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Suites et séries de fonctions :

exercices corrigés.

1. Suites de fonctions.

2. Lien entre convergences simple et uniforme.

3. Séries de fonctions.

4. Liens entre suites et séries.

5. Approximation uniforme.

Pierre-Jean Hormière

__________

1. Suites de fonctions

Exercice 1

: Etudier la convergence sur R des suites de fonctions : fn(x) = ²11nx+ , gn(x) = ²²1xnx+ , hn(x) = ²1nx nx + , kn(x) = )²(11nx-+ , ln(x) = n.kn(x) .

Solution :

§ f

n(x) ® 1 si x = 0, fn(x) ® 0 sinon. Soit f la fonction limite. La suite (fn) tend en décroissant vers f.

L"étude des variations de f

n - f montre que Mn = sup fn(x) - f(x) = 1, le sup n"étant d"ailleurs pas atteint. Il n"y a donc pas convergence uniforme sur R. Du reste, la fonction limite f est discontinue en 0.

Cependant, la convergence est uniforme sur tout domaine de la forme |x| ³ a, a > 0, car sur un tel

domaine | f n(x) | £ ²11na+, qui tend uniformément vers 0.

Attention

, il n"y a pas convergence uniforme sur R* : une réunion infinie de domaines de convergence uniforme n"est pas un domaine de convergence uniforme.

¨ g

n(x) ® 0, que x soit nul ou pas. L"étude des variations montre que supR | gn(x) | = gn(n1) = n21.

La convergence est uniforme sur R.

© h

n(x) ® 0, que x soit nul ou pas. L"étude des variations montre que supR | hn(x) | = hn(n1) = 21.

Du reste sup

R | hn(x) | = supR |²1xx+| .

Il n"y a pas convergence uniforme sur R, mais sur tout domaine |x| ³ a, a > 0.

ª k

n(x) ® 0. Il n"y a pas convergence uniforme sur R, car supR | kn(x) | = kn(n) = 1.

En fait, les graphes des k

n se déduisent de celui de k0 par translations vers la droite. Mais il y a convergence uniforme sur toute demi-droite ]-¥, A]. · ln(x) ® 0. Il n"y a pas convergence uniforme sur R, car supR | l(x) | = ln(n) = n. Mais il y a convergence uniforme sur toute demi-droite ]-¥, A].

Exercice 2

: Etudier la convergence sur [0, 1] des suites de fonctions : fn(x) = nxnx+1 , gn(x) = nxx+1 , hn(x) = nx+11 . fn(x) = na.( xn - xn+1 ) et gn(x) = f"n(x). 2 fn(x) = n.xn+1.(11+n - 12+n xn ) et gn(x) = n.fn(x). fn(x) = nax.( 1 - nx + | 1 - nx | ) . Quand a-t-on limn ∫ 1

0).(dttfn= ∫

1

0).(limdttfnn ?

Solution partielle :

Etudions la suite f

n(x) = na.( xn - xn+1 ) = na.xn ( 1 - x ) sur [0, 1].

1) Convergence simple

. fn(x) ® 0 si x > 1 par comparaison exp-puissance, et fn(1) = 0.

2) Convergence uniforme

L"étude des variations montre que f

n croit sur [0, 1+nn], décroît sur [1+nn, 1] . M n = max fn(x) = 1+nn a(1 + n1) -n ~ en a1- Il y a convergence uniforme ssi a < 1, convergence dominée ssi a £ 1. Dans tous les cas, il y a convergence uniforme sur tout segment [0, a], 0 < a < 1.

3) Convergence des intégrales

. In = ∫ 1

0).(dxxfn = )2)(1(++nnn

a

® 0 ssi a < 2.

Ainsi, conformément au cours :

convergence uniforme ⇒ convergence dominée ⇒ convergence des intégrales.

Avec Maple :

> f:=(a,n,x)->n^a*x^n*(1-x);p:=(a,n)->plot(f(a,n,x),x=0..1,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12));q:=a- q(0.5);q(1);q(1.5); 3

Exercice 3

: Etudier la convergence sur [0, 1] des suites fn(x) =

331²2²1

n nxnxn++- et ∫ 1

0).(dxxfn.

Solution :

1) Convergence simple

: Fixons x > 0 ; fn(x) ~ ².13xn tend vers 0. Et fn(0) = 3/11nn+ aussi.

