Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts fermés
Ouvert ? En d'autres termes si x € existe-il une boule ouverte (équivalent un voisinage
Normes boules
fermés.
Feuille dexercices N. 1 : Topologie sur Rn
L'ensemble {(x y) ? R2 : x + 3y2 ? 1} est ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 4. 1. Montrer que toute boule ouverte (fermée) est un ouvert (fermé).
TD 2. Ouverts et fermés applications continues
https://webusers.imj-prg.fr/~patrick.polo/2M216/216-TD2x-2018.pdf
I. Ouverts fermés
L'ensemble {1/n n ? N?} n'est ni ouvert ni fermé dans R. 7. Si F est un sous-espace vectoriel de Rn contenant une boule ouverte
Correction du contrôle continu N 1
La note totale de l'exercice sera 0 au minimum. Q1 : Il existe un espace métrique contenant 15 ouverts et 17 fermés. NON. Un ensemble O est ouvert ssi son
topologie-des-espaces-normés.pdf
L'ensemble F est-il ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 12 [ 03021 ] [Correction]. Soient E un espace vectoriel normé F un sous-espace fermé de E et G un.
Feuille 4 : Topologie dans Rn
Exercice 1. Parmi les ensembles suivants lesquels sont ouverts
Feuille dexercices N. 1 : Topologie sur Rd
L'ensemble {(x y) ? R2 : x + 3y2 ? 1} est ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 4. 1. Montrer que toute boule ouverte (fermée) est un ouvert (fermé).
Topologie
L'ensemble F est-il ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 13 [ 03021 ] [correction]. Soient E un espace vectoriel normé F un sous-espace fermé de E et G un.
RESUME DU COURS DE MATHEMATIQUES - Unisciel
Feuille d’exercices n o4 Topologie des espaces vectoriels norm ´es I Ouverts ferm´es Exercice 1 Montrer en utilisant la d´e?nition d’un ouvert et d’un ferm´e que : 1 Tout ouvert de Rn est une r´eunion de boules ouvertes 2 L’ensemble ] ab [ a
Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques Espaces
X(0;1) est un ouvert non vide de X(en particulier il n’est pas d’intérieur vide) Exercice 2 (Compacts de R) On munit R de sa métrique usuelle dé?nie par la valeur absolue 1 On veut montrer que tout intervalle fermé borné [a;b] ˆR est compact On considère donc un recouvre-ment de [a;b] par une famille (U i) i2Id’ouverts de R
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Exercice 2 Montrer que tout ouvert de R est union dénombrable d’intervalles ouverts deux à deux disjoints (Indication : si x 2O ouvert considérer J x qui est l’union des intervalles ouverts inclus dans O et contenant x) Énoncer un résultat similaire pour les ouverts de Rn Indication H Correction H [002341] Exercice 3
Quelle est la différence entre ouvert et fermé?
Propriétés : Une réunion d’ouverts est un ouvert. Une intersection d’un nombre fini d’ouverts est un ouvert. Partie fermée (ou fermé) Une partie D de est un fermé de si son complémentaire D est un ouvert.
Comment montrer qu'un ensemble est fermé ?
Précisément, pour montrer que X est fermé, il suffit de montrer que toute suite (xn) d'éléments de X qui converge (donc qui a une limite ? ? E) a sa limite dans X 2. B) On montre que X est une intersection (quelconque) de parties fermées ou une union finie de fermés . Comment montrer qu'un ensemble n'est pas borné ?
Comment savoir si un intervalle est ouvert ou fermé?
•Si I est un intervalle ouvert de , alors ( )?1f I est un ouvert de 2. •Si I est un intervalle fermé de , alors ( )?1f I est un fermé de 2.
Comment organiser une journée portes ouvertes à la ferme?
La première date à fixer est celle de la journée portes ouvertes à la ferme. Il faut éviter de l’organiser le même jour qu’un événement majeur risquant de diminuer la fréquentation. Pour une meilleure organisation, il vaut mieux s’y prendre longtemps à l’avance (6 mois avant).
Past day
Maths III PMI - Analyse
Feuille d"exercices no4
Topologie des espaces vectoriels norm
´es
I. Ouverts, ferm´es
Exercice 1.Montrer en utilisant la d´efinition d"un ouvert et d"un ferm´e que:1. Tout ouvert deR
nest une r´eunion de boules ouvertes.2. L"ensemble ]a,b[,a < best ouvert dansR.
