[PDF] Bases Indispensables des Mathématiques - Chapitre bonus 4





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EQUATIONS DIFFERENTIELLES

3) Equations à coefficients non constants. 4) Exemple d'équation non linéaire. II : Equations différentielles linéaires du second ordre. 1) Définition.



Bases Indispensables des Mathématiques - Chapitre bonus 4

Linéaires du second ordre ordre `a coeffs non constants Équations différentielles linéaires du premier ordre `a coefficients constants.



3.1.3 Equations à coefficients non constants

3.1 Equations différentielles linéaires du premier ordre. Chapitre 3. Exemple 20 2. + ?ex. 3.1.3 Equations à coefficients non constants.



3 Équations différentielles linéaires du premier ordre

? y/(t)+2y(t) = cos(6t) est une équation différentielle linéaire non homogène du premier ordre à coefficients constants de second membre t ?? cos(6t). 3.2 



Équations différentielles

2. Résoudre l'équation différentielle y sinx?ycosx+1 = 0 sur ]0;?[. équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1 à coefficients non constants.



Les extr@s sont un outil pédagogique vous permettant de revoir vos

2) Equation différentielle linéaire du 1er ordre à coefficients constants. Elle est du type : ay'+by = c(x) où a et b sont des constantes.



Table des matières I Equations scalaires

I.3 Ordre 2 coefficients non constants . On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation de la forme.



Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles

1.5.2 Dérivées partielles . 2 Syst`emes différentiels et équations différentielles ... 3.6.3 EDP du premier ordre `a coefficients non-constants . . . 51.



Chapitre III Equations différentielles du second ordre (la boite à z

En fait la boite à z peut être utile pour la résolution d'équations différentielles du second degré à coefficients non constants ou à second membre "exotique".



EQUATIONS DIFFERENTIELLES (DEUXIEME ANNEE)

II : Equations différentielles du second ordre : 1) Equations linéaires à coefficients constants. 2) Equations linéaires à coefficients non constants.



Exo7 - Cours de mathématiques

1 y?+5x y = ex est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre 2 y?+5x y = 0 est l’équation différentielle homogène associée à la précédente 3 2y???3y?+5y = 0 est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans second membre



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L'équation différentielle est linéaire du second ordre mais à coefficients variables •Recherche des solutions sur 0 +? on effectue le changement de variable t =x ou x =t 2 et donc dt = 1 2x dx = 1 2t dx soit dt dx = 1 2t on pose y(x) =y(t 2 ) =z(t) y' (x)= dy dx = dz dt dt dx = 1 2t z' (t) y"(x) = d 2

Comment calculer l'équation différentielle d'un second ordre linéaire à coefficients constants ?

(E) Equation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants soit y"+2y'+y =0(E 0 ) l' équation sans second membre et r 2 +2r+1=0 l' équation caractéristique qui admet une racine réelle double r

Quelle est la forme de l'équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants ?

Voir aussi : Équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants sur la Wikiversité. Elles sont de la forme où a, b et c sont réels ou complexes, a non nul (on peut toujours, en divisant par a, se ramener au cas a = 1 ).

Comment calculer une équation différentielle linéaire ?

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type : y 0 = a ( x ) y + b ( x ) ( E ) où a et b sont des fonctions dé?nies sur un intervalle ouvert I de R.

Qu'est-ce que les équations différentielles linéaires d'ordre deux ?

Les équations différentielles linéaires d'ordre deux sont des équations différentielles de la forme où a, b, c et d sont des fonctions numériques. Elles ne peuvent pas toutes être résolues explicitement, cependant beaucoup de méthodes existent pour résoudre celles qui peuvent l'être, ou pour faire l'étude qualitative des solutions à défaut.

Bases Indispensables des Mathématiques - Chapitre bonus 4

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

Lineaires, ordre un, coecients non constants

Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsBases Indispensables des Mathematiques

Chapitre bonus 4 :

Equations dierentielles.

