[PDF] ÉTUDE DES INTERRELATIONS ENTRE LES DOMAINES

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UNIVERSITÉ MONTPELLIER II

SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC

École Doctorale Information, Structures, Systèmes

T H E S E

Pour obtenir le titre de

Docteur de l'Université de Montpellier II

Spécialité : DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES

Présentée et soutenue publiquement par

Luiz Marcio SANTOS FARIAS

Le 18 décembre 2010

ÉTUDE DES INTERRELATIONS ENTRE LES DOMAINES

NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE ET GÉOMÉTRIQUE DANS

L'ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES AU

SECONDAIRE : Une analyse des pratiques enseignantes en

classes de troisième et de seconde _________________________________________________________________________

Composition du jury :

Monsieur AG ALMOULOUD Saddo ; Rapporteur

Madame ARTAUD Michèle ; Examinateur

Madame ASSUDE Teresa ; Présidente du Jury

Monsieur KUZNIAK Alain ; Rapporteur

Monsieur BRONNER Alain ; Directeur

Thèse préparée au sein du LIRDEF

N° attribué par la bibliothèque

" Quem mata o que não se come

Não perde por esperar »

Antônio Carlos e Jocafi

En écoutant parler, je pourrais comprendre

Voyant faire, je pourrai saisir

En faisant, j'apprends et donc, c'est plus difficile d'oublier.

REMERCIEMENTS

Ayant enseigné pendant de nombreuses années au Brésil sans avoir eu de " formation en didactique des mathématiques », j'ai ressenti le besoin de développer une

recherche dans le domaine de la Didactique des Mathématiques. Pour cela, j'ai été

accueilli, en France, par le laboratoire Interdisciplinaire de Recherche en Didactique Education et Formation (LIRDEF) et l'Institut Universitaire de Formation des Maîtres de l'Université de Montpellier II dans lequel le laboratoire a ses locaux. J'ai travaillé sur un sujet de thèse qui ne pouvait manquer d'être passionnant car répondant à des questions

socialement vives, mais qui s'est révélé pour moi parfois difficile et même douloureux à

explorer, car il renvoyait à des questions épineuses, d'antan ou historiques ou de faits actuels. Je voudrais ici remercier très chaleureusement Alain Bronner qui, tout en dirigeant

avec compétence mon travail, a su tenir compte des difficultés que j'ai rencontrées, ce qui,

de ce fait, m'a aidé à les affronter. Là, bien sûr, ne s'arrêtent pas les remerciements que je

lui adresse : j'ai beaucoup appris, à la fois, des nombreuses séances de travail - toujours très riches - que nous avons eues ensemble et des différents travaux qu'il m'a suggéré d'effectuer. Ses compétences scientifiques et la confiance qu'il m'a manifestée, jointes à

un engagement fort et une disponibilité à toute épreuve, ont permis à cette thèse de

s'élaborer au fil du temps. J'adresse mes plus vifs remerciements aux membres du jury : Merci à Madame Michèle Artaud, Madame Teresa Assude, Monsieur Saddo Ag Almouloud et Monsieur Alain Kuzniak d'avoir accepté de faire partie de ce jury. Je tiens à remercier très sincèrement les membres du laboratoire Interdisciplinaire de Recherche en Didactique Education et Formation (LIRDEF) pour m'avoir accueilli dans

leurs locaux lors de ma thèse. J'adresse mes remerciements, tout particulièrement, à

Madame Dominique Bucheton et à tous les membres de l'équipe ERES, au sein de laquelle j'ai effectué cette recherche. Je remercie Monsieur Jean-Michel Dusseau, responsable d'équipe, les chercheurs, Madame Mirène Larguier, Madame Muriel Guedj, Monsieur Jean-François Favrat, les doctorants et les jeunes chercheurs Nathalie, Dominique, Oumar pour leurs soutiens et nos discussions qui ont tellement fait avancer ma recherche. Je remercie aussi Madame Marlène Lasne, Madame Nayma Romy, Madame Amel Salhi pour toute leur aide. Je suis profondément reconnaissant à Madame Brigitte Villers et à Monsieur Jacques Sicard pour avoir toujours trouvé du temps pour m'aider dans les corrections dans ce travail. Je remercie aussi Madame Henriette Chevallier, Monsieur Edmond Prunier et

Monsieur Bernard Prudhomme.