2) Convergence uniforme

. fn(x) = ]1)²1.[(163nnxn+- croît sur [0, n1], décroît sur [n1, 1]. M n = max fn(x) = n3, donc il n"y a pas convergence uniforme vers 0.

Les pics sont situés sur la courbe y = 1/x

3 . Il n"y a pas non plus convergence dominée, car la suite || f n ||¥ est non bornée. En revanche, il y a convergence uniforme vers 0 sur tout segment [a, 1], a > 0.

3) Convergence des intégrales

∫dxxfn).( = ∫]1)²1.[(63nnxndx = Arctan( n3x - n2 ) (chgt. de variable x - n1 = 3nu) d"où 1

0).(dxxfn = Arctan( n3 - n2 ) + Arctan n2 ® p .

Ce résultat illustre les théorèmes de convergence uniforme et dominée des intégrales sur les segments :

lorsque les hypothèses ne sont pas remplies, la conclusion peut ne pas être vérifiée. Plus généralement, si g est une fonction réglée [0, 1] ® C, alors 1

0).()(dxxgxfn ® p g(0+).

Cela peut se montrer de diverses façons : découpe à la Chasles, changement de variable et

convergence dominée, intégration par parties si g est C 1...

4) Avec Maple

> with(plots): f:=(n,x)->1/(n^3*x^2-2*n^2*x+n+1/n^3): p:=n->plot(f(n,x),x=0..1,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12),thickness=2): display([seq(p(n),n=2..6)]); 4 > int(f(n,x),x);J:=n->int(f(n,x),x=0..1):J(n);limit(J(n),n=infinity); ( )arctan- + n2n3x + ( )arctan- + n2n3( )arctann2 p Exercice 4 : Étudier la convergence de la suite de fonctions fn(x) = na x.e-nx sur R+ .

Solution :

1) Convergence simple

. Fixons x ³ 0. Si x = 0, fn(0) = 0.

Si x > 0 , f

n(x) tend vers 0 par comparaison exponentielle-puissance.

En conclusion, la suite (

fn) tend simplement vers la fonction 0.

2) Convergence uniforme

f n"(x) = na ( 1 - nx ).e-nx , donc fn est croissante sur [0, 1/n], décroissante sur [1/n, +¥[. M n = max fn(x) = en 1-a . Il y a convergence uniforme ssi Mn ® 0, i.e. ssi 0 £ a < 1.

Les pics

(n1,en

1-a) sont tous situés sur la courbe y = ex

a-1

3) Dans tous les cas

, la suite (fn) tend uniformément vers 0 sur chaque demi-droite [a, +¥[, (a > 0). En effet, si a est fixé, à partir d"un certain rang, 1/n £ a et "x ³ a 0 £ f n(x) £ fn(a) ® 0.

4) Suites d"intégrales

La suite I

n = ∫

0).(dxxfn = na-2∫

0.duueu = na-2 tend vers 0 ssi a < 2.

La suite J

n = ∫ 1

0).(dxxfn = na-2∫

-nuduue0. ~ na-2 tend vers 0 ssi a < 2.

Ce dernier résultat illustre le cours sur l"intégration sur un segment : les convergences uniforme et

dominée ne sont que des conditions suffisantes assurant lim n®+¥ ∫ 1

0).(dxxfn = ∫+¥®1

0).(limdxxfnn.

5) Maple

illustre la discussion menée en 2). > with(plots): f:=(n,a,x)->n^a*x*exp(-n*x): p:=(n,a)->plot(f(n,a,x),x=0..4,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12),thickness=2): g(0.5);g(1);g(2); 5

Remarque : L"enveloppe de la famille de fonctions fl(x) = la x e-lx est la courbe y = (ea)a x1-a .

On l"obtient en intersectant y = f

l(x) et l l

Exercice 5 : Étudier les suites de fonctions fn(x) = e-nx.sin(x) et gn(x) = e-nx.sin(nx) sur R+ .

Solution : Ces deux exercices sont ici réunis car ce sont de faux amis.

1) Les deux suites convergent simplement vers 0

6

En effet fn(0) = gn(0) = 0. Et si x > 0, (fn(x)) et (gn(x)) tendent vers 0, comme produit de (e-nx) par une

suite constante ou bornée.

2) La suite

(gn) ne tend pas uniformément vers 0. En effet, gn(n1) = e-1.sin 1 ne tend pas vers 0.

