[PDF] Correction TRAITEMENT DU SIGNAL ?

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Médian SY53 Pr 2007

1 NOM :

Correction

TRAITEMENT DU SIGNAL

Note :

Durée : 1H50. Calculatrice non autorisée car inutile. Aucun document personnel n"est autorisé. Le sujet contient un formulaire en annexe. Pour chaque réponse, on expliquera la démarche qui conduit au résultat proposé. Les expressions mathématiques seront exprimées littéralement avant d"être éventuellement calculées de façon numérique.

EXERCICE 1

(Exercice extrait des annales d"examen SY53) Considérons un Système Linéaire Invariant dans le Temps (SLIT) ayant pour réponse impulsionnelle la fonction h(t) suivante :

1) Déterminer la fonction de transfert de ce SLIT.

La fonction de transfert est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle. ()1t-ht=triaaa d"où ()Hn=a1 a()2j2since-pnaan ()()2j2Hsince-pnan=an Représenter graphiquement le module de cette fonction de transfert. ()()2Hsincn=an /21,5 6,5 ()ht 1/ t

0 a 2a

0,5 1,5 1 a 2 a 1-a 2-a n 1

Médian SY53 Pr 2007

2 Représenter graphiquement l"argument de cette fonction de transfert. ()()argH2n=-pna On applique à l"entrée de ce système linéaire le signal ()()0etABcos2t=+pn où A et B sont deux constantes réelles positives.

2) Déterminer par deux méthodes différentes, la réponse

s(t) du SLIT à ce signal d"excitation e(t). Méthode 1 : (Raisonnement utilisant les propriétés des

SLITs)

Le système étant linéaire, il conserve le caractère sinusoïdal de l"excitation et n"affecte éventuellement que l"amplitude et la phase en fonction de la fréquence de cette excitation. Dans notre cas, e(t) peut se décomposer en deux signaux e

1 et e2 provoquant chacun les réponses s1 et

s 2. · ()1etActe== est un signal d"excitation de fréquence nulle. Pour

0n=, la fonction de transfert vaut

()()2j20H0sinc0e1-pa=a= donc la réponse ()1stA=. · ()()20etBcos2t=pn. Pour 0n=n, la fonction de transfert vaut ()()0j22

00Hsince-pnan=an. Le module de H affectera

l"amplitude du cosinus et l"argument de H modifiera la phase du cosinus. ()()()()()2000stBHcos2targH=npn+n ()()()2

2000stBsinccos2t2=anpn-pna

D"où

2

00stABsinccos2t=+anpn-a

Méthode 2 : (En utilisant la fonction de transfert et la transformée de Fourier de e(t)) ()()()()00BEA

2n=dn+dn-n+dn+n

d"où ()()()SEHn=nn ()()()()()00BSAH2n=dn+dn-n+dn+nn 0,5 1 a 2-p n 0 2

Médian SY53 Pr 2007

3 ()()()()()()()00BBSAHHH

22n=dnn+dn-nn+dn+nn

()()()()()()()0000BBSAH0HH

22n=dn+dn-nn+dn+n-n

d"où ()()()()00j2tj2t

00BBstAH0HeHe

22
pn-pn=+n+-n ()()()0000j2j2tj2j2t22

00BBstAsinceesincee

22
-pnapnpna-pn=+an+-an

0000j2j2tj2j2t

2

0eeeestABsinc2-pnapnpna-pn+=+an

2

00stABsinccos2t=+anpn-a

EXERCICE 2

(Exercice extrait du cours)

On rappelle la fonction signe : ()

1 pour t0

sgnt0 pour t0

1 pour t0

et la fonction échelon unité

0 pour t0

echt0,5 pour t0

1 pour t0

1) Exprimer la fonction sgn(t) comme la limite d"une

fonction continue que l"on définira et que l"on représentera graphiquement. ()()0sgntlimftee®=

2) Déduire, de la question précédente, ()Xn la

transformée de Fourier de sgn(t) ainsi que ()Yn celle de l"échelon unitaire ech(t). ()Xn s"obtient en calculant ()Fen : ()()0XlimFee®n=n ()Yn se déduit de ()Xn car ()()()1echtsgnt12=+ donc 3 1 2 2 ()fte 1 t 0 e -1 -e

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4 ()()()()1YX

2n=n+dn

Pour déterminer

()Fen ou plus directement ()0limFee®n on peut passer par la dérivée de ()fte. En effet ()1tftrect2e¢=ee

On notera que

()()0limft2tee®¢=d représente la dérivée de la fonction signe. D"où l"on déduit directement ()Gn la transformée de Fourier de ()()0limft2tee®¢=d : ()G2n= En utilisant le théorème de la dérivation on obtient : ()()G2j2Xn==pnn