Julian Tugaut

Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Sommaire

1Introduction

Denition

Theoreme de Cauchy-Lipschitz

Equations dierentielles lineaires2Lineaires, ordre un, coecients constants

3Lineaires, ordre un, coecients non constants

4Non lineaires du premier ordre

Equations a variables separees

Equations de Bernoulli5Lineaires, ordre deux, coecients constants

6Lineaires, ordre deux, coecients non constants

Plan

1Introduction

Denition

Theoreme de Cauchy-Lipschitz

Equations dierentielles lineaires2Lineaires, ordre un, coecients constants

3Lineaires, ordre un, coecients non constants

4Non lineaires du premier ordre

5Lineaires, ordre deux, coecients constants

6Lineaires, ordre deux, coecients non constants

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

Lineaires, ordre un, coecients non constants

Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsDenition Theoreme de Cauchy-LipschitzEquations dierentielles lineaires

Equations dierentiellesDenition

Une equation dierentielle d'ordrenest une relation entre la variabletet les derivees d'ordre 0,1···,nd'une fonction inconnuexdet. On l'ecrit symboliquement : F t,x(t),x?(t),···,x(n)(t)? = 0.(1)Resolution Resoudre cette equation, c'est a la fois donner un intervalleI?R

et une fonctionxsurItelle que (1) soit veriee pour toutt?I.Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

Lineaires, ordre un, coecients non constants

Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsDenition Theoreme de Cauchy-LipschitzEquations dierentielles lineaires

Equations dierentiellesDenition

Une equation dierentielle d'ordrenest une relation entre la variabletet les derivees d'ordre 0,1···,nd'une fonction inconnuexdet. On l'ecrit symboliquement : F t,x(t),x?(t),···,x(n)(t)? = 0.(1)Resolution Resoudre cette equation, c'est a la fois donner un intervalleI?R

et une fonctionxsurItelle que (1) soit veriee pour toutt?I.Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

Lineaires, ordre un, coecients non constants

Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsDenition Theoreme de Cauchy-LipschitzEquations dierentielles lineairesExistence et unicite

Rappel

Une fonctionFest lipschitzienne si et seulement si il existeα >0 lipschitzienne surR+.Theoreme de Cauchy-Lipschitz On considere l'equation dierentielle du premier ordre : ddt x(t) =F(t,x(t)). On demande egalement une condition au bord :x(t0) =x0. On suppose que la fonctionFest continue et lipschitzienne pour la deuxieme variable. Alors, cette equation dierentielle admet une unique solution. Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

Lineaires, ordre un, coecients non constants

Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsDenition Theoreme de Cauchy-LipschitzEquations dierentielles lineairesExistence et unicite

Rappel

Une fonctionFest lipschitzienne si et seulement si il existeα >0 lipschitzienne surR+.Theoreme de Cauchy-Lipschitz On considere l'equation dierentielle du premier ordre : ddt x(t) =F(t,x(t)). On demande egalement une condition au bord :x(t0) =x0. On suppose que la fonctionFest continue et lipschitzienne pour la deuxieme variable. Alors, cette equation dierentielle admet une unique solution. Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

Lineaires, ordre un, coecients non constants

Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsDenition Theoreme de Cauchy-LipschitzEquations dierentielles lineairesApplication

On se donne l'equation dierentielle

x ?(t)-ix(t) = 0, avec la condition au bord :x(0) = 1. Cette equation a une unique solution.Or, si l'on pose?1(t) :=eitet?2(t) := cos(t) +isin(t), on voit que?1et?2sont deux solutions de l'equation dierentielle

et elles verient toutes les deux la condition au bord.Consequemment, on a bieneit= cos(t) +isin(t).Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

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Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsDenition Theoreme de Cauchy-LipschitzEquations dierentielles lineairesApplication

On se donne l'equation dierentielle

x ?(t)-ix(t) = 0, avec la condition au bord :x(0) = 1. Cette equation a une unique solution.Or, si l'on pose?1(t) :=eitet?2(t) := cos(t) +isin(t), on voit que?1et?2sont deux solutions de l'equation dierentielle

et elles verient toutes les deux la condition au bord.Consequemment, on a bieneit= cos(t) +isin(t).Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

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Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsDenition Theoreme de Cauchy-LipschitzEquations dierentielles lineairesApplication