3. L"ensemble [a,b],a < best ferm´e dansR.
4. L"ensemble [a,b[,a < bn"est ni ouvert ni ferm´e dansR.
5. L"ensemble{1/n, n?N
?} ? {0}est ferm´e dansR.6. L"ensemble{1/n, n?N
?}n"est ni ouvert ni ferm´e dansR.7. SiFest un sous-espace vectoriel deR
ncontenant une boule ouverte, alorsF=Rn.Exercice 2.D´eterminer si les ensembles suivants sont ouverts, ferm´es, ni ouverts ni ferm´es.
1. L"intervalle dansR
2:{(x,y)?R2|1< x <3,y= 0.}
2. Le cercle unitaire :{(x,y)?R
2|x2+y2= 1.}
3. Le disque :{(x,y)?R
Exercice 3.SoitEun espace vectoriel norm´e. On fixex0?Fet on d´efinit
f:E?-→E u-→x 0+u1. Montrer que siU?Eest une partie ouverte, alorsf(U) est aussi une partie ouverte deE.
2. Montrer que siF?Eest une partie ferm´ee, alorsf(F) est aussi une partie ferm´ee deE.
Exercice 4.
1. Montrer que si{U
I? i=1Uiest un ouvert deRn.
2. D´eterminer
n?N?]-1/n,1/n[ et en d´eduire que le r´esultat pr´ec´edent ne se g´en´eralise pas lorsque l"on consid`ere
une famille infinie d"ouverts.3. Enoncer (et d´emontrer) les r´esultats analogues `a ceux qui pr´ec`edent concernant l"union de familles de ferm´es.
1 Exercice 5.D´emontrer queZest une partie ferm´ee deR:1. en observant que son compl´ementaire est ouvert,
2. par la caract´erisation s´equentielle des parties ferm´ees.
Exercice 6.SoitEun espace vectoriel norm´e. D´emontrer que l"int´erieur d"une boule ferm´ee est la boule ouverte
de mˆeme rayon. Exercice 7.Soit (E,? ?) un espace vectoriel norm´e. Pour une partieXdeE, on noteX ◦l"int´erieur deX. SoientA,Bdeux parties deE.
1. On suppose queA?B. Montrer queA
◦?B◦.2. Comparer les ensembles (A∩B)
◦etA◦∩B◦, puis les ensembles (A?B)◦etA◦?B◦.Exercice 8.D´eterminer l"int´erieur des ensembles suivants. D´eterminer ´egalement s"ils sont ouverts, ferm´es, ni
ouverts ni ferm´es.A={(x,y,z)?R
B={( 1 n,1 m)?R2|n,m?N?},Exercice 9. Voisinage
SoitPun point deR
n. En g´en´eral on dit qu"une fonctionfv´erifie une certaine propri´et´e dans un voisinage deP
si cette propri´et´e est satisfaite au moins dans un ensemble ouvertcontenantP.1. Etablir si les fonctionsf:R→Rsuivantes sontpositivesau voisinage de l"origine :
f(x) =? sin(1/x), x?= 01, x= 0, g(x) =?
1 +xsin(1/x), x?= 0
1, x= 0.
2. Etablir si les fonctionsf:R
2→Rsuivantes sontd´efiniesau voisinage de l"origine :
f(x,y) =⎷ x+y, f(x,y) = ln(cos(x2+y2)).II. Compacts
Exercice 10.SoitEun espace vectoriel norm´e. SoientAetBdes parties deE. On d´efinitA+B={a+b|(a,b)?
A×B}.
1. Montrer que siAest compact etBferm´e dansEalorsA+Best ferm´e dansE.
2. Montrer que siAetBsont compactes alorsA+Bl"est aussi.
3. SoientA=R× {0}etB={(x,y)?R
2|xy= 1}. Montrer queAetBsont des ferm´es deR2mais que
A+Bn"en est pas un.
Exercice 11.Soit (E,?.?) un espace vectoriel norm´e etX?Eune partie compacte. Montrer que toute partie
ferm´ee deXest elle-mˆeme compacte. 2quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] exercice topologie ouvert fermé
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