Chapitre V : Coefficients de corrélation et tests
Le test de corrélation de Pearson teste les hypothèses : (H0)Cor(XY ) = 0 (H1)Cor(X
Introduction du logiciel libre de statistiques : R et R commander (La
5 sept. 2011 intéressés R et surtout le package R commander. ... Test de corrélation . ... ANNEXE : Test statistique de base et R commander .
R Commander : Petit guide pratique 1. Statistiques de base
La corrélation avec le r de Bravais-Pearson (correlation with Pearson's r). Calcul du test t de Student pour sous-groupes appariés .
Test de corrélation simple Et test de Normalité
La corrélation est donc définie par le sens et l'intensité de la liaison des 2 variables. ? Corrélation positive (0 < r < 1) : relation proportionnelle. ?
Chapitre 3 Etude de la liaison entre deux variables Analyse
La statistique utilisée pour le test est le coe cient de corrélation linéaire empirique noté R. Exemple 1 : Sa valeur observée sur l'échantillon tiré au
2.4.3 Le coefficient de corrélation multiple (ou coefficient de
2.4.5 Ajout d'une ou de plusieurs variables (complément sur les tests). r=0.0. D. Question 2: Comment décririez-vous la corrélation observée en C?
La corrélation linéaire Tests visant à mettre en évidence une
5 déc. 2019 Le test de corrélation linéaire de Pearson. Le test de corrélation de ... r est un indicateur unidirectionnel de l'allongement du nuage.
Tests statistiques paramétriques : Puissance taille de et et taille d
17 févr. 2006 Le test statistique est basé sur le coefficient de corrélation linéaire r calculé sur l'échantillon. On définit alors la statistique de ...
Annexe : Table du coefficient de corrélation
Page 1. Annexe : Table du coefficient de corrélation. (Schwartz Lazar et Papoz
Cours 12 : Corrélation et régression
Test sur le coefficient de corrélation de Pearson. Dans le cas où r = -1 la relation est toujours vraie
Test de corrélation entre deux variables - Documentation
Objectifdutest SoientX etY deuxvariablesaléatoiresquantitativescontinues Ondisposededeuxéchantillons: X 1 X n i i demêmeloiqueX etY 1 Y n i i
R-Commander : Notions du chapitre 1 Statistiques descriptives
fenêtre graphique ) En cliquant sur le bouton droit de la souris on peut copier comme vectoriel et coller dans un fichier doc On peut sauvegarder le graphique sous différents formats ( pdf ps eps jpg png) en retournant dans la fenêtre principale de R-Commander dans le menu Graphes-Sauver le graphe 4
What Is The Pearson Correlation coefficient?
The Pearson correlation coefficient (r) is the most widely used correlation coefficient and is known by many names: 1. Pearson’s r 2. Bivariate correlation 3. Pearson product-moment correlation coefficient (PPMCC) 4. The correlation coefficient The Pearson correlation coefficient is a descriptive statistic, meaning that it summarizes the characteri...
Visualizing The Pearson Correlation Coefficient
Another way to think of the Pearson correlation coefficient (r) is as a measure of how close the observations are to a line of best fit. The Pearson correlation coefficient also tells you whether the slope of the line of best fit is negative or positive. When the slope is negative,r is negative. When the slope is positive, ris positive. When ris 1 ...
When to Use The Pearson Correlation Coefficient
The Pearson correlation coefficient (r) is one of several correlation coefficients that you need to choose between when you want to measure a correlation. The Pearson correlation coefficient is a good choice when all of the following are true: 1. Both variables are quantitative: You will need to use a different method if either of the variables is ...
Calculating The Pearson Correlation Coefficient
Below is a formula for calculating the Pearson correlation coefficient (r): The formula is easy to use when you follow the step-by-step guide below. You can also use software such as R or Excel to calculate the Pearson correlation coefficient for you.
Testing For The Significance of The Pearson Correlation Coefficient
The Pearson correlation coefficient can also be used to test whether the relationship between two variables is significant. The Pearson correlation of the sample is r. It is an estimate of rho (?), the Pearson correlation of the population. Knowing r and n (the sample size), we can infer whether ? is significantly different from 0. 1. Null hypothes...
Qu'est-ce que le test de corrélation ?
Le test de corrélation est utilisé pour évaluer une association ( dépendance) entre deux variables. Le calcul du coefficient de corrélation peut être effectué en utilisant différentes méthodes. Il existe la corrélation r de pearson, la corrélation tau de Kendall et le coefficient de corrélation rho de Spearman.
Qu'est-ce que le coefficient de corrélation r?
Le coefficient de corrélation r est un nombre compris entre ?1 et 1. Le voisinage de 1 ou de ?1 indique en principe une bonne corrélation, sans que l'on puisse directement en dire plus. On ne peut conclure à la validité d'une corrélation qu'en fonction du contexte statistique.
Comment calculer les corrélations ?
Une manière de déterminer ces corrélations est de calculer les moments de la distribution de points. On peut utiliser pour cela la méthode des boîtes, (voir le.§ 1.3.3) et définir une mesure dans chaque boîte centrée en x et de coté !. Fig. 1.6.5 Mesure multifractale d’un nuages de points.
Comment calculer le coefficient de corrélation ?