On se donne l'equation dierentielle

x ?(t)-ix(t) = 0, avec la condition au bord :x(0) = 1. Cette equation a une unique solution.Or, si l'on pose?1(t) :=eitet?2(t) := cos(t) +isin(t), on voit que?1et?2sont deux solutions de l'equation dierentielle

et elles verient toutes les deux la condition au bord.Consequemment, on a bieneit= cos(t) +isin(t).Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Phenomene de Peano

Hypotheses

Il faut bien verier que la fonction est lipschitzienne sinon un phenomene de Peano peut appara^tre a savoir la non-unicite de la solution.Exemple

On considere l'equation dierentielle

x ?(t) = 2?x(t), avecx(0) = 0. On cherche a resoudre surt≥0. Alors, pour tout t

0≥0, la fonction suivante est bien une solution de l'equation

dierentielle avec probleme au bord : x (t0)(t) := (t-t0)21t≥t0.

Phenomene de Peano

Hypotheses

Il faut bien verier que la fonction est lipschitzienne sinon un phenomene de Peano peut appara^tre a savoir la non-unicite de la solution.Exemple

On considere l'equation dierentielle

x ?(t) = 2?x(t), avecx(0) = 0. On cherche a resoudre surt≥0. Alors, pour tout t

0≥0, la fonction suivante est bien une solution de l'equation

dierentielle avec probleme au bord : x (t0)(t) := (t-t0)21t≥t0.

Phenomene de Peano

Hypotheses

Il faut bien verier que la fonction est lipschitzienne sinon un phenomene de Peano peut appara^tre a savoir la non-unicite de la solution.Exemple

On considere l'equation dierentielle

x ?(t) = 2?x(t), avecx(0) = 0. On cherche a resoudre surt≥0. Alors, pour tout t

0≥0, la fonction suivante est bien une solution de l'equation

dierentielle avec probleme au bord : x (t0)(t) := (t-t0)21t≥t0.

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

Lineaires, ordre un, coecients non constants

Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsDenition Theoreme de Cauchy-LipschitzEquations dierentielles lineairesDenition Equation dierentielle lineaireUne equation dierentielle lineaire est une equation dierentielle telle que la fonction sous-jacente est lineaire (donc lipschitzienne) pour chacune des coordonneesx(t),x?(t),···,x(n)(t). En d'autres termes, c'est une equation dierentielle de la forme : a n(t)x(n)(t)+an-1(t)x(n-1)(t)+···+a1(t)x?(t)+a0(t)x(t) =s(t).Terminologie Les fonctionsa0,a1,···,ansont les coecients de l'equation. La

fonctionsest le second membre de l'equation (ou la sortie).Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

Lineaires, ordre un, coecients non constants

Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsDenition Theoreme de Cauchy-LipschitzEquations dierentielles lineairesDenition Equation dierentielle lineaireUne equation dierentielle lineaire est une equation dierentielle telle que la fonction sous-jacente est lineaire (donc lipschitzienne) pour chacune des coordonneesx(t),x?(t),···,x(n)(t). En d'autres termes, c'est une equation dierentielle de la forme : a n(t)x(n)(t)+an-1(t)x(n-1)(t)+···+a1(t)x?(t)+a0(t)x(t) =s(t).Terminologie Les fonctionsa0,a1,···,ansont les coecients de l'equation. La

fonctionsest le second membre de l'equation (ou la sortie).Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Espace ane - Espace vectoriel

Denition

L'equation homogene associee a cette equation dierentielle est a n(t)x(n)(t)+an-1(t)x(n-1)(t)+···+a1(t)x?(t)+a0(t)x(t) = 0.

On a simplement enleve le second membre.Theoreme

SoitS0l'ensemble des solutions de l'equation homogene associee etSl'ensemble des solutions de l'equation avec second membre. Alors, sian(t) ne s'annule pas,S0est un espace vectoriel de dimensionn. Et, pour tousx1,x2? S, on ax1-x2? S0. Ainsi, il sut de resoudre l'equation homogene et de trouver une solution particulierexpet l'on aS=xp+S0. On dit queSest un espace ane.

Espace ane - Espace vectoriel

Denition

L'equation homogene associee a cette equation dierentielle est a n(t)x(n)(t)+an-1(t)x(n-1)(t)+···+a1(t)x?(t)+a0(t)x(t) = 0.

