La proposition II.2.1 du cours sur lintérieur et ladhérence
Définition 1 Soient (E T ) un espace topologique
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que A n'est ni ouvert ni fermé. Déterminer l'adhérence A de A. Indication ?. Correction ?. [002620]. 1
Intérieur et adhérence
10 juil. 2014 Déterminer l'adhérence et l'intérieur de l'ensemble Dn(C) des matrices diagonalisables de Mn(C). Exercice 13 [ 03026 ] [correction].
MA3002 2012-13 Corrigé du devoir maison n°1
Pour chacun des ensembles suivants déterminer l'adhérence l'intérieur et la fronti`ere et préciser s'il est ouvert ou fermé ou ni l'un ni l'autre :.
Intérieur extérieur
adhérence d'une partie de R Limite et
Exercices de licence
Exercice 12 Déterminer l'adhérence et l'intérieur des ensembles suivants : Q ; RQ ; {(x y) ? R. 2 / 0 <x< 1
Math Analyse III automne 2019 Feuille 2 : Topologie de Rn et
déterminer si A est : ouvert fermé
1.2 Intérieuradhérence
Pour A ? X on définit l'intérieur de A
Caractérisation et modélisation de ladhérence dans les
18 avr. 2017 peut déterminer la contrainte de cisaillement. Cet essai est normalisé ISO 11 003-1 : 2001. D'après. Cognard [50] tout comme pour l'essai butt ...
Compléments dAnalyse : Topologie de R
Exercice 6. Parmi les sous-ensembles de R suivants lesquels sont ouverts ? fermés ? compacts ? Déterminer leur adhérence et leur intérieur. X1 = [?1
Déterminer l'adhérence d'un ensemble — l'adhérence de
EXERCICE1 Dans cet exercice on suppose que Rnest muni de la norme euclidienne que l’on note k:k 1 Questions de cours (a)Donner les de?nitions de partie ouverte et de partie ferm´ ee ´ (b)Donner les de?nitions d’int´ erieur d’adh´ ´erence et de fronti ere d’une partie A de` Rn 2
Intérieur et adhérence - Puissance Maths
Déterminer l’adhérence et l’intérieur de l’ensembleDn(C)des matricesdiagonalisables deMn(C) Exercice 13[ 03026 ][correction] SoitAune partie d’un espace norméE Montrer que la partieAest fermée si et seulement si FrA?A Montrer que la partieAest ouverte si et seulement siA?FrA=? Exercice 14 [ 03470 ][correction] DansM2(C) on introduit
Quelle est la valeur de l'adhérence?
La valeur de l'adhérence varie beaucoup par le fait qu'elle est tributaire en particulier : • De la pollution des rails, • De l. er et l'état humidité optimal dans le béton de support avant réparation; • de caractériser l'effet de la carbonatation sur l'adhérence. 2.
Comment calculer l'indice de référence?
L'indice de référence, chaque année, sera celui du mois de juillet de l'année précédente. Pour la première révision, l'indice de base sera celui du mois de juillet 1999. La révision du loyer au 1er janvier de l'année N sera calculée sur la variation de l'indice BT01 de juillet de l'année N-1 sur celui de l'année N-2.
Comment mesurer l'adhérence d'un revêtement?
Ces essais ont pour but de vérifier que l'accrochage d'un revêtement à base de liants hydrauliques ou de résines de synthèse sur son support est suffisant. L'adhérence est mesurée par des essais de laboratoire selon les normes suivantes :
Comment calculer l'adhérence?
D'un point de vue géométrique, il y a adhérence tant que la force de contact reste dans un cône de demi-angle au sommet ? 0, appelé angle d'adhérence, défini par ? 0 = arctan (ƒ 0) = arctan (? 0 ). Ceci fournit un critère géométrique à la condition d'adhérence.
