[PDF] Équations différentielles linéaires

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UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE

U.F.R. SEGMI Année universitaire 2018 - 2019

Licence d"économie Cours de M. Desgraupes

MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES DYNAMIQUES

Corrigé du TD "Équations différentielles"Équations différentielles linéaires Corrigé ex. 30: Équations d"ordre 1 à coefficients constants

Équationy02y= 7

Solution particulière :

v(t) =72

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C e2t

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =C e2t72 Solution de l"équation générale avecy(0) = 5: y(t) =172 e2t72

Équation2y0+ 3y= 3t

Solution particulière :

v(t) =t23

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C e32 t

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =C e32 t+t23 Solution de l"équation générale avecy(0) =13 y(t) =e32 t+t23 1

Équationy03y= 2e3t+ 1

Solution particulière :

v(t) =13 (e3t+ 1)

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C e3t

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =C e3t13 (e3t+ 1) Solution de l"équation générale avecy(0) = 0: y(t) =23 e3t13 (e3t+ 1)Équationmy0y=e2t

On commence par supposer quem6=12

Solution particulière :

v(t) =e2t2m1

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C et=m

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =C et=m+e2t2m1 Solution de l"équation générale avecy(0) = 0: y(t) =e2tet=m2m1Dans le cas oùm=12 , on trouve la solution particulièrev(t) = 2te2t. On a alors : y(t) =v(t) +w(t) = (2t+C)e2t Avec la condition initialey(0) = 0, la solution est finalementy(t) = 2te2t. 2 Corrigé ex. 31: Équations d"ordre 1 à coefficients variables Résoudre les équations différentielles à coefficients variables suivantes :

Équationy02ty= 4t

Solution particulière :

v(t) =2

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C et2

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =C et22

Équationty0my=t

Solution particulière :

v(t) =tm lorsquem6=. Dans le cas particulier oùm=, on obtienty= tlogt.

Solution de l"équation homogène :

w(t) =C tm Solution de l"équation générale (lorsquem6=) : y(t) =v(t) +w(t) =tm+C tm

Dans le cas oùm=, on ay(t) =t(logt+C).

Équation(t21)y0t1y=m

Solution particulière :

v(t) =mt L"équation homogène se décompose sous la forme w 0w =1t(t21)=1t +12

1t1+12

1t+ 1

On en déduit que

(logjwj)0= logjtj+12 logjt1j+12 logjt+ 1j 0 logpjt21jjtj! 0 Finalement la solution de l"équation homogène est (en supposant quet6= 0) : w(t) =Cpjt21jt 3

Solution de l"équation générale :

y(t) =v(t) +w(t) =Cpjt21jt mt Corrigé ex. 32: Équations d"ordre 2 à coefficients constants Dans toutes les équations qui suivent, on utilise les mêmes conditions initiales y(0) =y0(0) =1.

Équationy00+ 3y0+ 2y=tet

Solution particulière :

v(t) =12 (t22t)et

Solution de l"équation homogène :

w(t) =et+e2t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =12 (t22t4)et+e2tÉquationy004y= 10

Solution particulière :

v(t) =52

Solution de l"équation homogène :

w(t) =e2t+e2t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =e2t+12 e2t52

Équationy006y0+ 9y=2e3t

Solution particulière :

v(t) =t2e3t

Solution de l"équation homogène :

w(t) = (t+)e3t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) = (t2+ 2t1)e3tÉquationy00+ 2y0+ 5y=et+ sin(2t) 4

Solution particulière :

v(t) =sin(2t)4 cos(2t)17 +et4

Solution de l"équation homogène :

w(t) =etsin(2t) +cos(2t) Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =et64 sin(2t)69 cos(2t)68 +sin(2t)4 cos(2t)17 +et4

Équation8y004y0+ 3y=3et

Solution particulière :

v(t) =15 et

Solution de l"équation homogène :

w(t) =et4 sinp5t4 +cosp5t4 Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =45 et4 cosp5t4 +p5 sin p5t4 15 etCorrigé ex. 33: Équation dépendant d"un paramètre (E)y00+ 4y0+my=e2t

33-1) L"équation homogène associée(H)est :

(H)w00+ 4w0+mw= 0

Le discriminant est :

0= 4m

1-a) La forme dew(t)dépend du signe du discriminant.