Je souhaite remercier aussi les enseignants pour avoir accepté les observations à propos de ce travail. Merci aussi aux élèves y ayant participé. J'aimerais remercier également l'Institut des Mathématiques de l'Université Catholique de Salvador pour le soutien, depuis le Brésil, au cours des années de mes études en France. Mes remerciements s'adressent, en particulier, à Monsieur Antônio dos Santos Filho, Madame Maria Auxiliadora Lisboa Moreno Pires et à Madame Maria das Graças Auxiliadora Fidelis Barboza qui m'a, la première, proposé de commencer une recherche. C'est sûrement grâce à elle que je suis parti pour la France. Mes remerciements s'adressent aussi au Gouvernement Brésilien, notamment, à CAPES, au Gouverneur de l'État de Bahia, Monsieur Paulo Ganem Souto, à la Rectrice de l'Université de l'État de Bahia, Madame Ivete Alves do Sacramento et au commandement

de la Police Militaire de l'État de Bahia, pour m'avoir donné une opportunité d'étudier en

France.

J'aimerais remercier encore mes parents, mes frères, mes soeurs et mes amis au Brésil et en France, dont le soutien constant m'a été précieux : Samuel, Nilza, Heverton, Chico, Ana

Paula, Bernard, Marie-Laure, Vincent, Stéphanie, Cédric, David, Laurent,... Ils ont su

trouver les moyens et les mots pour me soutenir pendant ces années de thèse. Un grand merci à Tia Maria, Tia Carminha et Tio Deraldo pour m'avoir épaulé,

sans faillir, au cours de mes différentes années de thèse, pour m'avoir aidé dans les

moments les plus épineux de mon travail. Merci... Pour terminer, je voudrais remercier mes enfants Maria et Victor, et mon épouse, Virginia, qui ne savent, que trop, ce que veut dire " absence en présence ». Ils m'auront

soutenu, chacun à sa façon, mais en permanence et sans jamais rechigner, durant ces

nombreuses années pendant lesquelles notre vie familiale a été quelque peu perturbée.

Qu'ils en soient, ici, une fois encore, plus que remerciés.

TABLE DES MATIERES

PARTIE A....................................................................................................................21

CHAPITRE A1: PROBLEMATIQUE.........................................................................22

1 INTRODUCTION AU CONTEXTE DE RECHERCHE......................................22

1.1 La discipline mathématique...................................................................................22

1.2 Les raisons d'être..................................................................................................23

1.2.1 Une pratique problématique..................................................................................23

1.2.2 Une situation révélatrice......................................................................................23

1.3 Nos premières questions dans le champ didactique................................................25

2 RECHERCHES ANTERIEURES..........................................................................26

2.1 Les agrégats..........................................................................................................27

2.1.1 Les agrégats de connaissances et de situations......................................................27

2.1.1.1 Les agrégats formels...........................................................................................27

2.1.1.2 Les agrégats fonctionnels...................................................................................28

2.2 Les cadres et les registres......................................................................................28

2.2.1 Cadres.................................................................................................................28

2.2.2 Registres.............................................................................................................28

2.3 Conceptualisation des objets mathématiques.........................................................29

2.3.1 Schème et Concept..............................................................................................29

2.4 Interactions du savoir............................................................................................29

2.4.1 Les assortiments didactiques................................................................................29

2.4.2 Les assortiments..................................................................................................30

2.5 Vers les praxéologies............................................................................................31

3 PROBLEMATIQUE...............................................................................................31

3.1 L'état de lieux du NAG dans l'EMS......................................................................31

3.1.1 Les domaines mathématiques...............................................................................32

3.1.1.1 Le numérique.....................................................................................................32

3.1.1.2 L'algébrique......................................................................................................32

