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RESISTANCE DES MATERIAUX
de tenseurs une partie très utile pour les calculs en résistance des matériaux. la RDM au service des étudiants de troisième année hydraulique.
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Cours RDM: Introduction à la résistance des matériaux
La résistance des matériaux (RdM) étudie le comportement du solide déformable Elle s’intéresse particulièrement au calcul des dimensions des systèmes mécaniques pour qu’ils soient en mesure de supporter les efforts qui leur sont appliqués pendant leur service dans les conditions de sécurité requise II
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être trop faible pour éviter que la poutre ne soit trop déformable) 2-poutres courbes : pour les poutres courbes ce rapport peut être réduit à 1/50 voire à 1/100 le rayon de courbure de la fibre moyenne doit être suffisamment grand par rapport aux dimensions transversales de la poutreR>5hauteursection; en tout cas il ne doit
S.BENSAADA
RESISTANCE DES
MATERIAUX
YAB1,B2X
Fx AX h C1,C2 L/2L Fy h B2 B1C1 C2 Fx Fx B ZB(2/4)=D(2/4)
A(3/4)=E(3/4)
C(1/4)
Z Y X 2SOMMAIRE
2. MOMENTS QUADRATIQUES...................................................... ............47
3. ELEMENTS VECTORIELS.................................................................. ......51
4. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES....................................... .....61
5.E L A S T I C I T E........................................................................... .......76
6.HYPOTHESES EN RDM.................................................................. ........102
7. TRACTION....................................................................................... ...119
8.COMPRESSION................................................................................. ...125
9. CISAILLEMENT.............................................................................. ....129
10. TORSION.................................................................................... .....135
11.FLEXION................................................................................. .........140
12. TORSEUR DE COHESION............................................................... .....151
13.POUTRES RECTANGULAIRES AUX ELS..................................................167
14. CONTRAINTES PLANES..........................................................................179
15. DEFORMEE..........................................................................................189
17.SYSTEMES HYPERSTATIQUES..................................................................202
18.Ressorts Hélicoïdaux à fil rond.......................................................................209
19.DEFORMATION PLANE...........................................................................216
20. ESSAIS MECANIQUE.............................................................................237
21.TP ELEMENTS FINIS FLEXION......................................................................257
3PREFACE
La genèse d'une innovation technologique est constituée par l'ensemble des faits scientifiques ettechniques qui ont concouru à sa formation. La connaissance approfondie decette phasepréalable, difficile à observer quand elle est en cours, mais pourrait se reconstituer, à
posteriori,est essentielle pour tenter de prévoir etde diriger le flux des changements techniques tout le longdes différentes étapes des développements scientifiquesCet ouvrage traite les fondements de la résistance des matériaux.Ilexpose profondément lesnotions
de tenseurs, une partie très utile pour les calculs en résistance des matériaux. Les éléments vectoriels
ainsi que la modélisation des actions mécaniques sont introduite aussi dans cet ouvrage.Les parties essentielles tels que la traction, compression, torsion, flexion sontétudiées en détail et vue
leur importance technique, une partie sur les différents essais mécaniques a été introduite. La dernière
partie a été consacrée à l'étude de la modélisation et du logiciel utilisé en RDM.
L'étudiant aura à s'imprégner de l'ensemble desquestionsexposées dans ce contexte.Cependant, à travers cet ouvrage, j'ai essayéde porter toute l'attention et le soin voulus, dupoint
de vue pédagogique et didactique, afin de vous exposer, de manière utile, les bases fondamentalesde
la RDMauservicedesétudiantsdetroisièmeannée hydraulique.Cet ouvragen'a pas d'autre but que d'aider l'étudiant dans sa compréhension de l'enseignement de la
Résistance des Matériaux. Il doit permettre de mieux cerner les champs d'investigation de cette science.
4BUT DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX
La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation des solides (arbres de
transmission, bâtiments, fusées, . .) dans le but de déterminer ou de vérifier leurs dimensions afin
qu'ils supportent les charges dans des conditions de sécurité satisfaisantes et au meilleur coût
(optimisation des formes, des dimensions, des matériaux. . .)ACTIONSDONNEES NECESSAIRES
Déterminer lesdimensions fonctionnellesde la pièceLes Actions MécaniquesLa nature du matériau
Choisir lematériauconstituant la pièceLes Actions MécaniquesLes dimensions de la pièce
Le type de vérification
Vérifier larésistance à la "casse"de la pièce : Dépassement de la limite à la résistance élastique Re ou à la rupture Rr du matériauLes Actions Mécaniques
Les dimensions de la pièce
La nature du matériau
Vérifier larésistance à la "déformation"de la pièce : Dépassement de la valeur maximale imposée par le C.D.C.F. pour les différentes déformations de la pièceLes Actions Mécaniques
Les dimensions de la pièce
La nature du matériau
Le C.D.C.F.
Vérifier larésistance à la "fatigue"de la pièce : Rupture après un certain nombre de cycles de déformation imposée par le C.D.C.F.Les Actions Mécaniques
Les dimensionsde la pièce
La nature du matériau
Vérifier larésistance au "fluage"de la pièce : Déformation continue de la pièce, dans le temps, sous l'action d'actions mécaniques constantes qui amène à la rupture de la pièceLes Actions Mécaniques
Les dimensions de la pièce
La nature du matériau
Le C.D.C.F.
