[PDF] Interpolation En Matlab/Octave on peut

View - Download Interpolation

Previous PDF

Next PDF

InterpolationProf. Alfio Quarteroni

Interpolation - p. 1/51

Exemples et motivationsExemple 1.On consid`ere un test m´ecanique pour ´etablir le lien entre contrainte (MPa= 100N/cm2) et d´eformations relatives (cm/cm) d"un ´echantillon de tissu biologique (disque intervert´ebral, selon P. Komarek, Ch.

2 deBiomechanics of Clinical Aspects of Biomedicine, 1993, J. Valenta ed.,

Elsevier).

Interpolation - p. 2/51

testi contrainteσ d´eformation? 1 0.00 0.00 2 0.06 0.08 3 0.14 0.14 4 0.25 0.20 5 0.31 0.23 6 0.47 0.25 7 0.60 0.28 8 0.70 0.29 A partir des ces donn´ees, on veut estimer la d´eformation correspondante `a un effortσ= 0.9 MPa.

Interpolation - p. 3/51

A travers la m´ethode des moindres carr´es on obtient que la droite qui approche mieux ces donn´ees estp(x) = 0.3938x-0.0629. On peut utiliser cette droite (ditede r´egression) pour estimer?lorsqueσ= 0.9 MPa: on trouvep(0.9)?0.4. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.2

00.20.40.60.8

valeur estim´ee pourσ= 0.9

Interpolation - p. 4/51

Exemple 2.La population de la Suisse dans les ann´ees 1900 `a 2000 est recens´ee comme il suit (en milliers),

ann´ee 1900 1910 1920 1930 1941 1950population 3315 3753 3880 4066 4266 4715ann´ee 1960 1970 1980 1990 2000population 5429 6270 6366 6874 7288

Peut-on estimer le nombre d"habitants de la Suisse pendant les ann´ees o`u il n"y a pas eu de recensement, par exemple en 1945 et en 1975? Peut-on envisager un mod`ele pour pr´edire la population dela Suisse en 2010?

Interpolation - p. 5/51

Le polynˆome de degr´e deux (parabole) qui approche ces donn´ees au sens des moindres carr´es estp(x) = 0.19x2-710.29x+ 657218.92. 1900
1920
1940
1960
1980
2000

3000400050006000700080009000

année population en milliers

Population de la Suisse au cours des années

valeurs mesurées valeurs estimées par interpolation

Interpolation - p. 6/51

Exemple 3.Les points dans la figure suivante repr´esentent les mesuresdu d´ebit du sang dans une section de l"art`ere carotide pendant un battement cardiaque. La fr´equence d"acquisition de donn´ees est constante et ´egale `a

10/T o`u T=1 sec. est la p´eriode du battement.

On veut d´eduire de ce signal discret un signal continu repr´esent´e par une combinaison lin´eaire de fonctions connues (par exemple defonctions trigonom´etriques, cette repr´esentation est adapt´ee a notre probl`eme parce que la fonction obtenue va bien approximer un signal p´eriodique). 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -50510152025303540

Interpolation - p. 7/51

Soitf(t) le signal dont on connaˆıtN= 10 ´echantillons [f(t0),...,f(tN-1)], avectj=jT/N. On cherche{ck} ?C,k?[0,N-1]?Ntels que: f(tj) =1

NN-1Xk=0c

kω-kj

N, j= 0,...,N-1,(1)

o`u

N=e(-2πi)/N= cos(2π/N)-isin(2π/N),

´etantil"unit´e imaginaire. On peut calculer le vecteur des coefficients c= [c1,...,c10]Tpar l"algorithme F.F.T. (Fast Fourier Transform, Cooley et Tuckey, 1965), impl´ement´e dans Matlab/Octave avec la commandefft.

Interpolation - p. 8/51

A partir de l"expression (1), il y a plusieurs techniques pour reconstruire la valeur defdans chaque pointt?[0,T]. Une fois que l"on a reconstruit la fonction, on peut la repr´esenter sur un graphe comme ceci 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -10-50510152025303540

Interpolation - p. 9/51

Position du problème

(Sec. 3.1 du livre)

Soitn≥0un nombre entier. Etant donnés

n+ 1points distinctsx0,x1,... xn etn+ 1valeursy0,y1,... yn, on cherche un polynômepde degrén , tel que (2) Dans le cas affirmatif, on notep= Πnet on appelleΠnle polynôme d'interpolation aux pointsxj, j= 0,...,n -1 0 1 2 3 4 5 6 -10123456 x0xny 0 y n -1 0 1 2 3 4 5 6 -10123456 x0xny 0 y nΠ n(n= 4)

