[PDF] Exercices sur l’Intégrale de Riemann - Le Mans University





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Alors est Riemann-intégrable. Et on pourra utiliser une forme de l'inégalité triangulaire. Allez à : Correction exercice 8. Exercice 9. Soient 



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Exercices corrigés. Exercice # . Déterminer les bornes sup et inf des ensembles intégrale eny comme intégrale de Riemann (ou de Lebesgue sur [01] – les ...



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a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)n sur [−aa] pour a > 0. b) Même queion sur [0



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3 Quelles sont les fonctions Riemann-intégrables ? Exercice 2. Montrer qu'une fonction monotone sur [ab] est Riemann-intégrable sur [a



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Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8

Objectifs : Savoir étudier une fonction définie par une intégrale dépendant de l'une de ses bornes. Savoir calculer une primitive une intégrale de. Riemann.



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— Etablir que la limite simple d'une suite de fonions convexes d'un intervalle I vers R e convexe. Exercice .— Soient fn : [01] ?? R des fonions 



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2) Calculer J(?) lorsque ? = 12 et 4. Exercice 10. Soit f : R ? R une fonction continue périodique de période T > 0



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Annexe C. Annales 2011-2012 Texte et corrigé de l'examen de session 1 Exercice 18 (sommes de Riemann pour les intégrales doubles). Soient a



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Exercice 8. Calculer les intégrales suivantes : Exercice 10 Intégrales de Wallis ... La formule générale pour les sommes de Riemann est que ? b.



Chapitre 24 SOMMES DE RIEMANN Enoncé des exercices

Exercice 24.10 Soit f continue sur [01]



EXERCICES SUR L’INTEGRALE DE RIEMANN - F2School

EXERCICES SUR L’INTEGRALE DE RIEMANN 1 a) Si fest une fonction en escalier montrez que f est aussi en escalier b) Si fet gsont en escalier montrer que f+get fgsont en escalier 2 On rappelle les notations suivantes valables pour toutes fonctions ?et ?: – max(??) est la fonction qui à xassocie max(?(x)?(x))



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2 Calculer la dérivée de et en déduire les variations de Et montrer que 1 2?5 ?? ?4+ 4 2 1 ?1 ?5 3 Donner le développement limité de à l’ordre 1 en 0 et en déduire une équation de la tangente au point d’abscisse 0 4 Encadrer 1 ?4+ 4 en déduire un encadrement de ( ) puis la limite de en +? 5



Intégrale de Riemann - Université Paris-Saclay

des révisions sur l’Intégrale de Riemann en dévoilant quelques théorèmes nouveaux qui anticiperont la longue théorie de l’Intégrale de Legesgue 2 Dé?nition de l’intégrale de Riemann Soient deux nombres réels 1



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La somme supérieure de Riemann de f est dé?nie par : S f =infs S s f: Dé?nition Une fonction f est Riemann-intégrable sur [a;b] si S f = S f L’intégrale de f sur [a;b] est alors dé?nie par: R b a f(x)dx =S f =S f: Théorème Une fonction f bornée est intégrable au sens de Riemann sur [a;b] si et seulement si pour tout



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de sorte que les formules sont encore véri ées au rang p+1 Par récurrence on conclue que les formules sont vraies pour tout p2N 4 Pour tout x2[0;? 2] on a 0 sinx 1 de sorte que pour tout n2N on a 0 sinn+1(x) sinn(x) Par positivité de l'intégrale on en déduit que I n+1 I n On a donc I 2p+1 I 2p I 2p 1 = 2p+ 1 2p I 2p+1; 4



Exercices sur l’Intégrale de Riemann - Le Mans University

Exercices sur l’Intégrale de Riemann ———————————– Université d’Eleuthéria-Polites République de Poldévie Licence 2 Bruno Deschamps Version 3 0 Suites de fon ions Exercice 1 — Pour p 1 et x>0 on pose f p(x) = 1 (1+x)1+1=p Etudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fon ions (f p) p Exercice 2 —