Sim <4alors0>0et on a deux racines réelles distinctesr1etr2. La solution de(H)s"écrit : w(t) =k1er1t+k2er2t Sim= 4alors0= 0et on a une racine réelle doubler. La solution de(H) s"écrit : w(t) = (k1t+k2)ert Sim >4alors0<0et on a deux racines complexes conjuguées qu"on écrit sous forme algébriquez=+i. La solution de(H)s"écrit : w(t) =etk1cos(t) +k2sin(t) 5

1-b) La condition nécessaire et suffisante pour que toutes les fonctionsw(t)

tendent vers 0 lorsquet!+1est donnée par les conditions de stabilité. Résultat de cours :si l"équation est notéew00+aw0+bw= 0, les conditions de stabilité s"expriment par les relations suivantes a >0 b >0Dans le cas présent, cela se ramène àm >0. 33-2)

2-a) La valeur d"équilibre est une solution particulière de(E). On cherche a

prioriv(t) =C e2t. On en déduit quev0(t) =2C e2tetv00(t) = 4C e2t. D"où, en remplaçant dans l"équation(E):

4C e2t+ 4(2C e2t) +mC e2t=e2t

On en tireC=1m4lorsquem6= 4.

Dans le cas oùm= 4, il faut chercherv(t)sous la formev(t) =C t2e2t. Tout calcul fait, on trouveC= 1=2et doncv(t) =12 t2e2t.

2-b) La nature de l"équilibre a été discutée à la question précédente : l"équilibre

est stable si et seulement sim >0..Corrigé ex. 34: Solution d"équilibre (E)my00+ 3(m1)y0+ 3y= 6

34-1) On cherche une solution particulière de(E)de la formev(t) =K. On a

alorsv0(t) =v00(t) = 0et, en reportant dans l"équation(E), on obtientK= 2quelle que soit la valeur dem.

34-2) La valeur d"équilibre de(E)est la solution particulière trouvée à la question

précédente.

34-3) Condition nécessaire et suffisante pour que cet équilibre soit stable.

Pour utiliser les conditions de stabilité, on doit mettre le membre de gauche de l"équation sous la formey00+ay0+by: y

00+ 3m1m

y0+3m y et alors les conditions s"expriment par les relations a >0 b >0

Ici on obtient les conditions

8>>< >:m1m >0 3m >0 6 ce qui impose finalementm >1. 34-4)

4-a) Pour que toutes les solutions de(E)présentent des oscillations, il faut et il

suffit que le discriminant de l"équation caractéristique associée soit négatif. On a :

P(r) =mr2+ 3(m1)r+ 3 = 0

On calcule

= 9(m1)212m= 3(3m210m+ 3) = 3(m3)(3m1)

Le discriminant est négatif lorsque1=3< m <3.

4-b) Pour que les oscillations soient amorties, il faut que l"équilibre soit stable.

On a vu, en discutant les conditions de stabilité, que la condition estm >1. Compte- tenu du résultat précédent, on obtient1< m <3.

Corrigé ex. 35: Solution particulière

y

004y0+ 4y=temt

On cherche une solution particulière sous la formev(t) = (at+b)emt.

On calcule :

v

0(t) =m(at+b)emt+aemt

v

00(t) =m2(at+b)emt+ 2amemt

En reportant dans l"équation, on obtient :

a(m2)2t+b(m2)2+ 2a(m2)emt=temt

Par identification, on trouve :

a(m2)2= 1 b(m2)2+ 2a(m2) = 0

D"où finalement, lorsquem6= 2

8>>>< >>:a=1(m2)2 b=2(m2)3 Dans le cas oùm= 2, on doit chercher la solution particulière sous la forme v(t) =Ct3e2t. Tout calcul fait, on trouvev(t) = 1=6t3e2t. Solution générale de l"équation homogène : w(t) = (k1t+k2)e2t

Finalement on reconstituey(t) =w(t) +v(t).

Nature de l"équilibre obtenu : l"équilibre est instable à cause du termee2tqui fait diverger la fonctionw(t)représentant les écarts à l"équilibre. 7 Corrigé ex. 36: Équation vérifiée par une fonction

36-1) Pour chacune des fonctionsyci-dessous, on cherche une équation différen-

tiellehomogène du second ordredontysoit solution générale :

Fonctiony=et+e5t

Un polynôme caractéristique dont les racines sont 1 et 5 est

P(r) = (r1)(r5) =r26r+ 5

La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée y

006y0+ 5y= 0Fonctiony=e5t+te5t

Un polynôme caractéristique ayant 5 comme racine double est

P(r) = (r5)2=r210r+ 25

La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée y

0010y0+ 25y= 0Fonctiony=e2t(cos3t+sin3t)

Un polynôme caractéristique dont les racines sont23iest

P(r) =r(2 + 3i)r(23i)=r24r+ 13

La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée y

004y0+ 13y= 0Fonctiony=+e5t

Un polynôme caractéristique dont les racines sont 0 et 5 est

P(r) =r(r5) =r25r

La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée y

005y0= 036-2) Construiredeséquationsdifférentiellesdusecondordreavecsecondmembre

ayant pour solution générale les fonctionsydonnées. le second membre correspondant à la solution particulière donnée.

