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être trop faible pour éviter que la poutre ne soit trop déformable) 2-poutres courbes : pour les poutres courbes ce rapport peut être réduit à 1/50 voire à 1/100 le rayon de courbure de la fibre moyenne doit être suffisamment grand par rapport aux dimensions transversales de la poutreR>5hauteursection; en tout cas il ne doit
![TORSION TORSION](https://pdfprof.com/Listes/17/49436-17torsionc.pdf.pdf.jpg)
RDM- TORSION RDM 1/5
TORSION
6ROLGH LGpMO matériau homogène, isotrope, poutre rectiligne, de section constante et circulaire.
IHV MŃPLRQV H[PpULHXUHV dans les sections extrêmes sont modélisables par deux moments opposés,
portés par la ligne moyenne. La poutre est donc soumise à deux torseurs couples:I. DEFINITION
Une poutre est sollicitée à la torsion simple si le torseur associé aux forces de cohésion de la partie droite (II) sur la partie gauche (I) de la poutre peut se réduire en G, barycentre de la section droite (S) à un moment perpendiculaire à (S), tel que:Dans (G,x
,y ,z [Tcoh] = G 0 Mt avecN = 0, Ty = 0, Tz = 0
Mt0, Mfy = 0, Mfz = 0 donc =
G 0Mt 00 00REMARQUE:
[Tcoh] = -T(Actions ext.I) = +T(Actions ext.
II) donc R = 0 et Mt = -MAII. ETUDE DES DEFORMATIONS
On exerce un moment MG1
dans la section droite (S1) et on mesure l'angle de rotation des sections (S ) et (S1) par rapport à (S0). On constate que: x = 1 l1 = ...... = Cte. (S1) (S0) Ligne moyenne MB MA A B x z y G (S MA A MG z y Lf3II I Lf2II I Lf1II I G1 (S1) MG 1G0 (S) (S0)
M' M1'
M1 M 1 1 x l1Génératrice avant
déformationGénératrice après
déformationSection S0 parfaitement encastrée dans 1
RDM- TORSION RDM 2/5
On peut écrire:
1 l1 avec: = angle unitaire de torsion (rad/mm).1 = angle de rotation (S1)/(S0) (en rad).
l1 = distance séparant (S1) à la section de référence (S0) (mm)La courbe donnant l'angle
en fonction du moment MG1 fait apparaître deux zones : IM ]RQH 2$ GH GpIRUPMPLRQ pOMVPLTXH ou
domaine élastique: où l'angle de rotation est proportionnel au moment appliqué. IM ]RQH $% GH GpIRUPMPLRQ SHUPMQHQPH, ou domaine plastique; n'est pas proportionnel à MG1 III. REPARTITION DES CONTRAINTES DANS UNE SECTION DROITEEn un point M, la contrainte de torsion
M est proportionnelle à la distance
de ce point à la ligne moyenne. M = .G. . [Dans (O,x1 ,y1M > 0 si
> 0 et 0] M: contrainte tangentielle due à la torsion (MPa). G: module d'élasticité transversale (de Coulomb) (MPa). : angle de torsion unitaire (rad/mm). : distance de M au centre de la section (mm). La contrainte de torsion est nulle si M est sur la ligne moyenne ( = 0). La fibre neutre est confondue avec la ligne moyenne. La contrainte de torsion est maximale si M est sur la surface du solide ( = R = distance max.): max. = G. .R.IV. MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE
Le moment quadratique polaire de la surface (S) par rapport à l'axe (O, z) perpendiculaire en O au plan de cette dernière est: I0 = s) I0: moment quadratique de (S) par rapport a (O,z) (mm4). : distance du point M au point O (mm). S: surface élémentaire entourant le point M(mm2). B MG1 A MA 0Déformation
permanenteDéformation
élastique
max maxM1 M x
1 y z y 1 x z y F G xSection droite
(S) MG0 G0 Mt z y O M x y M S S ODistance de M
ààààO O
Point M
considéréSurface
élémentaire
RDM- TORSION RDM 3/5
MOMENTS QUADRATIQUES PARTICULIERS
Oz x y d Oz x y D d I0 = .d4 32I0= 32
.(D4-d4)
V. ETUDE DES DEFORMATIONS
1- Equation de déformation
Dans le domaine élastique, le moment de torsion Mt est proportionnel à l'angle unitaire de torsion
Mt = G.