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Etudier la convergence simple et uniforme sur R de la suite de fon ions (f n) n données par f n(x) = sinn(x)cos(x) Exercice24 —a) Montrer que la suite de fon ions f n(x) = x(1+n enx) dé?nies sur R+ pour 2R et n 0 converge simplement vers une fon ion fà déterminer b) Déterminer les valeurs de pour lesquelles il y a convergence uniforme



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de fonctions en escalier (1854) C’est dans le cadre de cette th eorie que se font tous les calculs d’int egrale rencontr es jusqu’a maintenant L’int egrale de Riemann est l’objet de ce cours On la pr esentera comme Darboux l’a fait (1875) Ce type d’int egrales se calcule sur des domaines born es Z b a f(x)dx Quand ce n’est pas



Chapitre 24 SOMMES DE RIEMANN Enoncé des exercices

Chapitre24 MATRICES Solutiondesexercices 1 Lesbasiques Exercice24 1On a u n= n k=1 n n2+k2 n k=1 1 n 1 1+ k2 n2 1 n n k=1 1 1+ k2 n2 on a donc une somme de Riemann pour la fonction continue sur [01]dé?nine par f(x)=



Intégrale de Riemann - F2School

Intégrale des fon ions en escalier 6 Remarques : 1/ Si se une subdivision adaptée à fet que s0e une subdivision plus ?ne que s alors s0e adaptée à f 2/ Soient cet ddeux éléments de [a;b] tels que c



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gence de l’intégrale il faut s’intéresser au comportement au voisinage de 0 et de +1 Si 0

Comment calculer la somme de Riemann ?

  • 2? ?=1 = 1 ? ?? 2? ?=1 = 1 ? × 2?(2?+1) 2 =2?+1?+? Cette somme ne tend pas vers 2, ce n’est pas une somme de Riemann de ? sur ?. 2. Vu ainsi cela ne ressemble pas à la remarque préliminaire, pourtant, en utilisant le 1°), la somme est équivalente à celle-ci-dessus diviser par ? et donc tend vers 2.

Comment savoir si l’intégrale converge en 0 ?

  • ?ln(?), ? 1 2ln(?)?0 et 1 2 <1, donc l’intégrale converge en 0. En 1, on pose ?=1??, ?=1??, ln(?) ?1?? =ln(1+?) ?? =???0, l’intégrale est faussement impropre (généralisée) en 1 donc l’intégrale converge en 1. 6.

Comment calculer l’intégrale d’un demi disque?

  • k=1x(1?x)est une somme de Riemman qui converge vers oùg(x) =x(1?x)est une somme de Riemman qui converge. Par encadrement,onen vers1x(1?x)dx. La valeur de cette intégrale est l’aire du demi disque de centre 0

Comment faire un changement de variable dans l’intégrale ?

  • Je fais le changement de variable ?=?? dans l’intégrale, ??=???, ?(?)=?(??)=? 1 (??)2=?(?) Si ?=0 alors ?=0 et si ?=?? alors ?=? donc ?(??)=? 1 (??)2? ?(?)?? ?? 0 1 ?2??(?)(???) ? 0 =??(?) ? est impaire.

Exercices sur l"Intégrale

de Riemann------------

Université d"Eleuthéria-Polites

République de Poldévie

Licence2

Bruno Deschamps

Version3.0Suites de fon?ionsExercice1.-Pourp1 etx >0, on pose f p(x) =1(1+x)1+1=p Etudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fon?ions (fp)p. Exercice2.-Sur quels intervalles y-a-t-il convergence uniforme pour la suite (fn)nlorsque : a)fn(x) =2nx1+n2nx2pourx2R. b)fn(x) = 4n(x2nx2n+1) pourx2[0;1].