3.1.1.3 Le géométrique..................................................................................................33

3.1.2 Dans les programmes...........................................................................................33

3.1.2.1 Au collège..........................................................................................................34

3.1.2.2 Au lycée............................................................................................................35

3.1.3 Une importance accordée aux interrelations.........................................................36

3.1.4 Objet d'étude.......................................................................................................37

3.1.4.1 Le champ de recherche.......................................................................................37

3.1.4.2 Les domaines mathématiques étudiés et leurs interrelations...............................37

3.1.5 Questions de la recherche et hypothèses...............................................................38

3.1.5.1 Hypothèses de recherche....................................................................................39

CHAPITRE A2 : CADRE THEORIQUE.....................................................................41

4 CHANGEMENTS DE CADRES ET DE REGISTRES.........................................41

4.1 Cadres...................................................................................................................41

4.2 Registres de représentations sémiotiques...............................................................41

5 LA THEORIE ANTHROPOLOGIQUE DU DIDACTIQUE...............................43

5.1 La TAD et les mathématiques...............................................................................43

5.2 Une écologie pour le savoir...................................................................................43

5.3 La transposition didactique....................................................................................45

5.4 Le rapport personnel et institutionnel....................................................................46

5.5 Les praxéologies...................................................................................................47

5.6 Les cadres et la TAD.............................................................................................48

6 LE FILTRE DU NUMERIQUE.............................................................................50

6.1 Le type de nombre.................................................................................................50

6.2 Les opérateurs.......................................................................................................50

6.3 Les comparateurs..................................................................................................51

6.4 Le filtre.................................................................................................................51

CHAPITRE A3 : METHODOLOGIE..........................................................................53

7 METHODOLOGIE GENERALE..........................................................................53

7.1 Partie B : Éléments historiques et épistémologiques..............................................53

7.2 Partie C : Analyse institutionnelle.........................................................................53

7.3 Partie D : Analyse des pratiques............................................................................54

7.4 Partie E : Analyse des interviews des enseignants..................................................54

8 CHOIX ET PROCEDURES METHODOLOGIQUES.........................................54

8.1 Les observables, le recueil de données et les outils................................................55

8.1.1 Les classes...........................................................................................................55

8.1.2 Les enseignants....................................................................................................56

8.1.3 Description des classes........................................................................................57

8.1.3.1 La troisième.......................................................................................................57

8.1.3.2 La seconde........................................................................................................58

8.1.4 La procédure........................................................................................................59

8.1.5 Les observables...................................................................................................60

8.1.5.1 L'ensemble des observations au collège.............................................................61

8.1.5.1.1 L'ensemble des observations du premier trimestre...........................................61

8.1.5.1.2 L'ensemble des observations du deuxième trimestre........................................62

8.1.5.1.3 L'ensemble des observations du troisième trimestre........................................63

8.1.5.2 L'ensemble des observations au lycée...............................................................64

8.1.5.2.1 L'ensemble des observations du premier trimestre..........................................64

8.1.5.2.2 L'ensemble des observations du deuxième trimestre.......................................65

8.1.5.2.3 L'ensemble des observations du troisième trimestre.......................................66

8.1.6 Les dispositifs de recueils de données et les outils................................................67

8.1.6.1 Le dispositif.......................................................................................................67

8.1.6.2 Les outils...........................................................................................................68

8.2 Conclusion............................................................................................................70

PARTIE B.....................................................................................................................71

CHAPITRE B1:ASPECTS HISTORIQUES................................................................72

9 ASPECTS HISTORIQUES ET EPISTEMOLOGIQUE SUR LES

INTERRELATIONS NUMERIQUES, ALGEBRIQUES ET GEOMETRIQUES.....72

9.1 Les interrelations et le développement des mathématiques....................................72

9.2 Quelques écologies pour les interrelations entre les grands domaines mathématiques........72

9.2.1 Le problème du doublement de volume du cube..................................................72

9.2.2 Les nombres constructibles.................................................................................75

9.2.2.1 Opérations avec les nombres constructibles.......................................................76

9.2.3 Les équations du deuxième degré........................................................................77

9.2.4 Les formulations de Descartes et Hilbert.............................................................78

9.2.4.1 Les constructions géométriques chez Descartes.................................................79

9.2.4.1.1 La multiplication.............................................................................................80