On a simplement enleve le second membre.Theoreme

SoitS0l'ensemble des solutions de l'equation homogene associee etSl'ensemble des solutions de l'equation avec second membre. Alors, sian(t) ne s'annule pas,S0est un espace vectoriel de dimensionn. Et, pour tousx1,x2? S, on ax1-x2? S0. Ainsi, il sut de resoudre l'equation homogene et de trouver une solution particulierexpet l'on aS=xp+S0. On dit queSest un espace ane. Plan

1Introduction

2Lineaires, ordre un, coecients constants

3Lineaires, ordre un, coecients non constants

4Non lineaires du premier ordre

5Lineaires, ordre deux, coecients constants

6Lineaires, ordre deux, coecients non constants

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

Lineaires, ordre un, coecients non constants

Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsDenition Equations dierentielles lineaires du premier ordre a coecients constantsOn considere ici une equation de la forme x ?(t) +ax(t) =s(t).Espace ane On sait que l'espace des solutions est un espace ane de dimension 1. On resout donc l'equation homogene et l'on cherche ensuite une solution particuliere. Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Introduction

Lineaires, ordre un, coecients constants

Lineaires, ordre un, coecients non constants

Non lineaires du premier ordre

Lineaires, ordre deux, coecients constants

Lineaires, ordre deux, coecients non constantsDenition Equations dierentielles lineaires du premier ordre a coecients constantsOn considere ici une equation de la forme x ?(t) +ax(t) =s(t).Espace ane On sait que l'espace des solutions est un espace ane de dimension 1. On resout donc l'equation homogene et l'on cherche ensuite une solution particuliere. Julian TugautBases Indispensables des Mathematiques

Resolution de l'equation homogene

Ecriture de l'equation homogeneL'equation homogene est icix?(t) +ax(t) = 0.Theoreme Les solutions de cette equation sont toutes de la formet?→λe-atPreuve Soitxune solution de l'equation homogene associee. On pose y(t) :=x(t)e+at. On a alors : y ?(t) =x?(t)eat+ax(t)eat=?x?(t) +ax(t)?eat= 0. La fonctionyest donc constante et egale aλ. Or,x(t) =y(t)e-at.Remarque On resout en fait l'equation caracteristiqueX+a= 0.

Resolution de l'equation homogene

Ecriture de l'equation homogeneL'equation homogene est icix?(t) +ax(t) = 0.Theoreme Les solutions de cette equation sont toutes de la formet?→λe-atPreuve Soitxune solution de l'equation homogene associee. On pose y(t) :=x(t)e+at. On a alors : y ?(t) =x?(t)eat+ax(t)eat=?x?(t) +ax(t)?eat= 0. La fonctionyest donc constante et egale aλ. Or,x(t) =y(t)e-at.Remarque On resout en fait l'equation caracteristiqueX+a= 0.

Resolution de l'equation homogene

Ecriture de l'equation homogeneL'equation homogene est icix?(t) +ax(t) = 0.Theoreme Les solutions de cette equation sont toutes de la formet?→λe-atPreuve Soitxune solution de l'equation homogene associee. On pose y(t) :=x(t)e+at. On a alors : y ?(t) =x?(t)eat+ax(t)eat=?x?(t) +ax(t)?eat= 0. La fonctionyest donc constante et egale aλ. Or,x(t) =y(t)e-at.Remarque On resout en fait l'equation caracteristiqueX+a= 0.

Resolution de l'equation homogene

Ecriture de l'equation homogeneL'equation homogene est icix?(t) +ax(t) = 0.Theoreme Les solutions de cette equation sont toutes de la formet?→λe-atPreuve Soitxune solution de l'equation homogene associee. On pose y(t) :=x(t)e+at. On a alors : y ?(t) =x?(t)eat+ax(t)eat=?x?(t) +ax(t)?eat= 0. La fonctionyest donc constante et egale aλ. Or,x(t) =y(t)e-at.Remarque On resout en fait l'equation caracteristiqueX+a= 0.

Recherche d'une solution particuliere

Methode de la variation de la constante

On cherche une solution particulierexpsous la forme x p(t) :=λ(t)e-at. On est ainsi amene a resoudred dtλ(t)e-at+aλ(t)e-at=s(t), ce qui donne en faitquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38
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