Exercice3.-Etudier sur [0;+1[ la convergence simple et uniforme de la suite de fon?ions (un)ndéfinie par

u n(x) =xnlnx 2

Exercice4.-Etudier sur [0;1] la convergence simple et uniforme de la suite de fon?ions (un)ndéfinie par

u n(x) =xn(1+xn) Exercice5.-Pourn0 etx2[0;+1[, on poseun(x) =enxsin(nx). a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur [a;+1[ poura >0. b) Même que?ion sur [0;+1[.

Exercice6.-Pourn0 etx2R, on poseun(x) =1(1+x2)n.

a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur ]1;a][[a;+1[ poura >0. b) Même que?ion surR. Exercice7.-Pourn0 etx2[0;+1[, on poseun(x) =nx2enx. a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur [a;+1[ poura >0. b) Même que?ion sur [0;+1[.

Exercice8.-Pourn0 etx >0, on poseun(x) =x2sin1nx

etun(0) = 0. a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur [a;a] poura >0. b) Même que?ion sur [0;+1[.

Exercice9.-Soitfn:R+!Rdéfinie parfn(x) =

1+xn n. a) Etudier la limite simple de la suite (fn)n. b) Montrer que, pour toutx >0, la suite (fn(x))ne? ?ri?ement décroissante et en déduire que f n(x)>limnfn(x) c) Après avoir montré que, pour toutt0, on a : tt22 ln(1+t)t ju?ifier que la suite (fn)nconverge uniformément sur tout intervalle [0;a] (aveca >0). d) Etablir qu"en fait, la suite de fon?ions (fn)nconverge uniformément sur [0;+1[. Exercice10.-Soit (Pn)nune suite de fon?ions polynomiales qui converge uniformément surR vers une fon?ionf. Montrer quefe?nécessairement une fon?ion polynomiale. Exercice11.-Soient (fn)net (gn)ndeux suites de fon?ions d"un intervalleIversR, qui con-

vergent uniformément vers des fon?ionsfetgsupposées bornées. Montrer que la suite (fngn)nconverge uniformément vers la fon?ionf g.

Exercice12.-Montrer que la limite uniforme d"une suite de fon?ions uniformément continues d"un intervalleIversRe?elle-même une fon?ion uniformément continue. Exercice13.-Etablir que la limite simple d"une suite de fon?ions convexes d"un intervalleI versRe?convexe. Exercice14.-Soientfn: [0;1]!Rdes fon?ions décroissantes et continues telles que la suite (fn)nconverge simplement vers la fon?ion nulle. Montrer que cette convergence e?uniforme. 3

Exercice15.-(Théorème de Dini) On considère une suite décroissante (fn)nde fon?ions contin-

ues d"un segment [a;b] dansRet qui converge vers la fon?ion nulle. On désire montrer que la convergence e?en fait uniforme. a) Ju?ifier l"exi?ence de limnjjfnjj1. b) Montrer que, pour toutn0, il exi?exn2[a;b] tel quejjfnjj1=fn(xn). c) En observant que pour toutpn,fn(xn)fp(xn), montrer finalement que limnjjfnjj1= 0. Exercice16.-Pourx2[0;=2], on posefn(x) =nsinxcosnx. a) Déterminer la limite simple de la suite de fon?ions (fn)n. b) CalculerIn=Z =2 0 fn(t)dt. Y-a-t-il convergence uniforme de la suite (fn)n? c) Ju?ifier qu"il y a convergence uniforme sur tout segment inclus dans ]0;=2]. Exercice17.-Soitfn: [0;1]!Rdéfinie parfn(x) =n2x(1nx) six2[0;1=n] etfn(x) = 0 sinon. a) Etudier la convergence simple de la suite (fn)n. b) Calculer Z 1 0 fn(t)dt. Y a-t-il convergence uniforme de la suite (fn)n? c) Etudier la convergence uniforme de (fn)nsur [a;1] aveca >0.

