[PDF] Maths-France Asie. 2016. Enseignement spécifique.

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Asie. 2016. Enseignement spécifique. Corrigé

EXERCICE 1

Partie A

NotonsAl"évènement " la fleur provient de la serre A »,Bl"évènement " la fleur provient de la serre B » etF

l"évènement " la fleur donne un fruit ». Représentons la situation par un arbre de probabilités.

A B 0,55 0,45 F F F F 0,88 0,12 0,84 0,16 La probabilité demandée estP(F). D"après la formule des probabilités totales, P(F) =P(A)×PA(F) +P(B)×PB(F) =0,55×0,88+0,45×0,84=0,484+0,378 =0,862.

La proposition 1 est vraie.

La probabilité demandée estPF(A).

P

F(A) =P(A∩F)

P(F)=0,55×0,880,862=0,561arrondi à10-3.

La proposition 2 est fausse.

Partie B

1)Puisque237=250-13et263=250+13, les deux nombres237et263sont symétriques par rapport au nombre

250. Pour des raisons de symétrie,

P(237?X?263) =1-P(X?237) -P(X?263) =1-2P(X?237) =1-2×0,14=0,72.

2) a)On sait queYsuit la loi normale centrée réduite c"est-à-dire la loi normale de moyenne0et d"écart-type1.

b)X?237?X-250?-13?X-250 σ?-13σ?Y?-13σ. Les événementsX?237etY?-13σsont les mêmes et donc P Y?-13 =P(X?237) =0,14. c)La calculatrice fournit P Y?-13 =0,14?-13σ= -1,080...?σ=12,03...

Donc,σ=12arrondi à l"unité.

3) a)La suite(P(250-n?X?250+n))n?Nest croissante. La calculatrice fournit

P(250-23?X?250+23) =0,944... < 0,95etP(250-24?X?250+24) =0,954...?0,95. http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

La plus petite valeur de l"entiernpour laquelle la probabilité qu"une barquette soit conforme, est supérieure ou égale

à0,95, estn=24.

b)La suite(P(250?X?m))m?230est croissante. La calculatrice fournit P(230?X?284) =0,949... < 0,95etP(230?X?285) =0,950...?0,95. La plus petite valeur de l"entiermpour laquelleP(230?X?m)?0,95estm=285. http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. EXERCICE 21)Pour tout réelx,f0(x) =0. DoncI(0) =0.

2) a) Représentation graphique.

123456

1 2 3 4-1-2-3

y=f 1(x) I(1)est l"aire, exprimée en unités d"aire, du domaine coloré en bleu. b)I(1) =? 1 0 (ex+1)dx= [ex+x]10=?e1+1?-e0=e.

I(1) =e=2,7arrondi au dixième.

3)Soitaun réel de[0,1].

I(a) =?

1 0 (aeax+a)dx= [eax+ax]10= (ea+a) -e0=ea+a-1.

La fonctionIest dérivable sur[0,1]et pour tout réelade[0,1],I?(a) =ea+1. La fonctionI?est strictement positive

sur[0,1]et donc la fonctionIest strictement croissante sur[0,1].

La fonctionIest continue et strictement croissante sur[0,1]. De plus,I(0) =0 < 2etI(1) =e > 2. D"après un

corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réela0de[0,1]et un seul tel queI(a0) =2.

La calculatrice fournitI(0,792) =1,999... < 2etI(0,793) =2,003... > 2. Donc,I(0,792)< I(a0)< I(0,793).

Puisque la fonctionIest strictement croissante sur[0,1], on en déduit que

0,792 < a

0< 0,793.

http ://www.maths-france.fr 3c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

EXERCICE 3Partie A : Premier modèle - avec une suite1) a)Pour tout entier natureln, notonsunla masse, exprimée en grammes, de bactéries dans la cuve len-ème jour.

Puisqu"initialement, la cuve contient 1 kg ou encore1000g de bactéries, on a effectivementu0=1 000.

Soitn?0. La masse de bactéries l"annéen+1est obtenue en rajoutant à la masse de bactéries l"annéen, c"est-à-dire

u n, 0,2 fois cette masse puis en soustrayant 100 g. Donc u n+1=un+0,2un-100=1,2un-100. b)30kg sont encore30 000g. La calculatrice fournit les valeurs suivantes : nun

01 000

11 100

21 220

31 364

41 536,8

51 744,2...