9.2.4.1.2 La division.....................................................................................................80

9.2.4.1.3 L'extraction de la racine carrée......................................................................81

9.2.4.1.4 Les équations.................................................................................................81

9.2.4.2 David Hilbert et l'axiomatisation de la géométrie..............................................82

9.2.4.2.1 Le calcul de l'addition de segments................................................................83

9.2.4.2.2 Le calcul de la multiplication de segments.....................................................83

9.2.4.2.3 Le calcul du quotient de segments..................................................................83

9.3 Analyse praxéologique des éléments historiques...................................................84

9.4 Conclusion............................................................................................................86

PARTIE C....................................................................................................................89

CHAPITTRE C1 : ETUDE DES PROGRAMMES.....................................................90

10 NOTRE QUESTIONNEMENT..............................................................................90

10.1 Une méthodologie basée sur deux approches.........................................................90

CHAPITRE C2 : L'ANALYSES DES PROGRAMMES.............................................92

11 LES PROGRAMMES.............................................................................................92

11.1 LES PROGRAMMES EN FRANCE.....................................................................92

11.1.1 Le Bulletin Officiel de l'Éducation Nationale......................................................92

11.1.2 Analyse des programmes au collège...................................................................93

11.1.2.1 Une vue générale des programmes au collège en France...................................93

11.1.2.1.1 La sixième......................................................................................................93

11.1.2.1.2 La cinquième.................................................................................................95

11.1.2.1.3 La quatrième..................................................................................................95

11.1.2.1.4 La troisième...................................................................................................96

11.1.2.2 Utilisation générale du NAG au collège............................................................97

11.1.3 Analyse des programmes au lycée......................................................................97

11.1.4 Les programmes par niveau................................................................................97

11.1.4.1 La Seconde.......................................................................................................98

11.1.4.2 La Première......................................................................................................98

11.1.4.3 La Terminale....................................................................................................99

11.1.5 Utilisation générale du NAG au lycée.................................................................99

11.1.6 Conclusion de l'analyse des programmes............................................................99

PARTIE D..................................................................................................................103

CHAPITRE D1 : PRATIQUES D'ENSEIGNEMENT..............................................104

12 LA PRATIQUE.....................................................................................................104

12.1 Une première notion............................................................................................104

12.1.1 En vue d'une définition de la pratique...............................................................104

12.1.1.1 Une pratique dans un métier évolutif...............................................................104

12.1.1.2 La recherche et la pratique pédagogique contemporaines................................105

12.1.1.3 Les dimensions de la pratique.........................................................................105

12.1.1.4 Quelques définitions de la pratique.................................................................106

12.1.2 Notre définition de la pratique.........................................................................107

CHAPITRE D2 : METHODOLOGIE GENERALE.................................................108

13 CADRE THEORIQUE ET METHODOLOGIE D'ANALYSE..........................108

13.1 Cadre théorique...................................................................................................108

13.1.1.1 Les praxéologies.............................................................................................109

13.1.1.2 Les organisations mathématiques et didactiques.............................................111

13.1.2 Le filtre du numérique......................................................................................111

13.2 Méthodologie d'analyse des séances...................................................................111

13.2.1 La trame...........................................................................................................112

13.2.2 Description de l'organisation mathématique....................................................113

13.2.3 Analyse de l'organisation didactique...............................................................114

CHAPITRE D3 : POUR DECRIRE LES PRATIQUES............................................116

14 LE STYLE DIDACTIQUE ET LE DISCOURS..................................................116

14.1 Le style...............................................................................................................116

14.1.1 Style didactique................................................................................................117

14.2 Le discours..........................................................................................................117

14.3 La grille d'analyse...............................................................................................120