Exercice18.-Soitfn:R!Rdéfinie par

f n(x) =rx 2+1n Montrer que chaquefne?de classeC1et que la suite (fn)nconverge uniformément vers une fon?ionfqui n"e?pas de classeC1.

Exercice19.-Soitfn:R+!Rdéfinie parfn(x) =x+1n

. Montrer que la suite (fn)nconverge uniformément mais pas la suite (f2n)n. Exercice20.-Soitf:R!Rune fon?ion deux fois dérivable et de dérivée seconde bornée.

Montrer que la suite des fon?ions (gn)noù

g n(x) =n f x+1n f(x) converge uniformément versf0.

Exercice21.-Soitf(x) = 2x(1x) pourx2[0;1]. Etudier la convergence de la suite (fn)noùfne?l"itéréen-ième de la fon?ionf.

Exercice22.-Soit (fn)nla suite de fon?ions définies surR+par,f0(x) =xet, pour toutn0, f n+1(x) =x2+fn(x) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (fn)nsurR+.

Exercice23.-Etudier la convergence simple et uniforme surRde la suite de fon?ions (fn)ndonnées parfn(x) = sinn(x)cos(x).

Exercice24.-a) Montrer que la suite de fon?ionsfn(x) =x(1+nenx) définies surR+pour2R etn0, converge simplement vers une fon?ionfà déterminer. 4 b) Déterminer les valeurs depour lesquelles il y a convergence uniforme. c) Calculer lim nZ 1 0 x(1+pne nx)dx. Exercice25.-On définit la suite de fon?ions (un)nde [0;1] versRparu0(x) = 1 et, pour tout n0, u n+1(x) = 1+Z x 0 un(tt2)dt a) Montrer que, pour toutx2[0;1], 0un+1(x)un(x)xn+1(n+1)!. b) En déduire que pourn;p0,jjun+punjj1X kn+11k!. c) Etablir que pour toutx2[0;1], la suite numérique (un(x))ne?de Cauchy. d) Etablir que la suite (un)nconverge uniformément vers une fon?ionunon nulle vérifiantu0(x) = u(xx2). Exercice26.-On noteEl"ensemble des fon?ionsf: [0;1]!R+continues. Pour toutf2E, on pose (f)(x) =Z x

0pf(t)dt

On considère la suite de fon?ions (fn)ndéfinie parf0= 1 et, pour toutn0,fn+1=(fn). a) Etudier la suite (fn)n.

b) Si l"on notef= limnfn, trouver une équation différentielle dontfe?solution. Y a-t-il unicité

de la solution nulle en 0 ? Sommes de RiemannExercice27.-Déterminer la limite de la suite (un)nlorsque, pourn1, a)un=n X k=11n+k, b)un=n X k=1nn

2+k2, c)un=1pn

n X k=11pn+k, d)un=1pn n X k=11pk+pnk. e)un=2nX k=1kn

2+k2, f)un=n1X

k=0k n +1+k+1( >0).

Exercice28.-Déterminer limnun=1pn

2+2n+1pn

2+4n+1pn

2+6n++1p3n2.

Exercice29.-Déterminer la limite de la suite (un)nlorsque, pourn1, a)un= ch 1pn+1! +ch 1pn+2! ++ch 1p2n! n. b)un=ncos 1pn+1! cos 1pn+2! cos 1p2n! Exercice30.-On considère une fon?ionf:R!Rdérivable en 0 et vérifiantf(0) = 0 et f0(0),0. Déterminer la limite de la suite (un)ndéfinie, pourn1, par u n=fn n1X k=112+cos kn 5

Exercice31.-a) Calculer l"intégraleZ

2 1 logxdx. b) pourn1, expliciterRsupn, lan-ième somme de Riemann supérieure associée à la fon?ion x7!logxsur le segment [1;2].?ue vaut limnRsupn? c) En déduire que lim n (2n)!n nn!! 1=n =4e Exercice32.-En utilisant les sommes de Riemann pour une fon?ion bien choisie, montrer que

