Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange. Exercice 1. (Identification). On considère x y ∈ R4 donnés par : x = [−2
Exercices de travaux dirigés avec correction
est la dérivée d'ordre (n + 1) du polynôme unitaire R(t). Exercice 3 : a) Déterminons le polynôme d'interpolation de Lagrange relatif au tableau suivant :
Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale
Puis à l'aide des questions précédentes établir une estimation d'erreur. Exercice 2. Convergence de l'interpolatio de Lagrange Soit Ln le polynôme d'
Analyse numérique Exercices corrigés - Interpolation polynômiale
Exercice 3. Avec quelle précision peut-on calculer √115 `a l'aide de l'interpolation de Lagrange si on prend les points : x0 = 100
Réponses aux exercices du chapitre 5
Réponses aux exercices du chapitre 5. Numéro 4. Soit les points suivants Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : pn(x) = n. ∑ i=0 f ...
Analyse Numérique
Proposition de corrigé du TD 3. EXERCICE 1. Interpolation de Lagrange. Soit x0 x1
Analyse Numérique
INTERPOLATION ET APPROXIMATION POLYNÔMIALE. 3.3.3 Polynômes orthogonaux. Comme nous ... Exercice 7.5 On reprend la suite {+P1 (µ)
∏ ∑ ∑
Corrigé des exercices de la feuille n˚ 1. Exercice 1 : Polynômes d'interpolation de Lagrange. Soient n +1 points x0x1
Exercices dentraınement : Eléments de réponse
FIN DE LA CORRECTION. 6. Page 7. Th`eme - 2 Interpolation de Lagrange : Rappel sur la méthode de Newton. Soit donnés une fonction f de classe Cn+1 et n + 1
Corrigé du TD 1 :Interpolation Polynomiale
Exercice 2. Soit f(x) = lnx x ∈ R+. 1. Pour estimer la valeur de ln(0.60) par la méthode de Lagrange
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
Département de mathématiques. 2019-2020. L2 Maths UE d'Analyse numérique. Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange. Exercice 1.
Analyse Numérique
Année 2008/2009. Analyse Numérique. Proposition de corrigé du TD 3. EXERCICE 1. Interpolation de Lagrange. Soit x0 x1
Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale
Autrement dit connaissant Pn1.
? ? ?
parcours Mécanique-3`eme année. T.D. de Calcul Scientifique. Corrigé des exercices de la feuille n? 1. Exercice 1 : Polynômes d'interpolation de Lagrange.
Analyse
2 juil. 2010 [3 pt] Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (0 2)
Réponses aux exercices du chapitre 5
a) Obtenir le polynôme de Lagrange passant par les 3 premiers points. Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par :.
Analyse Numérique
3.1.3 Erreur dans l'interpolation de Lagrange . Exercice 1.1 En écrivant un petit programme trouver la capacité et le pas de votre.
Analyse numérique Exercices corrigés - Interpolation polynômiale
Exercice 3. Avec quelle précision peut-on calculer ?115 `a l'aide de l'interpolation de Lagrange si on prend les points : x0 = 100
Corrigé de lexamen du 29 Janvier 2015 Début du corrigé !
