[PDF] Intégrale dune fonction continue sur un intervalle quelconque

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Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle quelconque

I. Intégrale généralisée sur un intervall e [ a ;+∞[ ......................................................p.2

Définition de l'intégrale d'une fonction continue sur [ a ;+∞[ . Théorème de majoration de l'intégrale d'une fonction positive sur [ a ;+∞[ . Théorème de majoration de l'intégrande positif sur [ a ;+∞[ .

II. Intégrale généralisée sur un intervalle quelconque. .....................................................p.4

Définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle semi-ouvert. Intégrales de référence.

Définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle ouvert. Relation de Chasles.

Théorème de changement de variable dans une intégrale généralisée. Propriétés des intégrales généralisées convergentes.

III. Intégrabilité d'une fonction sur un intervalle.......................................................p.10

Définition de la convergence absolue d'une intégrale généralisée. Définition de l'intégrabilité d'une fonction sur un intervalle. Propriété de l'intégration d'une fonction intégrable sur un intervalle. Caractérisation de la fonction nulle sur un intervalle. Théorème de majoration du module de l'intégrande sur un intervalle. Théorème de domination l'intégrande au voisinage de la borne exclue. Théorème d'équivalence des intégrandes au voisinage de la borne exclue.

╰╯╰╯╰╯╰╯╰╯╰╯╰╯╰╯╰╯╰╯╰╯╰╯╰╯╰╯La notion d'intégrale concerne pour l'instant les fonctions continues sur un intervalle fermé borné

[a;b]. Dans ce cas les

méthodes des rectangles ou des trapèzes permettent d'obtenir une approximation numérique de la valeur de l'intégrale.

Exemples de codes python pour l'approximation numérique de ∫01 x2dx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 def carre(x): return x**2 def rectangles(f,a,b,n): dx=(b-a)/n s=0 for k in range(n): s=s+f(a+k*dx)*dx return s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 def carre(x): return x**2 def trapeze(f,a,b,n): dx=(b-a)/n s=f(a)/2*dx for k in range(1,n): s=s+f(a+k*dx)*dx s=s+f(b)/2*dx return s

Utilisation de numpy ou de sympy :

1 2 3 4 5 import numpy as np x=np.arange(0,1,0.001) y=[t**2 for t in x] print(np.trapz(y,x))0.3323344995 1 2 3 from sympy import * x=symbols('x') pprint(integrate(x**2,(x,0,1)))1/3 Exemple de code python utilisant le module sympy pour la recherche d'une primitive : 1 2 3 4 5 6 from sympy import * t = symbols('t') pprint(integrate(ln(t),t)) pprint(integrate(1/t,t))

pprint(integrate(exp(t**2),t))Remarque : l'affichage résultant de l'exécution de la ligne 5 met en évidence une lacune...

Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle1/15pycreach.free.fr - TSI2

Théorème fondamental de l'analyse appliqué au calcul d'une intégrale sur un intervalle fermé borné

Si f(t)dt=[F(t)]ab =F(b)-F(a)Cherchez l'erreur : ∫-111 t2dt= [-1 t]-11 =-1 1-(-1 -1)=-2 ??? Démonstration : Soit f une fonction continue sur [a;b]. ► Existence d'une primitive : en posant

F:x→∫a

x f(t)dt. Soient x∈[a;b] et h∈ℝ* tel que x+h∈[a;b] alors : F (x+h)-F(x)=∫ax+h f(t)dt-∫ax f(t)dt=∫xx+h f(t)dt et ∫x x+h f(x)dt=hf(x)donc ∣F (x+h)-F(x)h-f(x)∣=∣1 h(∫xx+h f(t)dt-∫xx+h h>0, on a donc : ∣F(x+h)-F(x) h-f(x)∣⩽1 h∫x x+h ∣f(t)-f(x)∣dtPour h<0, on a donc : ∣F (x+h)-F(x)h-f(x)∣⩽1 -h∫x+hx∣f(t)-f(x)∣dt=1 h∫xx+h∣f(t)-f(x)∣dt