CHAPITRE D4 : ANALYSE GENERALE AU COLLEGE......................................122

15 L'ENSEMBLE DE SEANCES.............................................................................122

15.1 Les séances au collège.........................................................................................122

15.1.1 Description des principales tâches....................................................................124

15.2 Les principaux types de tâches............................................................................126

15.3 L'ensemble de séances et un style didactique......................................................128

15.3.1 Le style didactique de P1.................................................................................128

15.3.1.1 La progression et le cahier de textes...............................................................128

15.3.1.2 Déroulement général des séances...................................................................129

15.3.1.3 Les écrits dans les cahiers des élèves..............................................................130

15.4 Les phases et les catégories de séances................................................................131

15.4.1 Les phases........................................................................................................131

15.4.1.1 Les phases magistrales - CU..........................................................................132

15.4.1.2 Les phases d'exercices - EX...........................................................................132

15.4.1.3 Les phases de correction - CO.......................................................................133

15.4.1.4 Les phases de remédiation -TG.....................................................................133

15.4.2 Les catégories de séances................................................................................134

15.4.3 Utilisation potentielle du NAG par catégories de séances................................134

15.4.4 Les séances de catégorie 06.............................................................................135

15.4.4.1 Un lieu pour une praxéologie plus complète pour le NAG..............................136

15.4.4.2 Le NAG dans les praxéologies de la catégorie 06..........................................136

15.4.4.3 Une utilisation implicite du NAG..................................................................137

15.4.4.4 Le NAG dans les discours de P1 et des élèves...............................................138

15.5 D'un bilan général vers les séances choisies........................................................138

15.5.1 Un bilan statistique..........................................................................................139

15.5.1.1 L'utilisation potentielle du NAG....................................................................140

15.5.1.2 D'une utilisation potentielle à une utilisation effective...................................140

15.5.1.3 Le temps et la quantité d'utilisation du NAG.................................................142

15.5.2 Une séance spécique du NAG..........................................................................143

CHAPITRE D6 : LES ANALYSES DES SITUATIONS DU NAG EN TROISIEME..144

16 LA SEANCE C21..................................................................................................144

16.1 La séance C21 dans le chapitre 03.......................................................................144

16.2 Une situation du NAG dans la séance C21..........................................................147

16.3 Le problème périmètre........................................................................................149

16.4 Trame et description générale de la situation périmètre.......................................151

16.4.1 Organisation mathématique dynamique de la situation.....................................157

16.5 Description des organisations mathématiques......................................................159

16.5.1 L'organisation mathématique visée par P1.......................................................159

16.5.2 L'organisation mathématique qui va apparaître dans la séance.........................161

16.6 Analyse de l'organisation didactique de la situation périmètre.............................166

16.6.1 Analyse globale de l'organisation didactique....................................................170

16.6.2 Analyse de l'organisation didactique par phases..............................................172

16.6.2.1 Phase 0 - Synthèse sur la résolution des inéquations.......................................172

16.6.2.2 Phase I - Construction géométrique de la figure.............................................173

16.6.2.3 Phase II - Mise en évidence de la question à résoudre....................................175

16.6.2.4 Phase III - Exploration de quelques configurations à l'aide du Cabri.............176

16.6.2.5 Phase IV - Mise en équation du problème......................................................177

16.6.2.6 Phase V - Résolution de l'inéquation par les élèves.......................................181

16.6.2.7 Phase VI - Résolution de l'inéquation par P1 (correction)..............................182

16.6.2.8 Phase VII - Retour au problème périmètre.....................................................184

16.6.3 Le problème périmètre dans le programme et le manuel de la classe................186

16.6.4 Synthèse de l'analyse de la situation périmètre................................................189

16.6.4.1 Le savoir en jeu.............................................................................................189