.I0 si > 0 Mt > 0Mt: moment de torsion (Nmm).
G: module d'élasticité transversal (de Coulomb) (MPa). : angle de torsion unitaire (rad/mm). I0: moment quadratique de (S) par rapport a (O, x) (mm4). * Voir valeurs de G pour différents matériaux dans cours cisaillement.2- Condition de rigidité
Pour les arbres de grande longueur (arbres de forage de puits de pétrole, arbres de naviresimportants) on évite de trop grandes déformations de torsion qui risqueraient d'engendrer des vibrations
trop importantes pour un fonctionnement correct. A cet effet, on impose un angle unitaire limite de torsion: lim. à ne pas dépasser ( lim: 0,25 °/m, par exemple). lim ou Mt G.Io lim. Mt: moment de torsion (Nmm). G: module d'élasticité transversale (de Coulomb) (MPa). I0: moment quadratique de (S) par rapport à (O,z) (mm4).VI. ETUDE DE LA RESISTANCE
3- Contraintes de torsion
Contrainte de torsion en fonction de Mt:
La contrainte en un point M d'une section
droite est:M = Mt
Io M : contrainte tangentielle due a la torsion (MPa)*.Mt: moment de torsion (Nmm).
I0: moment quadratique polaire de la section droite considérée (mm4). : distance du point M à la fibre neutre (mm). x GM d=2RValeur de
M en un point M
M G MG0 O Mt z y G (S) MO Mt O (S0) M' M x y zSens positif pour l'angle de
rotation l 0 0RDM- TORSION RDM 4/5
4- Contrainte maximale de torsion
Il faut rechercher la section (S) dans laquelle le moment de torsion est maximal. Dans celle-ci la contrainte est maximale au point le plus éloigné de l'axe ( = R). max. = Mtmax Io .R ou max. = Mtmax (I0 R)Tmax.: contrainte maximale tangentielle (MPa)*.
Mt max.: moment de torsion maximale (Nmm).
I0: moment quadratique polaire de la section (S) (mm4). R: distance du point le plus éloigne de la fibre neutre à cette dernière (mm). (I0R): module de torsion (mm3).
* 1 MPa = 1 N/mm2REMARQUE:
Ces relations sont valables uniquement pour les sections circulaires!5- Condition de résistance
Pour des raisons de sécurité, la contrainte de torsion doit rester inférieure à la résistance pratique
au glissement Rpg est le quotient de résistance élastique au glissement Rpg par le coefficient de
sécurité s. (Voir la relation entre Re et Reg dans le cours sur le cisaillement)Rpg = Reg
sRpg: résistance pratique au glissement (MPa).
Reg: résistance élastique au glissement (MPa). s: coefficient de sécurité (sans unité) (voir valeurs dans le cours sur le cisaillement).La condition de résistance est:
max.Rpg ou
Mt max (I0 R) RpgVII. SOLIDE REEL
les arbres présentent généralement de brusques variations de sections (gorges, épaulements,
rainures de clavettes. . .). Au voisinage de ces variations de section, la répartition des contraintes n'est
pas linéaire. Il y a concentration de contrainte. eff. max. = Kt. théorique eff. max.: contrainte maximale effective (MPa). théorique contrainte théorique sans concentration (MPa). Kt: coefficient de concentration de contrainte relatif a la torsion. Kt est déterminé par des tableaux ou abaques (voir les valeurs expérimentales dans tableau).Kt pour rainures de clavettes
Rayon congé
Profondeur rainure
= r c0.5 0.3 0.2 0.1
Coefficient Kt 2.1 2.7 3.5 5.4
c M' MRayon du
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