Exercices de licence
Les exercices sont de :
Corn´elia Drutu (alg`ebre et th´eorie des nombres)Volker Mayer (topologie, analyse r´eelle)
Leonid Potyagailo (alg`ebre et g´eom´etrie)
Martine Queff´elec (analyse r´eelle, analyse complexe)Les sujets d"examens sont de :
Anne-Marie Chollet (variable complexe : VC)
Gijs Tuynman (analyse r´eelle et complexe : AR et ARC)Table des mati`eres2Table des mati`eres
I Topologie4
1 Notions de topologie I4
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Topologie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Notions de topologie II8
2.1 Topologie s´epar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Topologie induite, topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Fonctions continues surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Comparaison de topologies et de m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Suites, limites et valeurs d"adh´erence, points d"accumulation et points isol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Notions de topologie III15
3.1 Hom´eomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Dualit´e, isom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Prolongement de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 M´etrique de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Connexit´e18
4.1 Connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Compacit´e21
5.1 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Compacit´e dans les espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Analyse r´eelle 27
6 Applications lin´eaires born´ees27
6.1 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 Formes lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7 Espaces m´etriques complets, Banach29
7.1 Espaces m´etriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Espaces norm´es, Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8 Th´eor`eme du point fixe32
9 Applications uniform´ement continues34
9.1 Applications uniform´ement continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2´Equicontinuit´e, th´eor`eme d"Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10 Applications diff´erentiables37
10.1 Applications diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11 Th´eor`eme d"inversion locale et des fonctions implicites 41
11.1 Th´eor`emes d"inversion; diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.2 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.3 Sous-vari´et´es deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
12 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur, formule de Taylor, extremums 46
12.1 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12.3 Formule de Taylor, extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13 Equations diff´erentielles48
13.1 Equations diff´erentielles : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.2 Solutions maximales d"´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
13.3 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13.4 Syst`emes `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13.5 R´esolvantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III Alg`ebre et g´eom´etrie 57
Table des mati`eres314 G´en´eralit´es sur les groupes5715 Groupes et actions59
16 Isom´etries euclidiennes60
17 G´eom´etrie diff´erentielle ´el´ementaire deRn62
18 G´eom´etrie et trigonom´etrie sph´erique62
19 Le groupe orthogonal et les quaternions63
20 G´eom´etrie projective I64
21 G´eom´etrie projective II : homographies deCP164
21.1 Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
21.2 Propri´et´es des homographies deCP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
22 G´eom´etrie et trigonom´etrie hyperbolique66
IV Analyse complexe 67
23 S´eries enti`eres67
24 Fonctions holomorphes69
25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances71
26 Formule de Cauchy73
27 Cons´equences de la formule de Cauchy76
28 Singularit´es80
29 Int´egrales curvilignes82
30 Th´eor`eme des r´esidus84
31 Fonctions Zeta et autres...86
31.1 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
31.2 Transformations deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
V Alg`ebre et th´eorie des nombres 89
32 Groupes89
33 Sous-groupes, morphismes91
34 Groupes finis93
35 Anneaux, corps95
36 Polynˆomes97
37 Extension de corps99
38 Extension d"anneau100
VI Sujets d"examens 101
39 Examen AR janvier 1994101
40 Examen AR juin 1994102
41 Examen AR septembre 1994103
42 Examen AR janvier 1995104
43 Examen AR juin 1995105
44 Examen AR septembre 1995106
45 Examen AR juin 1996107
46 Examen ARC d´ecembre 1998108
1 Notions de topologie I447 Examen ARC janvier 1999110
48 Examen ARC septembre 1999111
49 Examen ARC novembre 1999112
50 Examen ARC janvier 2000114
51 Examen ARC septembre 2000115
52 Examen ARC d´ecembre 2000116
53 Examen ARC janvier 2001117
54 Examen ARC septembre 2001118
55 Examen VC janvier 96119
56 Examen VC avril 96120
57 Examen VC juin 96121
58 Examen VC septembre 96123
59 Examen VC janvier 98125
VII Corrections 127
Premi`ere partie
Topologie
1 Notions de topologie I
1.1 Rappels
Exercice 11. Rappeler les d´efinitions d"une borne sup´erieure (inf´erieure) d"un ensemble de nombres r´eels.
SiAetBsont deux ensembles born´es deR, comparer avec supA, infA, supBet infBles nombres suivants : (i) sup(A+B), (ii) sup(A?B), (iii) sup(A∩B), (iv) inf(A?B), (v) inf(A∩B).2. Pourx?RnetA?Rnon d´efinitd(x,A) = infa?A||x-a||. Trouverd(0,R-Q),d(⎷2,Q),d(M,D) o`u
M= (x,y,z)?R3etDest la droite de vecteur unitaire (a,b,c).3. PourA,B?Rnon d´efinitd(A,B) = infa?A,b?B||a-b||. Trouverd(A,B) lorsqueAest une branche de
l"hyperbole{(x,y)?R2;xy= 1}etBune asymptote.4. On d´efinit diamA= supa,b?A||a-b||. Quel est diam([0,1]∩Q)? diam([0,1]∩R-Q)?
Exercice 2Montrer que tout ouvert deRest union d´enombrable d"intervalles ouverts deux `a deux disjoints.
