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IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Mathematiques pour les Sciences de la Vie

Analyse {

Etude de fonctions

Automne 2011

Resp : S. Mousset

Universite Claude Bernard Lyon I { France

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Table des matieres

1Introduction

2Generalites

3Limites

4Derivation

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Vos enseignants de CM

Sylvain Mousset

Analyse (Seq 2)Marc Bailly-Bechet

Probas & Stat (Seq 2)Dominique Allaine

Seq 3

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Organisation du Cours

1

Etude de fonctions.2Integration

3 Equations dierentielleshttp://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Methode d'etude d'une fonction

1Domaine de denition.

2Parite / Periodicite

3 Etude des variations sur un intervalle approprieDerivation Etude des limites aux bornes de l'intervalleTableau de variation (avec limites et extrema).

4Points d'in

exion (eventuellement).

5Asymptotes obliques (eventuellement).

6Representation graphique

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Table des matieres

1Introduction

2Generalites

3Limites

4Derivation

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

DenitionsPlan detaille

2Generalites

Denitions

Operations sur les fonctions

Parite, periodicite

Variations d'une fonction

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

DenitionsIntervalle

aetbdeux reels distincts,a [a;b[=fx2Rja6xIntroductionGeneralitesLimitesDerivation DenitionsVoisinage d'un reelaDenition :a2R, on appelle\voisinage dea"un intervalle ouvert contenanta.

Exemple :8a2R;8" >0, l'intervalle]a";a+"[

est un voisinage dea.http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

DenitionsFonction reelle d'une variable reelle

Denition : Une fonction reellefd'une variable reelle est une transformation qui a tout elementxd'une partie (domaine)DRfait correspondre ununique element deR

Notation :f:D!R

x7!f(x) Dest le\domaine de denition def".http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

DenitionsDomaine de denition

Denition : Le domaine de denitionDfd'une

fonctionfest l'ensemble des reelsxpour lesquels il existe une image dexpar la fonctionf. D f=fx2Rj9!y2R;y=f(x)g

Exemple :

f:x7!r1 x1 D f=fx2Rjx1>0g

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

DenitionsImage du domaine de denition

Denition : L'image du domaine de denitionDfpar

une fonctionf, noteef(Df)est l'ensemble des reels ypour lesquels il existe au moins un antecedent dex par la fonctionf. f(Df) =fy2Rj9x2Df;y=f(x)g

Exemple :

f:x7!r1 x1 D f=]1;+1[ f(Df) =]0;+1[http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

DenitionsGraphe d'une fonction

Le graphe d'une fonctionfdans un repere cartesien(Ox;Oy)est l'ensemble des points de coordonnees(x;f(x))avecx2Df.f:x7!r1 x102468 0 2 4 6 8 x f (x)http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Operations sur les fonctionsPlan detaille

2Generalites

Denitions

Operations sur les fonctions

Parite, periodicite

Variations d'une fonction

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Operations sur les fonctionsOperations

fetgdeux fonctions reelles denies surDgetDf.Produit :(fg)(x) =f(x)g(x) D fg=Df\DgSomme :(f+g)(x) =f(x) +g(x) D f+g=Df\DgInverse : 1f (x) =1f(x) D 1f =fx2Dfjf(x)6= 0gComposition :(fg)(x) =f(g(x)) D

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Operations sur les fonctionsOperations

fetgdeux fonctions reelles denies surDgetDf.Quotient : fg (x) =f(x)g(x) D fg =fx2(Df\Dg)jg(x)6= 0gMultiplication par un reel :82R;(f)(x) =f(x) D f=Df(f)(x) =f(x) D

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Operations sur les fonctionsFonction reciproque

fune fonction reelle denie surItelle quef(I) =Jfadmet une fonction reciproque s'il existe une fonctiong:J!Itelle que fg=IdIetgf=IdJ.gest noteef1

Exemple :

f:x7!r1 x1 f

1:y7!1 +1y

202468

0 2 4 6 8 x f (x) f f

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Parite, periodicitePlan detaille