1122nn1n

2'npn e 1=4 Intégration par partiesExercice33.-Déterminer les primitives suivantes : a)Z tlntdtb)Z tar?an(t)dtc)Z tsin3tdtd)Z (t2t+ 1)etdte)Z (t1)sintdtf) Z (t+1)ch(t)dt. Exercice34.-Calculer les intégrales suivantes : a) Z 1 0 ln(1 +t2)dtb)Z e 1 tnlntdtc)Z e 1 sin(lnt)dtd)Z 1 0 ar?an(t)dte)1=2

0tar?an(t)dtf)

Z 1 0 tar?an(t)dt. Changement de variablesExercice35.-Déterminer les primitives suivantes : a)

Zdtpt+pt

3b)Zlntdtt+t(lnt)2c)Ze2tdte

t+1d)Zdtt pt

21e)Zdtt+t(lnt)2f)Zdtt

plnt+1g) Zdte t+1h)Zlntdtpt i)Zp1t2dtj)Z t

2p1t2dt.

Exercice36.-En effe?uant le changement de variablest=r2xx1, déterminer la valeur de Z 8=5

4=3dxx

p(2x)(x1). Exercice37.-On considère une fon?ion continuef:R!Rtelle que, pour toutx2R,Z1 0 f(xt)dt= 0. Montrer quefe?indentiquement nulle. (Ind. On pourra utiliser un changement de variables.)

Exercice38.-CalculerZ

1=2

0r1+x1xdxen effe?uant le changement de variablex= cost.

6

Exercice39.-a) Montrer queZ

=4 0 ln(cost)dt=Z =4 0 ln(cos(=4t))dt. b) En déduire la valeur de Z =4 0 ln(1+tant)dt.

Exercice40.-a) Montrer queZ

=2

0costcost+sintdt=Z

=2

0sintcost+sintdt=4

b) En déduire la valeur de Z 1

0dtt+p1t2.

Exercice41.-On considère une fon?ion continuef: [a;b]!Rtelle que pour toutx2[a;b], f(a+bx) =f(x). Montrer que Z b a xf(x)dx=a+b2 Z b a f(x)dx Exercice42.-a) Montrer que sif: [0;1]!Re?une fon?ion continue alors Z 0 tf(sint)dt=2 Z 0 f(sint)dt b) En déduire la valeur, pourn0, de I n=Z

0xsin2n(x)sin

2n(x)+cos2n(x)dx

Exercice43.-Pour deux réelsaetbtels queab >0, on considère

I(a;b) =Z

b a1x2(1+x2)p1+x4dx a) Calculer, en fon?ion deI(a;b), les quantitésI(b;a),I(a1;b1) etI(a1;a). b) CalculerI(a;b) quanda;b >1 en utilisant le changement de variablest=x+1=xpuisv= 1=t. c) Montrer, finalement, que la relation ainsi obtenue re?e valable si l"on suppose ju?eab >0. Exercice44.-Calculer les intégrales suivantes : a) Z

0sint3+cos

2tdtb)Z

2

1dt2t+pt

c)Z 2

1ln(1+t)ln(t)t

2dt.

Exercice45.-CalculerZ

p3 0 arcsin2t1+t2 dt. Exercice46.-a) Déterminera;b;c2Rtels que, pour toutu,1=2, on ait u

212u1=au+b+c2u1

b) Calculer Z 0 1x

212x1dx.

c) Grâce à un changement de variable trigonométrique, en déduire la valeur de Z 0 =2cos

3t12sintdt.

7

Intégrale fon?ion de la borne supérieureExercice47.-Pour une fon?ion continuef:R!Rdonnée, ju?ifier que les fon?ionsg:R!

Rsuivantes sont de classeC1et exprimer leur dérivée : a)g(x) =Z x2

2xf(t)dt.

b)g(x) =Z x 0 xf(t)dt. c)g(x) =Z x 0 f(t+x)dt.