Or f étant continue en x,

∀ε>0, ∃η>0 tel que ∣x-t∣<η⇒∣f(t)-f(x)∣<εDonc ∀ε>0, ∃h∈ℝ* tel que ∣F (x+h)-F(x)h-f(x)∣⩽h hε=ε

Ce qui signifie que limh→0F

(x+h)-F(x)h=f(x) donc F'(x)=f(x)Ainsi F est une primitive de f sur [a;b] et F(a)=∫a a f(t)dt=0 ainsi on a bien : ∫a b

f(t)dt=F(b)-F(a)► Résultat indépendant du choix d'une primitive car deux primitives de f sur

[a;b] diffèrent d'une constante.

Soient F et G deux primitives de

f sur [a;b], d'après l'inégalité des accroissements finis (le théorème des

accroissements finis n'étant pas valide pour les fonctions à valeurs complexes) appliqué à la fonction x→F

(x)-G(x) dérivable sur [a;b], donne ∣F(b)-G(b)-(F(a)-G(a))∣⩽supc∈]a;b[ ∀c∈]a;b[, F'(c)-G'(c)=f(c)-f(c)=0 donc F(b)-G(b)=F(a)-G(a)

Ainsi :

F(b)-F(a)=G(b)-G(a)□

L'objectif de ce cours est d'étendre cette notion pour définir les intégrales de fonctions continues sur un intervalle non

fermé ou non borné : [a;+∞[ puis [a;b[ ou ]a;b] ou ]-∞;b] ou encore ]a;b[. I. Intégrale généralisée sur un intervalle [ a ;+∞[ Définition d'une intégrale généralisée sur un intervalle [a;+∞[Soient un réel

Si f est continue sur

[a;+∞[ alors l'intégrale généralisée de f sur l'intervalle [a;+∞[ est définie par :

∫a+∞ f (t)dt≝limx→+∞∫ax f(t)dt

Remarque : on note aussi ∫a+∞

f Si f est à valeur dans ℂ, la définition de l'intégrale donne pour x∈[a;+∞[ : ∫a x f(t)dt=∫a x

Re(f(t))dt+i∫a

x Im(f(t))dtPuis la définition des limites dans de fonctions à valeurs dans ℂ donne : limx→+∞∫ax f (t)dt=limx→+∞∫ax

Re(f(t))dt+i limx→+∞∫ax

Im(f(t))dt

Exemples :

∫1+∞1 t2dt ; ∫1+∞1 tdt ; ∫0 sin(t)dtIntégrale d'une fonction continue sur un intervalle2/15pycreach.free.fr - TSI2

Définition de la convergence d'une intégrale généralisée sur un intervalle [a;+∞[Soient un réel

L'intégrale généralisée ∫a+∞ f (t)dt est convergente (ou existe) si et seulement si elle est finie.

Si ∫a+∞

f (t)dt est convergente alors ∫a+∞ f(t)dt est convergente en +∞

Si ∫a+∞

f (t)dt n'est pas convergente alors ∫a+∞ f(t)dt est divergente en +∞

Exemples :

∫1+∞1 t2dt ∫1+∞1 tdt ∫0 sin(t)dtThéorème de majoration de l'intégrale d'une fonction positive sur [a;+∞[Soient un réel a et une fonction f∈C0([a;+∞[;ℝ)Si f est positive sur [a;+∞[ alors ∫a f(t)dt est convergente en +∞ si et seulement si x→∫ax f

(t)dt est majorée sur [a;+∞[ L'hypothèse de positivité de l'intégrande est nécessaire.

∫0 sin(t)dt...

Démonstration : f étant continue sur

[0;+∞[, le théorème fondamental de l'analyse assure l'existence de F unique primitive de f s'annulant en a.