29 janv. 2015 On dit que pn est le polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction f aux points ... En effet d'après [BM03
Série dexercices no1/5 Interpolation polynomiale
Exercice 1. Un exemple de polynôme d'interpolation. Soit f : [0 1] ! R une fonction continue. 1. Déteminer le polynôme P1 d'interpolation de Lagrange de f
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
Département de mathématiques 2019-2020 L2 Maths UE d’Analyse numérique Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange Exercice 1 (Identi?cation) On considère xy?R4 donnés par : x= [?2012] et y= [4004] Parmi les poly-nômessuivantslequelestlepolynômed’interpolationPauxpointsxy(justi?ezvotre réponse)? 1 P
Série d’exercices no5/6 Interpolation polynomiale
Qu’en déduisez-vous? L’interpolation de Lagrange P 1 par morceaux fournit-elle une approximation de plus en plus préciseaufuretmesurequel’onaugmentelenombredenœudsd’interpolation? Exercice 6 (Interpolation d’Hermite) (TM) Onconsidèren 1 pointsx iPRdeuxàdeuxdistinctsetfunefonctiondeclasseC1 OnchercheunpolynômeH ntelque H n px iq
Analyse Num´erique Proposition de corrig´e du TD 3 - unicefr
Universit´e de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 Analyse Num´erique Proposition de corrig´e du TD 3 EXERCICE 1 Interpolation de Lagrange Soit x 0 x 1 x n n+1 points distincts a Soit (L i) i=0n n + 1 fonctions de P n v´eri?ant L i(x j) = ? ij Montrer que (L i) i=0n est une base de P
Feuille de TD 1 : Interpolation de Lagrange - univ-toulousefr
Feuille de TD 1 : Interpolation de Lagrange Exercice 1 (Identi?cation) On considère xy?R4 donnés par : x= [?2012] et y= [4004] Parmi les po-lynômessuivantslequelestlepolynômed’interpolationauxpoints xy(justi?ezvotre réponse)? 1 P 1(X) = X4 ?2 3 X 3 ?3X2 + 8 3 X 2 P 2(X) = 4 3 X 2 ?4 3 3 P 3(X) = 1 3 X 3 +X2
Interpolation polynomiale 1 Interpolation de Lagrange
1 3 Estimation de l’erreur dans l’interpolation de Lagrange Avant de donner une estimation de l’erreur nous allons d´emontrer le lemme suivant Lemme 7 – Soit f : [ab] ?? R d´erivable sur [ab] alors si f poss`ede au moins n + 2 z´eros distincts sur [ab] f? poss`ede au moins n+1 z´eros distincts sur [ab]
Searches related to interpolation de lagrange exercice corrigé filetype:pdf
1 En reprenant votre code de l’exercice 1 modi?er les points d’interpolation xi en xi= x(n) j = cos((2j?1)? 2n)pour j ? {1 n} et pour n =101 2 Tracer le polynôme d’interpolation de Lagrange avec ces nouveaux points d’interpolation 3 Qu’observez-vous? Y a-t-il encore le phénomène de Runge? Exercice 3 (Implémentation
Comment calculer la convergence de l’interpolation de Lagrange?
- Convergence de l’interpolatio de Lagrange Soit Lnle polynôme d’interpolation de Lagrange de la fonction f(x)= 1 x? , 1 ? x ? 1, aux n+1points distincts x 0,...,xnde l’intervalle [1,1].
Comment utiliser l’interpolation de Lagrange ?
- La formule ainsi est bien simple, mais il est préférable de la comprendre avant de l’appliquer. Il faut voir l’interpolation de Lagrange comme une somme de sous-polynômes qui s’annulent en tous les points sauf 1, et ce pour chaque point. Puis, il suffira d’ajouter ces polynômes pour former un super-polynôme qui répondra aux attentes.
Comment déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange de degré 2 ?
- Nous allons déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange de degré 2 passant par ces points. La fonction Scilab lagrange.sci permet de déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange. X contient les points d’interpolation et Y les valeurs d’interpolation, P est le polynôme d’interpolation de Lagrange.
Comment calculer l’interpolation polynomiale ?
- On étudie ici l’interpolation polynomiale de type Lagrange. Étant données une suite de (n+1) points et une fonction f, on doit déterminer un polynôme de degré n qui interpole f aux points considérés. Étant donné ( n + 1) points { ( x 0, y 0), ( x 1, y 1), …, ( x n, y n) }. Les ( x i) 0 ? i ? n sont appelés points d’interpolation.