61 993,0...

72 291,6...

82 649,9...

93 079,9...

103 595,9...

114 215,0...

124 958,1...

135 849,7...

146 919,6...

158 203,5...

169 744,2...

1711 593,...

1813 812,...

1916 474,...

2019 669,...

2123 503,...

2228 103,...

2333 624,...

Le jour no23 ou encore au bout de 23 jours, la masse de bactéries dépasse30 kg. c) Algorithme complété.

Variablesuetnsont des nombres

Traitementuprend la valeur1000

nprend la valeur0

Tant queu < 30 000faire

uprend la valeur1,2u-100 nprend la valeurn+1

Fin Tant que

SortieAffichern

2) a)Montrons par récurrence que pour tout entier natureln,un?1000.

http ://www.maths-france.fr 4 c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. •u0=1000et en particulieru0?1000. L"inégalité est vraie quandn=0. •Soitn?0. Supposons queun?1000. Alors1,2un-100?1,2×1000-100ou encoreun+1?1100et en particulier,un+1?1000. On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,un?1000. b)Soitnun entier naturel. u n+1-un=1,2un-100-un=0,2un-100. Puisqueun?1000, on en déduit queun+1-un?0,2×1000-100ou encoreun+1-un?100et en particulier u n+1-un?0. On a montré que pour tout entier natureln,un?un+1et donc la suite(un)n?Nest croissante.

3) a)Soitnun entier naturel.

v n+1=un+1-500=1,2un-100-500=1,2un-600=1,2(un-500) =1,2vn. Donc, la suite(vn)n?Nest une suite géométrique de raisonq=1,2.

b)La suite(vn)n?Nest une suite géométrique de raisonq=1,2et de premier termev0=u0-500=1000-500=500.

On en déduit que pour tout entier natureln,

v n=v0×qn=500×1,2n, puis que u n=vn+500=500×1,2n+500.

Pour tout entier natureln,un=500×1,2n+500.

c)Puisque1,2 > 1, on sait que limn→+∞1,2n= +∞et on en déduit que lim n→+∞un= +∞.

Partie B : second modèle - avec une fonction

1) a)f(0) =50

1+49e0=501+49=1.

b)Soittun réel positif. Puisque la fonction exponentielle est strictement positive surR,1+49e-0,2t> 1puis

1

1+49e-0,2t< 1puis50×11+49e-0,2t< 50×1et donc501+49e-0,2t< 50.

On a montré que pour tout réelt?0,f(t)< 50.

c)La fonctionfest dérivable sur[0,+∞[en tant qu"inverse d"une fonction dérivable sur[0,+∞[et ne s"annulant pas

sur[0,+∞[. De plus, pourt?0, f ?(t) =50×-?1+49e-0,2t?? La fonctionf?est strictement positive surRet donc la fonctionfest strictement croissante surR. d)limt→+∞e-0,2t=limX→-∞eX=0. Donc, limt→+∞f(t) =50

1+49×0=50.

2)La masse de bactéries est initialement de 1kg. Cette masse croît avec le temps, reste strictement inférieure à 50 kg

et vaut environ 50 kg au bout d"une longue durée. http ://www.maths-france.fr 5 c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

3)Soitt?0.

f(t)> 30?50

1+49e-0,2t> 30

1+49e-0,2t

50<130(par stricte décroissance de la fonctionx?→1xsur]0,+∞[)

?1+49e-0,2t<5

3?49e-0,2t<23?e-0,2t<2147

?-0,2t (par stricte croissance de la fonctionx?→ln(x)sur]0,+∞[) ?t >-1

0,2ln?2147?

?t > 5ln?1472? ?t > 21,4.... La masse de bactéries dépassera 30 kg au bout de 22 jours.

Partie C : un contrôle de qualité

Ici,n=200et on suppose quep=0,8. On note quen?30,np=160etn(1-p) =40et doncnp?5etn(1-p)?5.

Un intervalle de fluctuation au seuil95% est

p-1,96? p(1-p)⎷n,p+1,96? p(1-p)⎷n?

0,8-1,96⎷

0,8×0,2⎷200;0,8+1,96⎷

0,8×0,2⎷200?