2Generalites

Denitions

Operations sur les fonctions

Parite, periodicite

Variations d'une fonction

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Parite, periodiciteParite : fonction paire

Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle.festpairesi et seulement si8x2Df,(x)2Df8x2Df,f(x) =f(x)

Exemple :f(x) =x2-4-2024

0 5 10 15 x

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Parite, periodiciteParite : fonction impaire

Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle.festimpairesi et seulement si8x2Df,(x)2Df8x2Df,f(x) =f(x)

Exemple :f(x) =x3-4-2024

-60 -40 -20 0 20 40
60
x

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Parite, periodicitePeriodicite

Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle.festperiodique de periodepsi et seulement si8x2Df,(x+p)2Df8x2Df,f(x+p) =f(x)

Exemple :f(x) = cosxest paire

et periodique de periode2-6-4-20246 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 x

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Variations d'une fonctionPlan detaille

2Generalites

Denitions

Operations sur les fonctions

Parite, periodicite

Variations d'une fonction

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Variations d'une fonctionFonction croissante

Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle.festcroissante surIDfsi et seulement si8(a;b)2I2;aIDfsi et seulement si8(a;b)2I2;a f(a)Exemple :f(x) =x2est strictement croissante sur[0;5[.012345 0 5 10 15 20 25
x

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Variations d'une fonctionfonction decroissante

Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle.festdecroissante surIDfsi et seulement si8(a;b)2I2;af(b). feststrictement decroissante sur

IDfsi et seulement si8(a;b)2I2;a f(a)>f(b).

Exemple :f(x) =x2est

strictement croissante sur[5;0[.-5-4-3-2-10 0 5 10 15 20 25
x

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Variations d'une fonctionTaux d'accroissement

Soitf:Df!Rune fonction reelle d'une variable reelle. Soit (a;b)2D2f;aExemple : Le taux

d'accroissement def(x) =x2est

3entre1et2.01234

0 1 2 3 4 x x^2 D y D

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Table des matieres

1Introduction

2Generalites

3Limites

4Derivation

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Limites nieslPlan detaille

3Limites

Limites nieslLimites innies

Operations sur les limites et formes indeterminees

Limites connues

Limites par comparaison

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Limites nieslLimite nie ena(ena+)Soitfune fonction denie sur un domaineDfR, eta2R. fadmet une limite niel2Ra gauche enasi et seulement sia2Dfouaest une borne deDf.Lorsquex!a,f(x)!l

Mathematiquement, ces conditions

s'ecrivent

8" >0;9 >0;

(x2]a;a[)f(x)2[l";l+"])

On note alors

lim x!af(x) =l-2.0-1.5-1.0-0.50.0 -4 -2 0 2 4 x x 2 sin 100
x

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Limites nieslLimite nie enaSoitfune fonction denie sur un domaineDfR, eta2R. fadmet une limite niel2Renasi et seulement siSia2Df, limx!af(x) = limx!a+f(x) =f(a) =l.Sia=2Df, limx!af(x) = limx!a+f(x) =l.

On peut prolongerfpar continuite

en ecrivantf(a) =l.

On note alors

lim x!af(x) =l-1.0-0.50.00.51.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 x x 2 sin 100
x

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Limites nieslLimite nie en+1(ou1)Soitfune fonction denie sur un domaineDfR. fadmet une limite niel2Ren+1si et seulement siLorsquex!+1,f(x)!l

Mathematiquement, ceci s'ecrit

8" >0;92R;

(x2];+1[)f(x)2[l";l+"])

On note alors

lim x!+1f(x) =l050100150 0.5 1.0 1.5 x exp x 20 sin x

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Limites nieslContinuite

Soitfune fonction denie sur un domaineDfR.fest continue ena2Dfsi et seulement silimx!af(x) =f(a)fest continue surIDfsi et seulement si