Département de mathématiques 2019-2020
L2 Maths, UE d"Analyse numérique
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de LagrangeExercice 1.(Identification) On considèrex,y?R4donnés par :x= [-2,0,1,2]ety= [4,0,0,4]. Parmi les poly- nômes suivants, lequel est le polynôme d"interpolationPaux pointsx,y(justifiez votre réponse)?1.P1(X) =X4-23
X3-3X2+83
X2.P2(X) =43
X2-433.P3(X) =13
X3+X2-43
X. Correction :On ne demande pas ici de calculer le polynôme mais de l"identifier. On vadonc utiliser la caractérisation équivalente (liée à l"unicité) du polynôme d"interpolation
de Lagrange associé aux pointsx,y:Ppol d"interp. de Lagrange associé àx,y
??(deg(P)63, P(-2) = 4, P(0) = 0, P(1) = 0, P(2) = 4)(1)Il n"y a plus qu"à trouver le polynôme qui satisfait toutes les propriétés de (1) (l"existence
et l"unicité du théorème du cours garantit qu"il existe et est unique). Le polynômeP1 est de degré 4, il est donc éliminé. Le polynômeP2a un terme constant non nul : il ne s"annule pas en0, il est donc éliminé. Reste le polynômeP3, on vérifie qu"il convient, c"est donc lui.Exercice 2.(Existence et unicité)
1. Mon trezqu"il existe une infinité de p olynômesde degré 2 don tle graphe pass epar les points(0,0)et(1,0). Correction :Cherchons les polynômes de degré 2p(x) =ax2+bx+ctels que p(0) = 0etp(1) = 0. Ce qui est équivalent au système linéaire ?c= 0 a+b+c= 0 En le résolvant, on obtientp(x) =ax(x-1)sans condition sura, ce qui correspond bien à une infinité de polynômes de degré 2. 12.Mon trezqu"il n"existe p asde p olynômede degré 2 passan tpar les p oints(0,1),
(1,4),(2,15)et(3,40). Correction :Comme dans la question précédante, on cherchep(x) =ax2+bx+c tels quep(0) = 1,p(1) = 4,p(2) = 15etp(3) = 40. Ce qui est équivalent au système linéaire ???c= 1 a+b+c= 44a+ 2b+c= 15
9a+ 3b+c= 40
En le résolvant, on trouve qu"il n"y a pas de solution, ce qui conclut la question.Exercice 3.(Construction... Malin ou bourrin?)
Remarque : C"est un bon exercice ici, maintenant que vous avez du recul d"essayer les différentes façons de calculer un polynôme d"interpolation. Calculer les polynômes d"interpolation de Lagrange aux points suivants : a.x= [-1,2,3]ety= [4,4,8] Correction :On calcule la base de Lagrange associée àx: L0(X) =112
(X-2)(X-3), L1(X) =-13 (X+1)(X-3), L2(X) =14 (X+1)(X-2) et alorsPa(X) = 4L0(X) + 4L1(X) + 8L2(X). IMPORTANT : Il n"est pas demandé/nécessaire/souhaitable de développer les po- lynômes de la base de Lagrange ni même de développerPa, vous allez ajouter des erreurs et le résultat final sera faux. b.x= [-2,-1,0,1]ety= [0,-2,-4,0] Correction :Ici on voit que le polynôme a 2 racines :-2et1. Cela signifie qu"il peut être factorisé par(X+ 2)(X-1), c"est à dire qu"il existe un polynôme Qtel quePb(X) =Q(X)(X+ 2)(X-1). Comme on sait quedeg(Pb)63, alors nécessairementQest de degré inférieur ou égal à1:Q(X) =aX+b. On cherche maintenantaetben utilisant les autres valeurs : P b(-1) =-2, Pb(0) =-4 ce qui équivaut à ?-2(-a+b) =-2 -2b=-4 ce qui donneb= 2, a= 1soitPb(X) = (X+ 2)2(X-1). Bien sûr, on vérifie a posteriori quePbconvient bien. c.x= [-1,0,1,2]ety= [6,2,0,0] 2 Correction :Ici on procède de la même manière que précédemment en remar- quant que1et2sont racines dePc. On obtient par le même raisonnement que précédemment P c(X) =-(X-2)(X-1). REMARQUE : On peut évidemment calculerPbetPcen calculant les polynômes de degré 3 de la base de Lagrange, mais il n"est pas nécessaire de calculer TOUS les polynômes de la base : seuls les polynômes oùPne s"annule pas sont utiles (en l"occurenceL2etL3pourPb,L1etL2pourPc). d.x= [-1,0,1]ety= [1,0,1] Correction :Ici un simple coup d"oeil permet de constater queX2convient, par unicité, on sait donc quePd(X) =X2. e.x= [-3,-1,2,10]ety= [-3,-1,2,10] Correction :Encore plus simple que précédemment, iciPe(X) =X.Exercice 4.(Utilisation de la caractérisation)
SoitPun polynôme. Montrer que son polynôme d"interpolation aux noeudsxi?R,06i6n, est le reste de la division euclidienne deppar le polynômeπn(x) = (x-
x0)(x-x1)...(x-xn).
Correction :Cet exercice vous démunit en général. Dans ce cas, revenons en à la base : que doit-on démontrer? On doit démontrer que le reste de la division euclidienne deP parπn(appelons-leR, on en reparlera plus tard) est LE polynôme d"interpolation de Paux noeudsxi, i= 1...n, c"est à dire, en utilisant la caractérisation du polynôme d"interpolation : deg(R)6n,?i= 1...n, R(xi) =P(xi). Ca paraît pas mais on a beaucoup avancé en disant ça, car on sait maintenant comment partir!Rappelons maintenant comment est définiR:
deg(R)Pour(x0,...,xn)?Rn+1, on considère la matrice
V(x0,...,xn) =(
(((((((1x0x20... xn01x1x21... xn1...............1xnx2n... xnn)
1.Mon trerque det (V(x0,...,xn)) =?
