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NTERPOLATION DE AGRANGE - univ-toulousefr

1 2 Construction de l’interpolant de Lagrange a) Le problème général de l’interpolation polynomiale En analyse numérique une fonction f n’est souvent connue que par ses va-leurs fi en un nombre ?ni de points ai fi = f(ai) (en réalité en pratique fi est seulement une approximation de f(ai)) Cependant dans la plupart des cas il

[TUTORIEL] Interpolation et équations paramétrées

Lagrange Interpolation The basic principle of polynomial interpolation is that we “take measurements” offby looking at the values of the function (and its derivatives) at certain points We then construct a polynomial that satis˜es the same measurements

Chapitre 2 Interpolation polynomiale - univ-toulousefr

2 2 Existence de l’interpolant et sa forme de Lagrange 2 2 1 Introduction 2points:d =1 Naturellement le probl`eme de trouver un polynoˆme de degru e r i ´e ´e r o n u f i a ´e g a l 1 ` d o n t e l graphe passe par 2 points M 0 =(a 0f 0)etM 1 =(a 1f 1)d’abscissesdia? 0 ´erentes?= a 1 est tr`es

Interpolation Polynômes de Lagrange et Splines - u-bordeauxfr

(c) Le script suivant permet de comparer l’interpolation de Lagrange en utilisant des points équi-distants et les racines des polynômes de Tchebichev sur la fonction f : x 7!1 1+x2 sur l’inter-valle [-55] : n=13; a=-5; b=5; N=1000; t=a+(b-a)*[0:1/(N-1):1]; f=1 /(1+t ^2); x=a+(b-a)*[0:1/(n-1):1]; close all; Lagrange3(fabNx); for k=1:n

ICT Tool: - ‘C’ Language Program for Lagrange’s Interpolation

Lagrange interpolation is one of the best options In the era of Information Communication Technology (ICT) The ICT programming technique it is easier task One of the very popular programs in C programming is Lagrange’s Interpolation This paper discuss Lagrange’s Interpolationin C language source code and methods with outputs

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D´emonstration : il su?t de faire une r´ecurrence en appliquant le lemme pr´ec´edent Soit f une fonction r´eelle d´e?nie sur un intervalle [ab] et soit a ? x0 < < xn ? b n+1 points de [ab] On note P le polynˆome d’interpolation de Lagrange de f aux points x0 xn Th´eor`eme 9 – On suppose f ? Cn+1([ab]) alors

Comment utiliser l’interpolation de Lagrange ?

La formule ainsi est bien simple, mais il est préférable de la comprendre avant de l’appliquer. Il faut voir l’interpolation de Lagrange comme une somme de sous-polynômes qui s’annulent en tous les points sauf 1, et ce pour chaque point. Puis, il suffira d’ajouter ces polynômes pour former un super-polynôme qui répondra aux attentes.

Quelle est la différence entre le polynôme d’interpolation de Lagrange et la fonction interpolation?

Il est assez naturel de penser que le polynˆome d’interpolation de Lagrange approche d’autant mieux la fonction interpol´ee que le nombre de points d’interpolation est grand. Cette id´ee reste correcte pour une grande classe de fonctions et pour des points d’interpo- lation correctement choisis, mais elle est fausse en g´en´eral.

Comment calculer la convergence de l’interpolation de Lagrange?

Convergence de l’interpolatio de Lagrange Soit Lnle polynôme d’interpolation de Lagrange de la fonction f(x)= 1 x? , 1 ? x ? 1, aux n+1points distincts x 0,...,xnde l’intervalle [1,1].

Comment faire une interpolation ?

Les deux courbes passent par les points (-1,0), (0,1) et (1,4), mais elles n’y passent pas de la même manière. Pour faire une interpolation, il faut des coordonnées de points dans le plan. L’interpolation renvoie en sortie le polynôme qui passe par ces points. Pour ceux qui veulent des formules, voici la clé de tout le tutoriel !

[PDF] Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange

Faculté des sciences et ingénierie (Toulouse III) Année universitaire

Département de mathématiques 2019-2020

L2 Maths, UE d"Analyse numérique

Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de LagrangeExercice 1.(Identification) On considèrex,y?R4donnés par :x= [-2,0,1,2]ety= [4,0,0,4]. Parmi les poly- nômes suivants, lequel est le polynôme d"interpolationPaux pointsx,y(justifiez votre réponse)?

1.P1(X) =X4-23

X3-3X2+83

2.P2(X) =43

X2-43

3.P3(X) =13

X3+X2-43

X. Correction :On ne demande pas ici de calculer le polynôme mais de l"identifier. On va

donc utiliser la caractérisation équivalente (liée à l"unicité) du polynôme d"interpolation

de Lagrange associé aux pointsx,y:

Ppol d"interp. de Lagrange associé àx,y

??(deg(P)63, P(-2) = 4, P(0) = 0, P(1) = 0, P(2) = 4)(1)

Il n"y a plus qu"à trouver le polynôme qui satisfait toutes les propriétés de (1) (l"existence

et l"unicité du théorème du cours garantit qu"il existe et est unique). Le polynômeP1 est de degré 4, il est donc éliminé. Le polynômeP2a un terme constant non nul : il ne s"annule pas en0, il est donc éliminé. Reste le polynômeP3, on vérifie qu"il convient, c"est donc lui.