= [0,744;0,856]

en arrondissant de manière à élargir un peu l"intervalle. Lafréquence observée estf=146

200=0,73.fn"appartient pas

à l"intervalle de fluctuation et donc l"affirmation de l"entreprise doit être remise en cause au risque de se tromper de

5%. http ://www.maths-france.fr 6 c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

EXERCICE 41)Propriétés des catadioptres.

On considère un rayon lumineux modélisé par une droited1de vecteur directeur-→v1(a,b,c). Le rayon se réfléchit sur

le plan(OAB)en une droited2de vecteur directeur-→v2(a,b,-c). Ce nouveau rayon se réfléchit sur le plan(OBC)en

une droited3de vecteur directeur-→v3(-a,b,-c). Ce dernier rayon se réfléchit sur le plan(OAC)en une droited4de

vecteur directeur-→v4(-a,-b,-c).

-→v4= --→v1et doncd4est parallèle àd1. On a montré que si un rayon se réfléchit successivement sur les plans(OAB),

(OBC)puis(OAC), le rayon final est parallèle au rayon initial.

2)Réflexion ded2sur le plan(OBC).

a)La droited2est la droite passant parI1(2,3,0)et de vecteur directeur-→v2(-2,-1,1). Une représentation paramé-

trique ded2est ?x=2-2t y=3-t z=t, t?R.

b)Un vecteur normal au plan(OBC)est le vecteur--→OAde coordonnées(1,0,0). Une équation cartésienne du plan

(OBC)estx=0. c)???x

I2=0=2-2×1

y

I2=2=3-1

z I2=1. Donc, le pointI2appartient à la droited2. D"autre part,xI2=0et donc le pointI2

appartient au plan(OBC). Enfin, le vecteur-→v2n"est pas orthogonal au vecteur normal--→OAcarx-→v2?=0et donc la

droited2n"est pas parallèle au plan(OBC). Finalement, la droited2et le plan(OBC)sont sécants enI2.

3)Réflexion ded3sur le plan(OAC).

d

3est la droite passant parI2(0,2,1)et de vecteur directeur-→v3(2,-1,1). Une représentation paramétrique de la droite

d

3est???x=2t

y=2-t z=1+t,t?R. Une équation cartésienne du plan(OAC)esty=0. SoitM(2t,2-t,1+t),t?R, un point ded3.M?(OAC)?2-t=0?t=2. Quandt=2, on obtient le point de coordonnées(4,0,3). Les coordonnées du pointI3sont donc(4,0,3). Finalement,d4est la droite passant parI3(4,0,3)et de vecteur directeur-→v4(2,1,1).

4)Étude du trajet de la lumière.

a)d1est dirigée par-→v1(-2,-1,-1)etd2est dirigée par-→v2(-2,-1,1).-→v1et-→v2sont deux vecteurs non colinéaires du

planP. -→u.-→v1=1×(-2) + (-2)×(-1) +0×(-1) = -2+2=0 et -→u.-→v2=1×(-2) + (-2)×(-1) +0×1= -2+2=0.

Le vecteur

-→uest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du planPet donc le vecteur-→uest un vecteur normal

au planP.

b)Les droitesd1etd2définissent un unique plan à savoir le planP. Si les droitesd1,d2etd3sont contenues dans

un même plan, alors la droited3est contenue dans le planP.

La droited3est dirigée par-→v3(2,-1,1).

-→u.-→v3=1×2+ (-2)×(-1) +0×1=2+2=4?=0.

Le vecteur

-→v3n"est pas orthogonal à-→uet donc la droited3n"est pas parallèle auP. En particulier, la droited3n"est

pas contenue dansPet donc les droitesd1,d2etd3ne sont pas situées dans un même plan.

c)La droited4est parallèle à la droited1et donc au planP. Par suite, la droited4est contenue dans le planPsi

et seulement si le pointI3(4,0,3)appartient au planP. Le planPest le plan passant parI1(2,3,0)et de vecteur

normal-→u(1,-2,0). Une équation cartésienne du planPest(x-2) -2(y-3) =0ou encorex-2y+4=0. x

I4-2yI4+4=4-0+4=8?=0.

Le pointI4n"appartient pas au planPet donc les droitesd1,d2etd4ne sont pas situées dans un même plan.

http ://www.maths-france.fr 7 c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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