Interpolation - p. 10/51

Soitf?C0(I)etx0,...,xn?I. Si comme valeursyjon prendyj=f(xj), appelé l' interpolant defaux pointsx0,... xn -1 0 1 2 3 4 5 6 -10123456 x0xnf -1 0 1 2 3 4 5 6 -10123456 x0xnfΠ nf(n= 4)

Interpolation - p. 11/51

Base de Lagrange

(Sec. 3.1.1 du livre) On considère les polynômes?k,k= 0,...,nde degréntels que k(xj) =δjk, k,j= 0,...,n, oùδjk= 1sij=ketδjk= 0sij?=k. Explicitement, on a ?k(x) =nY j=0,j?=k(x-xj) (xk-xj).

Interpolation - p. 12/51

La figure qui suit montre deux polynômes de Lagrange de degrén= 6relatifs aux points d'interpolationsx0=-1,x1=-2/3,...,x5= 2/3, etx6= 1. -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.5

00.511.5

?0(x)?3(x) x 0x 1 x 2x3x 4 x 5x 6

Interpolation - p. 13/51

Exemple 4.Pourn= 2,x0=-1,x1= 0,x2= 1 les polynˆomes de la base de Lagrange sont

0(x) =(x-x1)(x-x2)

(x0-x1)(x0-x2)=1

2x(x-1),

1(x) =(x-x0)(x-x2)

(x1-x0)(x1-x2)=-(x+ 1)(x-1),

2(x) =(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)=1

2x(x+ 1).

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.2

00.20.40.60.811.2

?0?1?2

Interpolation - p. 14/51

Le polynôme d'interpolationΠndes valeursyjaux pointsxj,j= 0,...,n, s'écrit

Πn(x) =nXk=0y

k?k(x), (3) car il vérifieΠn(xj) =Pnk=0yk?k(xj) =yj.

Par conséquent on aura

Πnf(x) =nXk=0f(xk)?k(x).

Interpolation - p. 15/51

On montre maintenant que le polynômeΠnen (3) est le seul polynôme de degréninterpolant les donnéesyiaux noeudsxi. Soit, en effet,Qn(x)un autre polynôme d'interpolation. Alors on a Q n(xj)-Πn(xj) = 0, j= 0,...,n. Donc,Qn(x)-Πn(x)est un polynôme de degrénqui s'annule enn+ 1points distincts; il en suit queQn= Πn, d'où l'unicité du polynôme interpolant.

Interpolation - p. 16/51

Interpolation d'une fonction regulièreTh´eor`eme (Erreur d"interpolation)(voir prop. 3.2 du livre)

Soientx0,x1,...,xn,n+ 1noeudséquirépartisdansI= [a,b]et soit f?Cn+1(I). Alors, on a

4(n+ 1)"

b-a n" n+1 maxx?I|f(n+1)(x)|. (4) On remarque que l'erreur d'interpolation dépend de la dérivéen+1-ième def.

Interpolation - p. 17/51

Exemple 5.Polynˆomes d"interpolation Πifpouri= 1,2,3,6 et f(x) =x+ 1

5sin(x), noeuds ´equir´epartis sur [0,6].

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1.5-1-0.5 00.51

Π1 fΠ

3 f

2 fΠ

6 f f

Interpolation - p. 18/51

Interp. numérique avec Matlab/OctaveEn Matlab/Octave on peut calculer les polynômes d"interpolation en utilisant

les commandespolyfitetpolyval. Voyons plus en détaille comment peut-on utiliser ces commandes. p = polyfit(x,y,n)calcule les coefficients du polynôme de degrénqui interpole les valeursyaux pointsx.

Interpolation - p. 19/51

Exemple A.On veut interpoler les valeursy= [3.38,3.86,3.85,3.59,3.49] aux pointsx= [0,0.25,0.5,0.75,1] par un polynˆome de degr´e 4. Il suffit d"utiliser les commandes Matlab/Octave suivantes: >> x=[0:0.25:1]; % vecteur des points d"interpolation >> y=[3.38 3.86 3.85 3.59 3.49]; % vecteur des valeurs >> p1=polyfit(x,y,4) p1 =

1.8133 -0.1600 -4.5933 3.0500 3.3800

p1est le vecteur des coefficients du polynˆome interpolant:

4(x) = 1.8133x4-0.16x3-4.5933x2+ 3.05x+ 3.38.