(i,j),06i1x1-x0x21-x0x1... xn1-x0xn-11...............
1xn-x0x2n-x0xn... xnn-x0xn-1n?
Ainsi, en développant par rapport à la première ligne, on obtient :V(x0,...,xn) =?
1-x0x1(x1-x0)... xn-11(x1-x0)
x n-x0xn(xn-x0)... xn-1n(xn-x0)? ce qui donne, par multi-linéarité :V(x0,...,xn) = (x1-x0)...(xn-x0)?
1xn... xn-1n?
On conclut par récurrence.
2. Soit (y0,...,yn)?Rn+1. Montrer qu"il existe un unique polynômeP?Rntel que P(xi) =yisi et seulement sixi?=xjpour tout(i,j),i?=j. Correction :C"est la preuve qui a été faite en amphi. Je la refais ici. Soit donc(y0,...,yn)?Rn+1, l"existence et l"unicité d"un tel polynôme est équi- valente à l"existence et l"unicité de coefficientsa0,...,antels que (en cherchant un 4 tel polynômePsous la formeP(X) =a0+a1X+···+anXnet en écrivant que pour touti= 0...n, P(xi) =yi) : ???a0+a1x0+a2x20+···+anxn0=y0
a0+a1x1+a2x21+···+anxn1=y1
a0+a1xn+a2x2n+···+anxnn=yn
c"est à dire l"existence et l"unicité d"un vecteur(a0,...,an)?Rn+1tel que (en ré-écrivant le système sous forme matricielleV(x0,...,xn)(a0,...,an)T= (y0,...,yn)T.
Or, d"après ce qui précède,V(x0,...,xn)est inversible si et seulement si lesxi sont deux à deux distincts. On a donc existence et unicité d"un tel polynôme si et seulement si lesxisont deux à deux distincts.Exercice 6.(Construction...)
Calculer le polynômePde degré inférieur ou égal à4tel que :1.P(-2) = 11, P(-1) = 1, P(0) = 1, P(1) = 5, P(2) = 31.
Correction :À moins d"avoir envie de se fader le calcul de l"inverse d"une matrice de Vandermonde de taille 5 ou de calculer les 5 polynômes de la base de Lagrange associée à ces noeuds, le mieux est sans doute ici d"utiliser la base de Newton. On obtient en faisant le tableau des différences diviséesP(X) = 11-10(X+2)+5(X+2)(X+1)+(X+2)(X+1)X+12
(X+2)(X+1)X(X-1).2.P(-1) = 4, P?(-1) =-4, P(0) = 0, P(1) = 0, P?(1) = 0.
Correction :Un exercice un peu différent ici puisqu"il ne s"agit pas d"interpo- lation de Lagrange : on impose aussi des valeurs aux dérivées dePaux noeuds d"interpolation! Quelle idée!! Comme souvent, deux méthodes sont envisageables ici : la méthode "bourrin" et la méthode "malin". La méthode bourrin consiste à chercher le polynôme sous forme indéterminée et écrire les5équations vérifiées par ses coefficients. On obtiendra comme pour l"in- terpolation de Lagrange un système linéaire de taille 5 à résoudre. Courage! Sinon, on remarque que le polynôme que l"on cherche a le bon goût d"avoir une racine simple : 0 et une racine double : 1 (c"est-à-dire quePETP?s"annulent en 1). On sait donc qu"on peut le factoriser parX(X-1)2et on le cherche donc (puisqu"on sait qu"il est de degré inéfrieur ou égal à 4) sous la formeP(X) =X(X-1)2(aX+b).
Il ne reste plus qu"à chercheraetben utilisant les valeurs dePet deP?en-1.On obtient après calcul
?a-b= 13a+ 2b=-1
5 ce qui donnea=45 ,b=-15 et donc finalement,P(X) =15X(X-1)2(4X-1).