(Indication :six?Oouvert, consid´ererJx=?des intervalles ouverts,?Oet?x). D´ecrire de mˆeme les
ouverts deRn.Exercice 3On va montrer que l"ensembleDdes r´eels de la formep+q⎷2 o`upetqd´ecriventZ, est dense
dansR.1. Remarquer queDest stable par addition et multiplication.
2. Posonsu=⎷2-1; montrer que pour tousa < b, on peut trouvern?1 tel que 0< un< b-a, puism
v´erifianta < mun< b.En d´eduire le r´esultat.
1.2 Topologie g´en´erale
Exercice 41. SoitX={0,1}muni de la famille d"ouverts{∅,{0},X}. Cette topologie est-elle s´epar´ee?
2. SoitXun ensemble non vide. D´ecrire la topologie dont les singletons forment une base d"ouverts.
1 Notions de topologie I53. D´ecrire la topologie surRdont la famille des intervalles ferm´es forme une base d"ouverts; mˆeme question
avec les intervalles ouverts sym´etriques.4. SoitXun ensemble infini. Montrer que la famille d"ensembles constitu´ee de l"ensemble vide et des parties
deXde compl´ementaire fini d´efinit une topologie surX. Exercice 5SoitXun espace topologique, etfune application quelconque deXdans un ensembleY. On ditqu"une partieAdeYest ouverte, sif-1(A) est un ouvert deX. V´erifier qu"on a d´efini ainsi une topologie sur
Y.Exercice 6Montrer qu"on peut construire surR? {∞}une topologie s´epar´ee en prenant comme ouverts, les
ouverts deRet les ensembles de la forme{x/|x|> a} ? {∞}o`uaest r´eel. Comment construire une topologie
s´epar´ee surR? {+∞} ? {-∞}?Exercice 7SoitXun ensemble non vide et Σ une famille de parties deXstable par intersection finie et
contenantX. Montrer que la plus petite topologieTcontenant Σ (la topologie engendr´ee par Σ) est constitu´ee
des unions d"ensembles de Σ, ou, de fa¸con ´equivalente,A? T ?? ?x?A?S?Σ ;x?S?A.
Montrer que l"on peut affaiblir l"hypoth`ese de stabilit´e par intersection finie en : (?)?S1,S2?Σ,?x?S1∩S2,?S3?Σ ;x?S3?S1∩S2.Exercice 8SoitCl"ensemble des fonctions continues r´eelles sur [0,1]. Pour toutef?Cetε >0 on d´efinit
M(f,ε) ={g/?
1 0 |f-g|< ε}.Montrer que la famille M des ensemblesM(f,ε) lorsquef?Cetε >0 est une base de topologie. Mˆeme
question avec la familleU(f,ε) ={g/sup
x|f(x)-g(x)|< ε}.Exercice 9UdansNest dit ouvert s"il est stable par divisibilit´e, c.a.d. tout diviseur den?Uest encore dans
U. Montrer qu"on a d´efini ainsi une topologie surNqui n"est pas la topologie discr`ete. Exercice 10On consid`ere dansN?, la famille de progressions arithm´etiques P a,b={a+bn/n?N?}, o`uaetbsont deux entiers premiers entre eux.1. Montrer que l"intersection de deux telles progressions est soit vide, soit une progression arithm´etique de
mˆeme nature, plus pr´ecis´ement, P a,b∩Pa?,b?=Pα,β o`uαest le minimum de l"ensemblePa,b∩Pa?,b?, etβ= ppcm (b,b?).2. En d´eduire que cette famille d"ensembles (en y adjoignant∅) forme une base de topologie surN?dont on
d´ecrira les ouverts.3. Montrer que cette topologie est s´epar´ee.
1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere
Exercice 111. Montrer que siBest un ouvert de l"espace topologiqueXetA∩B=∅, alorsA∩B=∅,
mais queA∩Bn"est pas n´ecessairement vide.2. Montrer `a l"aide d"exemples que l"´egalit´e?iAi=?iAin"a pas lieu en g´en´eral pour une infinit´e d"indices.
Exercice 12D´eterminer l"adh´erence et l"int´erieur des ensembles suivants : Q;R\Q;{(x,y)?R2/0< x <1,y= 0};{(x,y,z)?R3/ x= 0} {1n,n?1}; le cercle unit´e deR2. Exercice 13SiAest une partie de l"espace topologiqueX, on poseα(A) =◦Aetβ(A) =◦A.1. Montrer queαetβsont des applications croissantes pour l"inclusion deP(X) dansP(X).