8a2I;limx!af(x) =f(a).-2-1012

-3 -2 -1 0 1 2 3

La fonction partie entière

x E x )Exemple :x7!E(x)est continue sur les intervalle [n;n+ 1[;n2Z, mais discontinue pour toutn2Z.http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Limites nieslProprietes des fonctions continues

En general, prouver la continuite d'une fonction quelconque est complexe. La plupart du temps, on utilise les proprietes sur la continuite de fonctions usuelles continues.Somme de fonctions continues. Exemplex7!1x +x2Produit de fonctions continues. Exemplex7!1x

exQuotient de fonctions continues. Exemplex7!tanx=sinxcosxComposition de fonctions continues. Exemplex7!ecos(x)http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Limites inniesPlan detaille

3Limites

Limites nieslLimites innies

Operations sur les limites et formes indeterminees

Limites connues

Limites par comparaison

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Limites inniesLimite innie ena(ena+)Soitfune fonction denie sur un domaineDfR, eta2R. fadmet pour limite+1a gauche enasi et seulement siLorsquex!a,f(x)!+1

Mathematiquement, cette condition

s'ecrit

8y>0;9 >0;

(x2]a;a[)f(x)2[y;+1[)

On note alors

lim x!af(x) = +1-2.0-1.5-1.0-0.50.0 0 2 4 6 8 10 x 1

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Limites inniesLimite innie enaSoitfune fonction denie sur un domaineDfR, eta2R. fadmet pour limite+1enasi et seulement silim x!af(x) = limx!a+f(x) = +1

On note alors

lim x!af(x) = +1-2-1012 0 2 4 6 8 10 x 1

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Limites inniesLimite innie en+1(ou1)Soitfune fonction denie sur un domaineDfR fadmet pour limite+1en+1si et seulement sif(x)!+1lorsquex!+1

Mathematiquement, cette condition

s'ecrit

8y>0;9x02R;

(x2[x0;+1[)f(x)2[y;+1[)

On note alors

lim x!+1f(x) = +1020406080100 0 2000
4000
6000
8000
10000
x x

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Limites inniesMeez-vous de vos calculatrices

Exemple : La fonctionx7!xsin(ln(x))n'admet pas de limite en +1.02004006008001000 -200 0 200
400
600
x x sin log x

0e+002e+044e+046e+048e+041e+05

-80000 -60000 -40000 -20000 0 x x sin log x

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Operations sur les limites et formes indetermineesPlan detaille

3Limites

Limites nieslLimites innies

Operations sur les limites et formes indeterminees

Limites connues

Limites par comparaison

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Operations sur les limites et formes indetermineeslim x!af(x) limx!ag(x)lim x!a(f+g)(x) limx!a(fg)(x) limx!afg (x) limx!agf(x)6= 06= 0+ limx!g(x)

6= 0 00F.I.0

limx!g(x)

6= 011 10 limx!g(x)06= 00 0 limx!0g(x)

0 00 0F.I.00

limx!0g(x)

011F.I.0 10 limx!0g(x)16= 01 1 1limx!1g(x)

101F.I0 1F.I.10

limx!1g(x)

1 1F.I.1 1 1F.I.11

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Operations sur les limites et formes indetermineesFormes indeterminees 0 00

0 1 1 111

IntroductionGeneralitesLimitesDerivation

Operations sur les limites et formes indetermineesF.I. 0 Soientfetgdeux fonctions continues telles quelimx!af(x) =6= 0 etlimx!ag(x) = 0

On cherchelimx!a

fg (x).Cas oulimx!ag(x) = 0+oulimx!ag(x) = 0.

Alorslimx!afg

(x) =1

Exemple :limx!01x

2= +1.

Etudier les limites a gauche et a droite.

Exemple :limx!01x

=1.

Eventuellement, limite non denie.

Exemple :limx!01xsin1x

n'existe pas.http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/MathSV-B

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Operations sur les limites et formes indetermineesF.I. 0 Soientfetgdeux fonctions continues telles quelimx!af(x) =6= 0 etlimx!ag(x) = 0quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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