Exercice 7.(Base de Lagrange)
Soitx0,...,xn(n+1) réels distincts deux à deux. Pourk? {0,...,n}, on note L k(x) =? j?{0,...,n},j?=kx-xjx k-xj lek-ième polynôme de Lagrange. 1. Mon trerque Lkest un polynôme de degrénvérifiantLk(xi) =δkipour tous k, i? {0,...,n}. 2. En déduire que la famille de p olynômes{Lk}k?{0,...,n}forme une base deRn[X]. Correction :Cet exercice fait l"objet d"une des preuves les plus importantes du cours.Je vous renvoie donc au cours (ou au poly).
Exercice 8.(examen 2016) (Exercice optionnel, pour aller plus loin) Soientx0= 0< x1< ... < xnet des réels donnésyi,06i6n. On considère le polynôme d"interpolation satisfaisantP(x0) =y0, P(-xi) =P(xi) =yi, pourtous16i6n.
1.Mon trerque le p olynômePest pair.
Correction :Cette question est un peu moins classique que le reste du TD, c"est pourquoi cet exercice n"a pas été abordé en TD. Plusieurs d"entre vous m"en ont demandé une correction, la voici. Je la détaille à l"extrême pour en faciliter la compréhension. N"hésitez pas à me contacter pour toute question. Pour simplifier les notations on va noter, pouri= 1...n:x-i=-xi. On a donc alors de l"interpolation avec2n+ 1noeuds :x-i,xipouri= 1...net0. Le polynôme que l"on cherche est donc de degré inférieur ou égal à2n. On rappelle par ailleurs quePn"est pas forcément de degré2n. De plus, le fait d"être de degré pair n"entraine pas quePsoit pair. En effet,P(X) =X2+X+ 1 n"est par exemple ni pair ni impair. Pour être pair,Pdoit être une somme de polynômes pair (qui sont eux même des sommes ou produits de polynômes pairs) :P(-X) =P(X).
On propose de commencer par se faire une idée de ce qui se passe ici en commençant par le cas oùn= 1. On a alors trois points :0,x1et-x1. On écrit les 3 polynômes de la base de Lagrange associée à0,-x1,x1. ??L0(X) =-1x
21(X-x1)(X+x1) =-1x
21(X2-x21)
L1(X) =12x21X(X+x1)
L -1(X) =12x21X(X-x1).On a alors :
P(X) =y0L0(X) +y1L1(X) +y-1L-1(X) =y0L0(X) +y1(L1(X) +L-1(X)) 6 puisquey-1=y1. On constate alors queL0est pair et que L1(X) +L-1(X) =12x21X(X+x1+X-x1) =X2x
21est pair.Pest donc finalement la somme de deux polynômes pairs. Il est donc pair. Voyons maintenant ce qui se passe dans le cas généraln>1. On procède de la même façon : on va calculerL0,LketL-kpour chaquek= 1...n.
Étape 1 : calcul deL0:
L0(X) =?
n? i=1X-xi-xi?? n? i=1X-x-i-x-i? =n? i=1(X-xi)(X-x-i)x i.x-i=n? i=1(X-xi)(X+xi)-x2i. Où on a utilisé le fait quex-i=-xi. On a finalement : L0(X) =n?
i=1(X2-x2i)-x2iqui est donc pair. Étape 2 : calcul deLketL-k, pourk? {1...n}fixé : L k(X) =( (n? i=1,i?=kX-xix k-xi) n? i=1X-x-ix k-x-i? (n? i=1,i?=kX-xix k-xi) n? i=1X+xix k+xi? On isole alors le termei=kdans le 2ème produit (qui correspond au termei=-k du polynôme) et on regroupe les autres termes dans le même produit : L k(X) =X+xk2xk( (n? i=1,i?=k(X-xi)(X+xi)(xk-xi)(xk+xi)) =X+xk2xkn i=1,i?=kX2-x2ix
2k-x2i.
Il est alors clair que
L -k(X) =X-xk-2xkn i=1,i?=kX2-x2ix
2k-x2i.
Étape 3 : calcul deP:
quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14[PDF] interpolation de lagrange python
[PDF] interpolation entre deux valeurs
[PDF] interpolation et approximation polynomiale
[PDF] interpolation formule
[PDF] interpolation graphique
[PDF] interpolation image
[PDF] interpolation lagrangienne
[PDF] interpolation linéaire casio graph 35+
[PDF] interpolation linéaire en ligne
[PDF] interpolation linéaire statistique
[PDF] interpolation linéaire taux d'intérêt
[PDF] interpolation logarithmique
[PDF] interpolation mathématique
[PDF] interpolation matlab pdf