Exercice48.-Etudier la fon?ionf(x) =Z

2x xshtt dt. Exercice49.-Pourf: [0;1]!Rune fon?ion continue donnée, on définitF: [0;1]!Rpar

F(x) =Z

1 0 min(x;t)f(t)dt a) Montrer queFe?de classeC2et calculerF00. b) En déduire queF(x) =Z x 0Z 1 u f(t)dtdu. Exercice50.-Pour une fon?ion continueg:R!Rdonnée, on pose, pour toutx2R, f(x) =Z x 0 sin(xt)g(t)dt a) Montrer que f e?dérivable et quef0(x) =Z x 0 cos(xt)g(t)dt b) Montrer quefe?solution de l"équation différentielley00+y=g(x). c) Achever la résolution de cette équation différentielle. Exercice51.-Soientf:R!Rune fon?ion de classeC1etF:R!Rdéfinie, pourx,0, par

F(x) =12xZ

x xf(t)dt a) Montrer queFpeut être prolongée par continuité en 0. On effe?ue ce prolongement. b) Montrer queFe?dérivable surRet exprimerF0(x) à l"aide d"une intégrale. c) Montrer queFe?dérivable en 0 et observerF0(0) = 0. Exercice52.-On considère une application continuef:R!Rvérifiant que pour toutx;y2R, f(x)f(y) =Z 2y+x

2x+yf(t)dt

Montrer quefe?de classeC1et déterminerf.

Exercice53.-Pourx2R+f0;1g, on pose

f(x) =Z x2 xdtlnt 8 a) Calculer la limite defen 0+, 1 et +1et la limite def(x)=xen +1. b) Calculer Z 1

0x1lnxdx.

c) Montrer quefe?de classeC1surR+f0;1gmais qu"elle e?ju?eC1sur [0;+1[. d) Etudier les variations defet tracer sa courbe représentative.

Exercice54.-Montrer que la fon?ionf(x) =Z

2x xe tt dte?définie et dérivable surRet déter- miner lim x!0f(x). Exercice55.-Pour une fon?ionf:R!Rde classeC1donnée, on définit pourx,0, g(x) =1x Z x 0 f(t)dt Montrer quege?prolongeable surRen une fon?ion de classeC1.

Exercice56.-On considère la fon?ion

f(x) =Z x 1=xte tt2dt

1/ a) Déterminer le domaine de définitionDfde la fon?ionf.

b) Montrer quefe?dérivable surDfet calculerf0. c) Etudier les variations defsurDf.

2/ On considère sur ]1=2;2[ la fon?ion'(t) =tet2e2t2.

a) Montrer que'e?prolongeable par continuité en 2. b) En déduire que Z x 1te tt2dt'x!22e2ln(2x) et, par suite, quef(x)'x!22e2ln(2x). c) Donner un équivalent defen 1=2+. Inégalités sur les intégralesExercice57.-(Inégalité de Tchebycheff)

1) On se donne (ak)1kNet (bk)1kNdeux suites finies croissantes de réels positifs.

a) Pour toutk= 1;;N, on poseEk=E(a1;;ak;;ak) où

E(x1;;xN) =N

X i=1x ibi1N 0

BBBBB@N

X i=1x i1

CCCCCA0

BBBBB@N

X i=1b i1

CCCCCA

Montrer que la suite finie (Ek)1kNe?croissante.

b) En déduire que N X i=1a ibi1N 0

BBBBB@N

X i=1a i1

CCCCCA0

BBBBB@N

X i=1b i1

CCCCCA.

2) Soientf ;g: [0;1]!R+deux applications croissantes. Montrer queZ

1 0 f g Z1 0 f! Z1 0 g!

Exercice58.-(Inégalité de Wirtinger)

9 On considère une applicationf: [0;]!Rde classeC1et telle quef(0) =f() = 0.

1) Après avoir montré que les fon?ions incriminées sont bien intégrables, montrer que

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