrer que f(A\f1(B)) =f(A)\B.
3.Comparer f(ADA0)etf(A)Df(A0).
4.Comparer f1(BDB0)etf1(B)Df1(B0).
5. A quelle condition sur fa-t-on :8AE;f(EnA) =Fnf(A)? 1.Qu"est-ce que f(?)?f(En(A[B))?
2.A quelle condition sur AetB,fest-elle injective ?
3. Est-ce que le couple (?;B)possède un antécédent parf? 4. A quelle condition sur AetB,fest-elle surjective ? nfois, etf0=idE.SoitAE,An=fn(A), etB=S
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