2. Montrer que siAest ouvert,A?α(A) et siAest ferm´e,β(A)?A. En d´eduire queα2=αetβ2=β.
1 Notions de topologie I63. ConstruireA?Rtel que les cinq ensembles :
A,A,◦A,α(A),β(A) soient tous distincts. Exercice 14D´eterminer l"adh´erence dansR2du grapheG={(x,y)/y= sin1x,0< x?1}.
Exercice 15Dans un espace topologique, on d´efinit la fronti`ere d"une partieAcomme ´etant∂A=A\◦A.
1. Montrer que∂A=∂(Ac) et queA=∂A??Aferm´e d"int´erieur vide.
2. Montrer que∂(A) et∂(◦A) sont toutes deux incluses dans∂A, et donner un exemple o`u ces inclusions sont
strictes.3. Montrer que∂(A?B)?∂A?∂B, et que l"inclusion peut ˆetre stricte; montrer qu"il y a ´egalit´e lorsqueA∩B=∅(´etablir◦A?B?◦A?◦B).
Montrer que
◦A?B=◦A?◦Breste vrai lorsque∂A∩∂B=∅(raisonner par l"absurde). Exercice 161. SoitXun espace topologique, etDun sous-ensemble (partout) dense dansX. Montrer qu"il est aussi ´equivalent de dire (i) Le compl´ementaire deDest d"int´erieur vide. (ii) SiFest un ferm´e contenantD, alorsF=X. (iii)Drencontre tout ouvert non vide deX. Montrer qu"un ensembleA?Xrencontre toute partie dense dansXsi et seulement si il est d"int´erieur non vide.2. SoitEetGdeux ouverts denses dansX; montrer queE∩Gest encore dense dansX. En d´eduire que
toute intersection d´enombrable d"ouverts denses est une intersection d´ecroissante d"ouverts denses.
Exercice 17Etablir les propri´et´es suivantes de l"adh´erence d"un ensemble dans un espace topologique :
1.A=A2. SiA?BalorsA?B.
3.A?B=A?B
Montrer que la formuleA∩B=A∩Bn"est pas vraie en g´en´eral; montrer que 3. n"est pas vrai en g´en´eral pour
une infinit´e d"ensembles. Exercice 18Etablir l"´equivalence entre les propri´et´es suivantes : 1. ◦Aest le plus grand ouvert contenu dansA.2.a?◦Asi et seulement si il existe un voisinage deaenti`erement contenu dansA.
Etablir pour l"int´erieur d"un ensemble des propri´et´es analogues `a celles de l"exercice 17.
Exercice 19On rappelle la construction de l"ensemble triadique de Cantor : on part du segment [0,1] dont on
supprime l"intervalle m´edian ]13,23[; `a la deuxi`eme ´etape, on supprime les intervalles ]19,29[ et ]79,89[ etc. On note
Knla r´eunion des intervalles restants `a lan-i`eme ´etape, etK=?Kn.Quelle est l"adh´erence et l"int´erieur de
K? Exercice 20SoitXun espace topologique, etDun sous-ensemble dense dansX. Montrer qu"il est aussi´equivalent de dire
1. Le compl´ementaire deDest d"int´erieur vide.
2. SiFest un ferm´e contenantD, alorsF=X.
3.Drencontre tout ouvert deX.
Montrer qu"un ensembleA?Xrencontre toute partie dense dansXsi et seulement si il est d"int´erieur non
vide. Exercice 21SoitEetGdeux ouverts denses dansX; montrer queE∩Gest encore dense dansX.Exercice 22Soitfune application deRdansRtelle que pour touta >0, l"ensemble desxv´erifiant|f(x)|> a
est fini. Montrer que{x/f(x) = 0}est dense dansR. Le v´erifier sur l"exemple suivant : on ´enum`ere les rationnels
r1,r2,r3,···,rn,···et on posef(rn) =1nsin?1,f(x) = 0 ailleurs.
Exercice 23Montrer que{⎷n-E(⎷n),n?1}est dense dans [0,1], o`uE(x) d´esigne la partie enti`ere dex.
1 Notions de topologie I71.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es
Exercice 241. Montrer que dans tout espace m´etrique (E,d) une boule ferm´ee est un ferm´e, mais que
l"adh´erence d"une boule ouverteB(a,r) ne coincide pas n´ecessairement avec la boule ferm´eeB?(a,r) (on
pourra consid´erer dans (R2,||.||∞),E= [0,1]× {0} ? {0} ×[0,1] et la boule centr´ee en (12,0) de rayon
1/2).2. Montrer que la famille des boules ouvertes de (E,d) v´erifie la condition (?) de l"exercice 7.