16.6.4.2 A propos des interactions P1-élèves..............................................................191

16.6.4.3 L'enchaînement des tâches dans la séance.....................................................191

16.6.4.4 Les changements de cadres............................................................................193

CHAPITRE D7 : ANALYSE GENERALE AU LYCEE...........................................194

17 ENSEMBLE DES SEANCES...............................................................................194

17.1 Les séances au lycée............................................................................................194

17.1.1 Description des principales tâches....................................................................196

17.2 L'ensemble des séances et un style didactique.....................................................199

17.2.1 Le style didactique de P2.................................................................................199

17.2.1.1 La progression et l'utilisation du NAG...........................................................200

17.2.1.2 La séance n'est pas seulement magistrale.......................................................201

17.2.1.3 Les dialogues dans le miroir...........................................................................202

17.2.1.4 Déroulement général des séances...................................................................202

17.2.1.4.1 Une présence considérable du NAG............................................................203

17.2.1.4.2 L'erreur et le devoir....................................................................................203

17.2.1.4.3 L'utilisation des manuels............................................................................204

17.2.2 Une modélisation pour les séances chez P2.....................................................204

17.2.2.1 Les étapes des séances...................................................................................204

17.2.2.2 Début de la séance.........................................................................................206

17.2.2.2.1 Tâche d'organisation..................................................................................206

17.2.2.2.2 Correction 1...............................................................................................206

17.2.2.3 Noyau ou coeur de la séance..........................................................................206

17.2.2.3.1 Introduction d'un contenu nouveau.............................................................206

17.2.2.3.2 Tâches coopératives...................................................................................206

17.2.2.3.3 Travail individuel.......................................................................................207

17.2.2.3.4 Correction 2...............................................................................................207

17.2.2.4 Clôture de la séance......................................................................................207

17.2.2.4.1 Devoir à la maison.....................................................................................207

17.2.2.4.2 Tâche de structuration................................................................................207

17.3 D'un bilan général vers les séances choisies........................................................209

17.3.1 Un bilan statistique..........................................................................................210

17.3.1.1 L'utilisation potentielle du NAG....................................................................211

17.3.1.2 D'une utilisation potentielle à une utilisation effective...................................212

17.3.2 Les séances pour une analyse plus fine...........................................................214

CHAPITRE D9 : LES ANALYSES DES SITUATIONS DU NAG EN SECONDE.216

18 LA SEANCE L5 : LA DIFFERENCE ENTRE LES CARRES DE DEUX NOMBRES ...216

18.1 Positionnement de la situation du NAG dans son chapitre...................................216

18.2 Description générale et trame de la séance L5.....................................................221

18.2.1 Description générale de la séance L5................................................................221

18.2.2 La trame de la séance L6.................................................................................223

18.3 Description des organisations mathématiques......................................................225

18.3.1 L'organisation mathématique visée par l'enseignant........................................226

18.3.2 L'organisation mathématique qui va apparaître dans la séance.........................228

18.4 Analyse de l'organisation didactique...................................................................229

18.4.1 Un complexe praxéologie.................................................................................230

18.4.1.1 Le premier moment de l'étude........................................................................232

18.4.1.2 L'exploration de tcarré2 et début de l'élaboration de la technique....................233

18.4.1.2.1 Recherche d'une technique pour tcarré2..............................................................233

18.4.1.2.2 Travail sur de td1 et tV1, l'élaboration technologico-théorique.....................235

18.4.1.3 Le travail d'amélioration de la technique.......................................................239

18.4.1.4 L'organisation mathématique élaborée..........................................................242

18.4.1.5 Le moment de l'évaluation.............................................................................244

18.4.1.6 L'Organisation Mathématique présente dans le manuel..................................246

18.4.1.7 Synthèse........................................................................................................250

18.4.1.7.1 Le savoir en jeu...........................................................................................250

18.4.1.7.2 A propos les interactions P2-élèves.............................................................252

18.4.1.7.3 L'enchaînement de la séance......................................................................252

18.4.1.7.4 Les changements de registres......................................................................253

PARTIE E...................................................................................................................255

CHAPITRE E1 : OUTILS D'ANALYSE...................................................................256

19 LES OUTILS.........................................................................................................256