Pour calculer le polynˆome de degr´enqui interpole une fonctionfdonn´ee dansn+ 1 points, il faut d"abord construire le vecteuryen ´evaluantfdans les noeudsx.

Interpolation - p. 20/51

Exemple B.Consid´erons le cas suivant:

>> f="cos(x)"; >> x=[0:0.25:1]; >> y=eval(f); >> p=polyfit(x,y,4) p =

0.0362 0.0063 -0.5025 0.0003 1.0000

Remarque 1.Si la dimensionm+1dexetyestm+1> n+1(n´etant le degr´e du polynˆome d"interpolation), la commandepolyfit(x,y,n)retourne le polynˆome interpolant de degr´enau sens des moindres carr´es (voir sec. 3.4 du livre). Dans le cas o`um+ 1 =n+ 1, alors on trouve le polynˆome d"interpolation "standard", puisque dans ce cas les deux co

¨ıncident.

Interpolation - p. 21/51

y = polyval(p,x)calcule les valeursyd"un polynôme de degrén, dont les n+1coefficients sont memorisés dans le vecteurp, aux pointsx, c"est-à-dire:y =p(1)*x.^n+...+p(n)*x + p(n+1). Exemple C.On veut ´evaluer le polynˆome trouv´e dans l"Exemple A dans le pointx= 0.4 et, ensuite, on veut tracer son graphe. On peut utiliser les commandes suivantes: >> x=0.4; >> y=polyval(p1,x) y =

3.9012

>> x=linspace(0,1,100); >> y=polyval(p1,x); >> plot(x,y)

Interpolation - p. 22/51

Exemple 6.On veut interpoler la fonction sin(x) +xsurn= 2,3,4,5,6 noeuds. En Matlab/Octave on peut utiliser la commandepolyfitpour calculer les coefficients du polynˆome interpolant etpolyvalpour ´evaluer un polynˆome dont on connaˆıt les coefficients dans une suite de points. Voil`a les commandes Matlab/Octave : >> f = "sin(x) + x"; >> x=[0:3*pi/100:3*pi]; x_sample=x; >> plot(x,eval(f),"b"); hold on >> for i=2:6 x=linspace(0,3*pi,i); y=eval(f); c=polyfit(x,y,i-1); plot(x_sample,polyval(c,x_sample),"b--") end

Interpolation - p. 23/51

La figure suivante montre les 5 polynˆomes obtenus. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2024681012

Π1f(x),Π3f(x)

2f(x)Π

4f(x)

5f(x)f(x)

Interpolation - p. 24/51

Remarque 2.Seul le fait que

lim n→∞1

4(n+ 1)"

b-a n" n+1 = 0 n"implique pas queEn(f)tend vers z´ero quandn→ ∞.

Exemple 7. (Runge)Soitf(x) =1

1+x2,x?[-5,5]. Si on l"interpole dans

des points ´equir´epartis, au voisinage des extr´emit´es de l"intervalle, l"interpolant pr´esente des oscillations, comme on peut levoir sur la figure.

Interpolation - p. 25/51

Fonction de Runge et oscillations des polynˆomes interpolants dans des points ´equir´epartis. -5 -2.5 0 2.5 5 -0.5

00.511.52

Π10 f (x)

5 f (x)

f(x)

Interpolation - p. 26/51

Remède :Interpolation par intervalles.

Interpolation - p. 27/51

Interpolation par intervalles

(Sec. 3.2 du livre) Soientx0=a < x1<···< xN=bdes points qui divisent l"intervalleI= [a,b] dans une réunion d"intervallesIi= [xi,xi+1]de longueurHoù H=b-a N. abH x ixi+1xi-1 Sur chaque sous-intervalleIion interpolef|Iipar un polynôme de degré 1. Le polynôme par morceaux qu"on obtient est notéΠH1f(x), et on a: Hquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

[PDF] interpolation par spline cubique matlab

[PDF] interpolation polynomiale matlab pdf

[PDF] interpolation sinus

[PDF] interpolation sous matlab

[PDF] interpolation spline cubique

[PDF] interpolation spline cubique exercice corrigé

[PDF] interpolation spline exercices corrigés

[PDF] interpolation trigonométrique

[PDF] interprétation bilan humique

[PDF] interprétation coefficient de corrélation

[PDF] interprétation coefficient de corrélation excel

[PDF] interprétation coefficient de détermination

[PDF] interprétation courbe de croissance

[PDF] interprétation d'un arbre phylogénétique

[PDF] interprétation dun spectre infrarouge