Si f est positive sur

[a;+∞[ alors F:[a;+∞[→ℝ x→∫a x f(t)dt est croissante sur [a;+∞[ donc le théorème de la limite monotone assure que : ou bien x→∫ax f (t)dt est majorée et dans ce cas limx→+∞ ∫a x f(t)dt existe et est finie ou bien x→∫ax f (t)dt n'est pas est majorée et dans ce cas limx→+∞∫ax f(t)dt=+∞ Théorème de majoration de l'intégrande positif [a;+∞[Soient un réel a et deux fonctions f∈C0([a;+∞[;ℝ) et g∈C0([a;+∞[;ℝ)Si ∀t∈ [a;+∞[, 0⩽f(t)⩽g(t) et si ∫a g(t)dt est convergente en +∞ alors ∫a+∞ f(t)dt est convergente en +∞

Démonstration : soit x∈

[a;+∞[ si ∀t∈[a;+∞[, 0⩽f(t)⩽g(t) alors la croissance de l'intégration permet d'assurer

que : ∫ax f (t)dt⩽∫ax g(t)dt si, de plus, ∫a

g(t)dt est convergente alors d'après le théorème de majoration de l'intégrale d'une fonction positive,

x→∫a x g(t)dt est majorée sur [a;+∞[. Soit M⩾0 tel que ∀x∈[a;+∞[, ∫ax g(t)dt⩽M on a alors : ∀x∈ [a;+∞[, ∫ax

f(t)dt⩽M ainsi d'après le théorème de majoration de l'intégrale d'une fonction positive,

∫a+∞ f (t)dt est convergente. □

Exemple : nature de ∫1+∞1+cos

(t)t+t2dt Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle3/15pycreach.free.fr - TSI2 II. Intégrale généralisée sur un intervalle quelconque. Définition d'une intégrale généralisée sur un intervalle semi-ouvert Soient a et b deux réels tels que aSi f∈C0 b f(t)dt≝limx→-∞ ∫x b f(t)dt

Si f∈C0

f(t)dt≝limx→b xSi f∈C0 f(t)dt≝limx→a x>a∫xb f(t)dt

Dans les deux derniers cas, la notation

f(t)dt n'indique pas a priori si la limite concerne x→a ou x→b

Exemples :

∫0 11 tdt ou ∫0πsin(t)tdt sont des intégrales généralisées car...

Définition de la convergence d'une intégrale généralisée sur un intervalle semi-ouvert

Soient I un intervalle réel semi-ouvert et

L'intégrale généralisée de f sur l'intervalle I est convergente (ou existe) si et seulement si elle est finie.

∫-∞b f (t)dt est convergente ou divergente en -∞Si f∈C0 f(t)dt est convergente ou divergente en b

Si f∈C0

f(t)dt est convergente ou divergente en a

Exemples :

∫0 11 tdt

Exemple de code python utilisant les module numpy ou le module sympy pour calculer des intégrales généralisées :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 import numpy as np import scipy.integrate as integr print(integr.quad(np.log,0,1)) def f(x): return 1/x**2 print(integr.quad(f,1,np.inf))(-1.0000000000000004, 1.6653345369377348e-15) (1.0, 1.1102230246251565e-14)1 2 3 4

5from sympy import *

t = symbols('t') pprint(integrate(ln(t),(t,0,1))) pprint(integrate(1/t**2,(t,1,+oo))) -1 1 Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle4/15pycreach.free.fr - TSI2 Intégrales généralisées de référence : soit un réel α...

Critère de Riemann

∫1+∞1 tαdt est convergente en +∞ si et seulement si α>1∫011 tαdt est convergente en 0 si et seulement si

α<1

(si α⩽0 cette intégrale n'est pas généralisée) ∫0 eαtdt est convergente en +∞ si et seulement si

α<0Si

α<0 alors ∫0+∞

eαtdt=-1α ∫0 1 ln(t)dt est convergente en 0 et ∫0 1 ln(t)dt=-1

Démonstrations : soit

ε>0 et α∈ℝ, la fonction t→1

tα est continue sur l'intervalle [ε;1] et : ∫ε11 tαdt=...

Donc ...

Soit

T>1 et α∈ℝ, la fonction t→1

tα est continue sur l'intervalle [1;T] et : ∫1T1 tαdt=...

Donc...

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