Exercice 2.(Existence et unicité)

1. Mon trezqu"il existe une infinité de p olynômesde degré 2 don tle graphe pass epar les points(0,0)et(1,0). Correction :Cherchons les polynômes de degré 2p(x) =ax2+bx+ctels que p(0) = 0etp(1) = 0. Ce qui est équivalent au système linéaire ?c= 0 a+b+c= 0 En le résolvant, on obtientp(x) =ax(x-1)sans condition sura, ce qui correspond bien à une infinité de polynômes de degré 2. 1

2.Mon trezqu"il n"existe p asde p olynômede degré 2 passan tpar les p oints(0,1),

(1,4),(2,15)et(3,40). Correction :Comme dans la question précédante, on cherchep(x) =ax2+bx+c tels quep(0) = 1,p(1) = 4,p(2) = 15etp(3) = 40. Ce qui est équivalent au système linéaire ???c= 1 a+b+c= 4

4a+ 2b+c= 15

9a+ 3b+c= 40

En le résolvant, on trouve qu"il n"y a pas de solution, ce qui conclut la question.

Exercice 3.(Construction... Malin ou bourrin?)

Remarque : C"est un bon exercice ici, maintenant que vous avez du recul d"essayer les différentes façons de calculer un polynôme d"interpolation. Calculer les polynômes d"interpolation de Lagrange aux points suivants : a.x= [-1,2,3]ety= [4,4,8] Correction :On calcule la base de Lagrange associée àx: L

0(X) =112

(X-2)(X-3), L1(X) =-13 (X+1)(X-3), L2(X) =14 (X+1)(X-2) et alorsPa(X) = 4L0(X) + 4L1(X) + 8L2(X). IMPORTANT : Il n"est pas demandé/nécessaire/souhaitable de développer les po- lynômes de la base de Lagrange ni même de développerPa, vous allez ajouter des erreurs et le résultat final sera faux. b.x= [-2,-1,0,1]ety= [0,-2,-4,0] Correction :Ici on voit que le polynôme a 2 racines :-2et1. Cela signifie qu"il peut être factorisé par(X+ 2)(X-1), c"est à dire qu"il existe un polynôme Qtel quePb(X) =Q(X)(X+ 2)(X-1). Comme on sait quedeg(Pb)63, alors nécessairementQest de degré inférieur ou égal à1:Q(X) =aX+b. On cherche maintenantaetben utilisant les autres valeurs : P b(-1) =-2, Pb(0) =-4 ce qui équivaut à ?-2(-a+b) =-2 -2b=-4 ce qui donneb= 2, a= 1soitPb(X) = (X+ 2)2(X-1). Bien sûr, on vérifie a posteriori quePbconvient bien. c.x= [-1,0,1,2]ety= [6,2,0,0] 2 Correction :Ici on procède de la même manière que précédemment en remar- quant que1et2sont racines dePc. On obtient par le même raisonnement que précédemment P c(X) =-(X-2)(X-1). REMARQUE : On peut évidemment calculerPbetPcen calculant les polynômes de degré 3 de la base de Lagrange, mais il n"est pas nécessaire de calculer TOUS les polynômes de la base : seuls les polynômes oùPne s"annule pas sont utiles (en l"occurenceL2etL3pourPb,L1etL2pourPc). d.x= [-1,0,1]ety= [1,0,1] Correction :Ici un simple coup d"oeil permet de constater queX2convient, par unicité, on sait donc quePd(X) =X2. e.x= [-3,-1,2,10]ety= [-3,-1,2,10] Correction :Encore plus simple que précédemment, iciPe(X) =X.

Exercice 4.(Utilisation de la caractérisation)

SoitPun polynôme. Montrer que son polynôme d"interpolation aux noeudsxi?R,

06i6n, est le reste de la division euclidienne deppar le polynômeπn(x) = (x-

0)(x-x1)...(x-xn).

Correction :Cet exercice vous démunit en général. Dans ce cas, revenons en à la base : que doit-on démontrer? On doit démontrer que le reste de la division euclidienne deP parπn(appelons-leR, on en reparlera plus tard) est LE polynôme d"interpolation de Paux noeudsxi, i= 1...n, c"est à dire, en utilisant la caractérisation du polynôme d"interpolation : deg(R)6n,?i= 1...n, R(xi) =P(xi). Ca paraît pas mais on a beaucoup avancé en disant ça, car on sait maintenant comment partir!quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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