Et enfin

()jXn=-pn puis ()()1jY2n=dn-pn

EXERCICE 3

Considérons le signal f(t) qui a pour représentation graphique la courbe suivante :

1) Exprimer la fonction f à l"aide de fonctions triangle

f(t) peut s"exprimer de différentes façons : ()00 000 tTttTftAtriAtriAtriTTT+-=++ Ou 1 2,5 f(t) t A 2T 0 0 - 2T0 T0 T0 f(t) t A 2T 0 0 - 2T0 T0 T0 ()fte¢ 1 e t

0 e -e

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5 ()()()()00

0tftAtritTttTT=*d++d+d-

2) Déduire de la question précédente ()Fn, la

transformée de Fourier de f. En appliquant les différentes propriétés de la transformée de Fourier, on obtient : ()()00j2Tj2T2

00FATsincTe1epn-pnn=n++

ou ()()()2

000FATsincT2cos2T1n=npn+

EXERCICE 4

Considérons la fonction f suivante:

()0 00

0011cos2tpourt,44f:tft110pourt,44

pnÎ-nn®= f est en fait constituée d"une seule arche positive d"une fonction cosinus.

1) Exprimer simplement la fonction f à l"aide de la

fonction cosinus et d"une autre fonction que l"on précisera. La fonction f peut être considérée comme une fonction cosinus observée au travers d"une porte rectangulaire de largeur 0 1 2n. ()()()00ftcos2trect2t=pn×n

2) Déduire de la question précédente l"expression

mathématique de la transformée de Fourier de f.

Posons ()()0xtcos2t=pn

00

1FXsinc22nn=n*nn

or ()()()()001X

2n=dn+n-dn-n

6,5 1,5 ()ft t 0 0 1 4n 0 1 4-n 1 0,5 1,5

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D"où ()00

0000

11Fsincsinc4242n+nn-nn=+nnnn

Calculer la valeur de ()Fn pour 0n=.

000

111111F0sincsincsinc424222

-=+=nnn 0

12F0sin

22
p=np d"où () 0

1F0=pn

Représenter graphiquement la transformée de Fourier de f pour []nnnÎ-6600,. Pour faciliter la représentation, on décomposera ()Fn en une somme de deux fonctions que l"on tracera en trait interrompu. Considérons, maintenant, la fonction g réalisée en redressant la fonction ()cos20pnt en double alternances (on réalise en fait la valeur absolue).

3) Exprimer simplement la fonction g à l"aide de la

fonction f et d"une autre fonction que l"on précisera. La fonction g peut être considérée comme étant la répétition périodique de la fonction f. On peut donc exprimer g sous la forme d"un produit de convolution de la fonction f avec un peigne de Dirac dont la période représente la périodicité de la répétition de f. 0 gtftt n 1 1 0,5 0n02n n 0-n 02-n 0 1 pn ()Fn 0 1 2pn 0 1 4n

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4) Déduire des questions précédentes l"expression

mathématique de la transformée de Fourier de la fonction g en fonction de ()Fn. ()()()00GF2nn=n×nn Ou ()()()00 nG2F2n n=nndn-n Donc ()()()000 nG2F2n2n n=nndn-n Représenter graphiquement la transformée de Fourier de g pour []nnnÎ-6600,.

Questions de cours

1) Si f(x) est un signal représentant une force en Newton

en fonction d"une distance en mètre, déterminer l"unité de chacune des grandeurs suivantes : ()Fn la transformée de Fourier de f. Nm ()ffSn la densité spectrale d"énergie de f. N2m2

E l"énergie totale du signal f.

N2m 3 1,5 1 1 n 02-n 2 p ()Gn 04n 02n

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2) .En utilisant la transformée de Fourier de la fonction

()()0f:tftAcos2t®=pn, déterminer la transformée de

Fourier de

()()0g:tgtAsin2t®=pn La fonction g peut être considérée comme la fonction f décalée d"un quart de période. 0

1gtft4=-n

D"où

()()()00 1j2j

42GFeFe

pn-pn-nnn=n=n 0 j2 001Ge 2 pn-nn=dn+n+dn-n 00

00jj22

001Gee2

pnpn-nnn=dn+n+dn-n jj22001Gee2pp-n=dn+n+dn-n

D"où

()()()00jjG

22n=dn+n-dn-n

1,5

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FORMULAIRE

Convolution : fgtfgtfagtada*®*=--¥+¥:()()()()

Puissance instantanée d"interaction

quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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