Plus sérieusement, g

n(x) = g1(nx) et Mn = supx ³ 0 | gn(x) | = supx ³ 0 | g1(x) |, car, lorsque x décrit R+, nx aussi. La suite (M n) est constante, et non nulle.

Géométriquement, le graphe de g

n se déduit de celui de g1 par l"affinité d"axe Oy et de direction Ox, de rapport 1/n. Cette affinité ne modifie pas la norme infinie.

Mais g

n tend uniformément vers 0 sur toute demi-droite [a, +¥[, a > 0, car |gn(x)| £ e-na pour x ³ a.

3) La suite

(fn) tend uniformément vers 0, Ce n"est pas immédiat à montrer car l"étude des variations de f n n"est pas facile. 1

ère méthode : "x ³ 0 | fn(x) | £ x.e-nx £ ne1 ® 0 , par étude des variations de x.e-nx.

2 ème méthode : On a la double majoration "x ³ 0 | fn(x) | £ e-nx et | fn(x) | £ x. Fixons e > 0. Pour tout 0 £ x £ e et tout n, | f n(x) | £ x £ e.

Choisissons n

0 tel que, pour tout n ³ n0 , e-ne £ e. Alors, pour tout x ³ e tout n ³ n0, | fn(x) | £ e-ne £ e.

Ainsi, pour tout n ³ n

0 et tout x ³ 0, | fn(x) | £ e.

3

ème méthode : étude des variations de fn. C"est une sinusoïde amortie par une exponentielle.

Tout d"abord | f

n(x + p) | = e-np | fn(x) | £ | fn(x) |.

Donc M

n = sup x ³ 0 | fn(x) | = sup 0 £ x £ p | fn(x) | . f

n"(x) = (cos x - n.sin x) e-nx = 1²+n(sin an .cos x - cos an .sin x ) e-nx = 1²+nsin(an - x).e-nx ,

où a n = Arctan n1. Il en résulte que : M n = fn(an) = sin( Arctann1).e-n.arctan1/n = 1²1 +ne-n.arctan1/n ~ ne1.

La suite (M

n) tend vers 0, donc il y a convergence uniforme.

4) Maple visualise bien cette étude.

with(plots):

Exercice 6 : Soit f : R+ ® R une fonction continue, non nulle, telle que f(0) = limx®+¥ f(x) = 0.

1) Etudier la convergence simple et uniforme des suites fn(x) = f(nx) et gn(x) = f(nx).

2) Domaines de convergence uniforme.

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3) Etudier la convergence des suites (n1fn) , (n1gn) et (fn.gn).

Solution : 1) Convergences simple et uniforme.

La suite (f

n) tend simplement vers 0 car f(0) = limx®+¥ f(x) = 0.

La suite (g

n) tend simplement vers 0, car f(0) = 0 et f est continue en 0.

Aucune des convergences n"est uniforme car sup

x ³ 0 |f(nx)| = sup x ³ 0 |f(x/n)| = sup x ³ 0 |f(x)| > 0.

2) Domaines de convergence uniforme

La suite (f

n) tend uniformément vers 0 sur toute demi-droite [a, +¥[, a > 0.

En effet, sup

x ³ a | f(nx) | = sup y ³ na | f(y) | ® 0 quand n ® +¥.

La suite (g

n) tend uniformément vers 0 sur tout segment [0, A], A > 0.

En effet, sup

0 £ x £ A | f(x/n) | = sup 0 £ y £ A/n | f(y) | ® 0 quand n ® +¥.

3) La fonction f est bornée sur R

+. On en déduit que (n1fn) et (n1gn) tendent uniformément vers 0.

Montrons que

(fn.gn) tend uniformément vers 0.

Il suffit de noter que, g

n étant bornée, (fn.gn) tend vers 0 uniformément sur toute demi-droite [a, +¥[, a > 0. De même, f n étant bornée, (fn.gn) tend vers 0 uniformément sur tout segment [0, A], A > 0.

4) Avec Maple

f :=x->2*x/(1+x^2) ;F :=(n,x)->f(n*x) ;G :=(n,x)->f(x/n) ; display([h,seq(p(n),n=1..8)]); display([h,seq(q(n),n=1..10)]); display([seq(r(n),n=1..10)]);

Exercice 7

: Étudier la suite de fonctions fn(x) = n.xn sin(px) sur [0, 1]. [ Tuloup et Oral Mines 1989 ]quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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