19.1 Séance préparée à notre demande........................................................................256

19.1.1 L'entretien sur le NAG.....................................................................................256

19.1.1.1 La méthodologie utilisée dans les entretiens....................................................256

19.1.1.2 La méthodologie de conduite des interviews...................................................257

19.1.1.3 Conception du guide d'entretien.....................................................................259

19.1.1.3.1 Contenu du guide d'entretien.......................................................................259

19.1.1.3.2 Les questions générales du guide.................................................................260

19.1.1.3.3 Thème 1 : Informations générales................................................................261

19.1.1.3.4 Thème 2 : Rapport de l'enseignant au NAG concernant le programme.......261

19.1.1.3.5 Thème 3 : Rapport de l'enseignant au NAG du point de vue des manuels....262

19.1.1.3.6 Thème 4 : Rapport de l'enseignant au NAG du point de vue de l'élève........263

19.1.1.3.7 Thème 5 : Rapport de l'enseignant au NAG du point de vue de sa pratique.263

19.1.1.3.8 Thème 6 : Rapport de l'enseignant au NAG du point de vue épistémologique..264

19.1.1.4 L'analyse - a priori - de l'entretien sur le NAG...............................................265

19.1.1.5 Les questions spécifiques posées à l'enseignant..............................................269

CHAPITRE E2 : ANALYSE DES INTERVIEWS....................................................270

20 METODOLOGIE D'ANALYSE DES ENTRETIENS........................................270

20.1 Une analyse thématique par parties.....................................................................270

20.1.1 Informations générales.....................................................................................271

20.1.2 Le rapport de l'enseignant au NAG du point de vue des programmes..............271

20.1.3 Le rapport de l'enseignant au NAG du point de vue des manuels ;..................272

20.1.4 Le rapport de l'enseignant au NAG du point de vue de l'élève.........................273

20.1.5 Le rapport de l'enseignant au NAG du point de vue de sa pratique..................274

20.1.6 Le rapport de l'enseignant au NAG du point de vue épistémologique..............275

21 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES.............................................................284

22 LES ANNEXES.....................................................................................................294

Introduction

15

INTRODUCTION

L'objet de ce travail est l'étude didactique des interrelations entre les grands domaines mathématiques dans les pratiques de l'enseignement. Dans notre étude, les domaines

mathématiques sont réduits au numérique-algébrique et au géométrique dans l'enseignement

des mathématiques au secondaire - EMS - en France.

L'utilisation des interrelations entre les domaines numérique-algébrique et géométrique

relève d'une écologie spécifique encore peu étudiée et fortement limitée par des contraintes

transpositives émanant des différents niveaux de codétermination didactique (Bronner 1997 ;

2007).

Ces interrelations entre les domaines numérique-algébrique et géométrique seront

désignées, dans la suite de notre travail, par le sigle NAG. En fait, le NAG est un sujet complexe

qui se décline sous divers aspects selon le contexte et les époques. La question des interrelations entre les domaines mathématiques est, en premier lieu, une question d'ordre épistémologique et historique :

" Repérer les obstacles géométriques et numériques du Numérique chez les Grecs, mesurer

les avancées des civilisations babylonienne et grecque, étudier les formes de vie des objets

nombre, nombre rationnel, racine carrée chez les mathématiciens à diverses époques, permet de

caractériser l'environnement scientifique et culturel. Cet environnement induit des contraintes fortes sur l'épistémologie des savoirs à enseigner. » (Bronner, 1997, p.6) En considérant l'histoire des mathématiques (Boyer, 1996), même de façon succincte, nous

relevons des événements qui montrent des interrelations entre les domaines mathématiques. Ces

épisodes, repérés au long de l'histoire des mathématiques, ont contribué au développement de

celles-ci.

Les relations entre l'Algèbre et la Géométrie ont une histoire très ancienne (peut-être depuis

le troisième millénaire avant J.C. en Mésopotamie). Ces relations ont été réciproques et ont

marqué l'histoire des mathématiques. Dans ce contexte, nous pouvons citer par exemple la

résolution des problèmes d'algèbre - comme résoudre une équation du second ou du troisième

degré - en utilisant des techniques issues de la géométrie élémentaire. Ainsi, on peut constater

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