Fonctiony=e5t+te5t+ 3

Un polynôme caractéristique ayant 5 comme racine double est

P(r) = (r5)2=r210r+ 25

8 La fonctionwvérifie donc l"équation différentielle homogène associée w

0010w0+ 25w= 0On calcule les dérivées deyen fonction dew:

y=w+ 3 =)y0=w0; y00=w00 et on remplace dans l"équation : y

0010y0+ 25y=w0010w0+ 25(w+ 3) =w0010w0+ 25w+ 75 = 75

L"équation recherchée est donc :

y

0010y0+ 25y= 75Fonctiony=e5t+te5t+ 2tet

La partie correspondant à l"équation homogène est la même que dans l"exemple précé-

dent. On utilise donc le même polynôme caractéristique. On calcule les dérivées dey en fonction dew: y=w+ 2tet=)y0=w0+ 2(et+tet) =)y00=w00+ 2(2et+tet)

En substituant dans l"équation, on obtient :

y

0010y0+ 25y=w00+ 2(2et+tet)10(w0+ 2(et+tet)) + 25(w+ 2tet)

=w0010w0+ 25w16et+ 32tet = 16et(2t1)

L"équation recherchée est donc :

y

0010y0+ 25y= 16et(2t1)Fonctiony=+e5t+t

Un polynôme caractéristique dont les racines sont 0 et 5 est

P(r) =r(r5) =r25r

La fonctionwvérifie donc l"équation différentielle homogène associée w

005w0= 0On calcule les dérivées deyen fonction dew:

y=w+t=)y0=w0+ 1; y00=w00 et on remplace dans l"équation : y

005y0=w005(w0+ 1) =w005w05 =5

L"équation recherchée est donc :

y

005y0=59

Fonctiony=e2t(cos3t+sin3t) + 4

Un polynôme caractéristique dont les racines sont23iest

P(r) =r(2 + 3i)r(23i)=r24r+ 13

La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée w

004w0+ 13w= 0On calcule les dérivées deyen fonction dew:

y=w+ 4 =)y0=w0; y00=w00 et on remplace dans l"équation : y

004y0+ 13y=w004w0+ 13(w+ 4) = 52

L"équation recherchée est donc :

y

004y0+ 13y= 52Corrigé ex. 37: Recherche d"un solution maximale I

ty

0(t)3y(t) +t2= 0 (E)

37-1) Trouver toutes les solutions de(E)définies surR?+.

On cherche une solution particulière de la formev(t) =at2+bt+c. En remplaçant dans(E), on trouve facilementa= 1,b=c= 0, d"oùv(t) =t2.

L"équation homogène esttw03w= 0. On en tire

w 0w =3t ()(logjwj)0= (3log(t))0=log(t3)0 pourt >0. D"oùlogjwj= log(t3) +Cet finalement w(t) =eCt3=K t3

Les solutions sont finalement de la forme :

y(t) =K t3+t237-2) De manière analogue surR?, c"est-à-dire pourt <0, on trouve : y(t) =Kjtj3+t237-3) Quelles sont les solutions de(E)surR? Les solutions trouvées aux questions précédentes vérifienty(0) = 0. Autrement dit elles se raccordent en 0. SurRentier, on peut donc recoller les morceaux et écrire les solutions de la manière suivante : f(t) =( K

1t3+t2sit0

K

2jtj3+t2sit0

Noter que les constantesK1etK2ne sont pas nécesairement égales car l"équation ne donne aucun renseignement sur les dérivées en 0. 10 Corrigé ex. 38: Recherche d"un solution maximale II pjtjy0(t)y(t) = 1 (E)

38-1) SurR?+, l"équation s"écritpty

0(t)y(t) = 1.

Une solution particulière évidente estv(t) =1.

L"équation homogène estptw

0w= 0. On en tire

w 0w =1pt ()(logjwj)0= 2pt 0 pourt >0. D"oùlogjwj= 2pt+Cet finalement w(t) =eCe2pt =K e2pt

Les solutions sont finalement de la forme :

y(t) =Ke2pt

138-2) SurR?, on remplacetpart. On trouve finalement

y(t) =Ke2pjtj138-3) Pour trouver une solution de(E)surR, il faut pouvoir raccorder en 0 les solutions trouvées aux questions précédentes surR?+et surR?. Ent= 0, les solutions trouvées valentK1. Pour qu"elles se raccordent, il faut

prendre la même valeur deKpour les deux branches.Corrigé ex. 39: Recherche d"un solution maximale III

(4t2)y0(t) +ty(t) = 2

39-1) Cherchons une solution particulière de la formev(t) =at+b. En rempla-

çant dans l"équation, on trouve immédiatementa= 1=2etb= 0. D"oùv(t) =t2 L"équation homogène est(4t2)w0+tw= 0. On en tire wquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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