Optimiser lecoûtde la pièce par changement des formes, des dimensions, des matériaux, ...Les Actions Mécaniques
Les dimensions de la pièce
La nature du matériau
Le C.D.C.F.
51.Notions de sollicitations
Les sollicitations couramment rencontrées :
Traction / CompressionFlexion
TorsionCisaillement
SOLLICITATIONS SIMPLES ET COMPOSEES:
Sollicitations simples:Torseur de cohésion comprenant une seule sollicitation.Sollicitations composées: Torseur de cohésion comprenant plusieurs sollicitations simples (Traction +
flexion par exemple). Tableau regroupant les sollicitations simples les plus courantesSollicitationsEffort
normalEffort
tranchantMoment
de torsionMoment
de flexionTraction/compressionNT =0Mt=0Mf=0
Cisaillement (1)N =0TMt=0Mf=0
TorsionN =0TMtMf=0
Flexion pure (2)NT =0Mt=0Mf
(1) Suivant l'orientation des sollicitations, l'effort Ty ou Tz peut être nul. (2) Suivant l'orientation des sollicitations, le moment Mfy ou Mfz peut être nul. 62. MOMENTS QUADRATIQUES
2.1.MOMENT QUADRATIQUE D'UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE DE
SON PLAN
Définition
Soit (S) une surface planeet un repère orthonormé (O,xy,) de son plan figure.1 Le moment quadratique élémentaire deS par rapport à (O,x) notéIOXest défini par :IOX= y2.S
et pour l'ensemble de la surface (S) : IOX= ()Sy2.SFigure.1
Remarques :
. L'unité de moment quadratique est le mm4(ou le m4) . Un moment quadratique est toujours positif. . Les moments quadratiques des surfaces "simples" sont donnés à la fin ducours.O(S)SM
y y x 72.2MOMENT QUADRATIQUE D'UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE
PERPENDICULAIRE A SON PLAN . MOMENT QUADRATIQUE POLAIREDéfinition
Soit (S) une surface plane et un repère orthonormé (O,xyz,,) tel que le plan (O,xy,) soit confondu avec le plan de (S) figure.2 Le moment quadratique polaire élémentaire deS par rapport à (O,z) perpendiculaire en O au plan de la figure et notéIOest défini par :IO=2.S
et pour l'ensemble de la surface (S) : IO= ()S2.SFigure.2
Propriété :
Considérons le moment quadratique polaire IOde la surface (S) par rapport à (O,z) perpendiculaire en O à son plan figure.3Notons :IO=
()S2.S Soient x et y les coordonnées du point M. On a :2= x2+y2
On a donc : IO=
()S2.S = ()Sx2.S + ()Sy2.SSoit :IO= IOx+ IOy
O(S) SM y x z 8Figure.3
2.3.MOMENTS QUADRATIQUES A CONNAITRE (O est en G)
b h Gx y a aGx y Gx yd G ydD xIGXIGYIGIO=
bh 12 3hb 12 3bh 122( b + h )2
a 12 4a 12 4a 6 4 d 644d 64
4d 32
4 d )64
4(D4-d )64
4(D4-d )32
4(D4-Figure.4
Soit une poutre subissant un moment de torsion Mt= 5000 N.m On considèrera trois géométries de section possibles, mais ayant la même aire. O(S) SM y x z yx 9Section circulaire
324 0DI
Section rectangulaire
)(22012hbbhI
Section en T
I0= 2033333 mm4
TRAVAIL DEMANDE
Pour chaque type de section:
Calculer le moment quadratique I0s'il n'est pas donné, Section circulaireSection rectangulaireSection en TI0= 2033333 mm4
Calculer la valeur de cette contrainte tangentielle en fonction de. Section circulaireSection rectangulaireSection en T Calculer la contrainte maximale et indiquer au stylo rouge, le où les lieux de cette contrainte Section circulaireSection rectangulaireSection en T 103. ELEMENTS VECTORIELS
En mécanique, les éléments vectoriels sont utilisés pour représenter: les actions mécaniques les actions1/0,AA les moments1/01/0),(,BBMAMM les vitesses1/0,VV les accélérations1/0,Aaa3.1. VECTEURS
1)Vecteur lié-bipoint:
On appellebipointABou (A, B) l'ensemble ordonné des deux points A et B pris dans cet ordre. On appellenorme du bipointAB,la valeur absolue qui définit la longueur du segment [AB]; on note ||AB|| ou AB Le bipoint AB peut être défini géométriquement par:Son origine : A;
Son support: la droite x'x;
Son sens de A vers B;
Sa norme ||AB||.
Il existe un seul représentant unique
2)Vecteur glissant
On appelle vecteur1/0Ala classe d'équivalence des bipoints équipollents dont le bipoint1/0Aest un
représentant. Fig.4 Le vecteur1/0Apeut être défini géométriquement par:Son origine : A
Son support : la droite x'x;
Son sens de A vers x
Sa norme (intensité) ||1/0A|| ou1/0A
Unité: le Newton (N)Figure.5
11Il existe une infinité de vecteurs sur x'x
3)Vecteur libre
Il existe une infinité de vecteurs sur x'x
4)Vecteur libre
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