Exercice 25(E,||.||) un evn.
1. Montrer que dans ce cas la boule ferm´eeB?(a,r) est l"adh´erence de la boule ouverteB(a,r).
2. Montrer queB(a,r)?B(b,R)??r?Ret||a-b||?R-r.
Exercice 261. Si (x,y)?R2, on pose||(x,y)||= max(|x+y|,|x-2y|). Montrer qu"il s"agit d"une norme surR2et dessiner sa boule unit´e ferm´ee.2. Soitp,qdeux normes surRn,BpetBqleurs boules unit´es ferm´ees. Montrer que
B q?Bp??p?q.Que signifie
12Bp?Bq?2Bp? Exemples.
Exercice 27SoitEun ensemble non vide, etX=ENl"ensemble des suitesx= (xn) d"´el´ements deE. Pour
x,y?X, on posep(x,y) = min{n/xn?=yn}six?=y, et∞six=y.1. Montrer qued(x,y) =1p(x,y)(avec1∞= 0) est une distance surXqui v´erifie l"in´egalit´e ultram´etrique
d(x,z)?max(d(x,y),d(y,z)).2. Quelles sont les boules ouvertes et les boules ferm´ees pour cette m´etrique?
Exercice 281. Soit||.||une norme surRnetKsa boule unit´e ferm´ee. Montrer que (i)Kest sym´etrique, (ii)Kest convexe, ferm´e, born´e, (iii) 0 est un point int´erieur `aK.2. R´eciproquement, montrer que siKposs`ede les trois propri´et´es ci-dessus, il existe une norme dontKsoit
la boule unit´e ferm´ee, en consid´erant p(x) = inf{a >0 ;xa?K}. [Exercice corrig´e]Exercice 29On noteX=l∞l"espace des suites r´eelles born´ees, etY=c0l"espace des suites r´eelles tendant
vers 0, tous deux munis de la m´etrique (`a v´erifier)d(x,y) = supn|x(n)-y(n)|. Montrer queYest ferm´e dans
X. Montrer que l"ensemble des suites nulles `a partir d"un certain rang est dense dansYmais pas dansX.
Exercice 30SoitE={f?C1([0,1],R) ;f(0) = 0}. On pose ||f||= sup0?x?1|f(x) +f?(x)|,etN(f) = sup
0?x?1|f(x)|+ sup
0?x?1|f?(x)|.
Montrer que ce sont deux normes ´equivalentes surE. Exercice 31Montrer que dans un espace norm´e, la boule unit´e est convexe.R´eciproquement, supposons que l"espace vectoriel soit muni d"une applicationNdeEdansR+telle queN(λx) =
|λ|N(x), et telle que{y/N(y)?1}soit convexe. Montrer queN(x+y)?2sup(N(x),N(y)), x,y?E.
Exercice 32On consid`ere dansR2, les deux applications n((x,y)) = sup t?[0,1]|x+ty|, m((x,y)) =? 1 0 |x+ty|dt.2 Notions de topologie II81. Montrer quenetmd´efinissent deux normes surR2.
2. Dessiner les boules unit´es ferm´ees associ´ees, et trouver des constantes effectivesA,B, telles queA n((x,y))?
m((x,y))?B n((x,y)) pour tout (x,y)?R2.Exercice 331. On consid`ere dansR2les 4 boules euclidiennes ferm´ees de rayon 1 centr´ees aux points
(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1);Aleur r´eunion contient 0 comme point int´erieur. Trouver le rayon de la plus
grande boule ouverte centr´ee en 0 et contenue dansA.2. On se pose plus g´en´eralement le probl`eme dansRn:Ad´esigne l"union?jB(ej,1)?jB(-ej,1) o`u (ej) est
la base canonique deRn. Montrer quex?Asi et seulement si?x?22?2?x?∞. En d´eduire que le rayon
de la plus grande boule ouverte centr´ee en 0 et contenue dansAest2⎷n.Exercice 34SoitNun entier?1, etE, l"espace des polynˆomes trigonom´etriquespde degr´e?N,p(t) =?N
-Nckexp(ikt). On pose, pourp?E,?p?∞= supt?[0,2π]|p(t)|, et?p?=?N -N|ck|. Montrer, `a l"aide de l"identit´e de Parseval, que ces deux normes v´erifient ?p?∞??p??⎷2N+ 1?p?∞.2 Notions de topologie II
2.1 Topologie s´epar´ee
Exercice 35 (Espace quasi-s´epar´e)Soit (X,T) un espace topologique.quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30[PDF] exercices corrigés point d accumulation
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