Le calcul du coefficient de corrélation peut être effectué en utilisant différentes méthodes. Il existe la corrélation r de pearson, la corrélation tau de Kendall et le coefficient de corrélation rho de Spearman. Ces méthodes de calcul de corrélation sont décrites dans les sections suivantes.
Chapitre V : Coefficients de corrélation et tests Cours de tests paramétriques
2018-2019
1/40Objectif du test
SoientXetYdeux variables aléatoires quantitativescontinues.On dispose de deux échantillons :X1,...,Xni.i.d e même loi queX
etY1,...,Yni.i.d e même loi queY. Le but de ce chapitre est de :IDéterminer s"il existe une relation entreXetY
I Caractériser la forme de la liaison (positive, négative; linéaire, monotone) IQuantifier l"intensité de la relation
I Tester si la liaison est statistiquement significative Remarque: on ne se place pas ici dans le cadre du modèle de régression linéaire où le but est d"évaluer l"influence d"une variable sur une autre. 2/40Exemple sur des données réelles
La base de données Orange de R contient des informations sur 35 orangers. On s"intéresse aux 2 variables suivantes : I"age" représente l"âge des arbres, c"est une variablequantitative continue. Elle est mesurée en jours, l"arbre le plus
jeune a 118 jours et le plus vieux 1582 jours. I "circumference" représente la circonférence de l"arbre, c"est une variable quantitative continue, mesurée en mm. la plus petite circonférence est de 30 mm et la plus grosse de 214 mm. On s"intéresse au type de liason entre l"âge des arbres et la circonférence des arbres. Y-a-t-il une liaison entre ces deux variables ? Si oui, dans quel sens ? Peut-on quantifier l"intensité de la liaison 3/40Exemple sur des données réelles (suite)
"Circonférence" ))50010001500 50100
150
200
Age
Circonférence4/40
Exemples de liaisons entre deux variables23456
7 8 9 10 11 12 13 (a) x y1234567
10 15 20 (b) x y5/40Exemples (suite)23456
1 2 3 4 5 6 (c) x y0.00.51.01.52.02.53.0
0 5 10 15 20 (d) x y6/40Exemples (suite)0246
0 5001000
1500
(e) x y
1520253035
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 (f) x y7/40Exemples (suite)
I (a)Absence de liaison entreXetY. I (b)Liaison linéaire positive. SiXaugmente alorsYaussi. I (c)Liaison linéaire négative. SiXaugmente alorsYdiminue. I (d)Liaison monotone négative mais non linéaire. SiX augmente alorsYdiminue. I (e)Liaison monotone positive mais non linéaire. SiX augmente alorsYaussi. I (f)Liaison non linéaire et non monotone. 8/40Mesures de la liaison entreXetY
Il existe plusieurs mesures de liaison entre variables quantitatives continues. Nous utiliserons le coefficient de corrélation dePearson et le coefficient deSpearman.Le coefficient de corrélation dePearsonpermet de mesurer le degré d"association pour des liaisons linéaires uniquement. Le coefficient deSpearmanfonctionne également pour des liaisons monotones. 9/40Coefficient de corrélation de Pearson
On rappelle la définition de la covariance entreXetY:Cov(X,Y) =E[(X-E[X])(Y-E[Y])] =E[XY]-E[X]E[Y]
et de la corrélation entreXetY:Cor(X,Y) =Cov(X,Y)?V(X)V(Y)
10/40Coefficient de corrélation de PearsonLa valeur du coefficient de corrélation de Pearson mesure le type de
liaison linéaire entreXetY. I SiCor(X,Y)>0 il y a une liaison linéaire positive entreXet Y. I SiCor(X,Y)<0 il y a une liaison linéaire négative entreXet Y. I SiCor(X,Y) =0 il n"y a pas de liaison linéaire entreXetY. Remarque:X??Y?Cor(X,Y) =0 mais la réciproque est généralement fausse ! On a équivalence si le vecteur(X,Y)est un vecteurgaussien. 11/40 Estimation du coefficient de corrélation de Pearson Le coefficient de corrélationempiriqueest un estimateur deCor(X,Y). Il est défini par :
ˆr=?
ni=1(Xi-¯X)(Yi-¯Y)?? ni=1(Xi-¯X)2?nj=1(Yj-¯Y)2Sous R on trouve :
I (a) ## [1] 0.07343106 12/40 Estimation du coefficient de corrélation de Pearson (suite) I (b) ## [1] 0.9525128 I (c) ## [1] -0.7879123 I (d) ## [1] -0.7631126 13/40 Estimation du coefficient de corrélation de Pearson (suite) I (e) ## [1] 0.6525232 I (f) ## [1] -0.05069953 14/40Lien avec le modèle linéaire
I Le coefficient de corrélation est proportionnel à la pente de la droite des moindres carrés dans le modèle linéaire ! I Le coefficientˆr2s"interprète comme la proportion de variance deYqui est linéairement expliquée parX. Il s"appelle le coeficient dedétermination.Par exemple, pour le cas(b), on peut dire au vue du coefficient decorrélation que la liaison entreXetYest forte. Par ailleurs, R nous
donne le coefficient de détermination suivant : ## [1] 0.9072807 15/40 Limites du coefficient de corrélation de Pearson IDans les exemples(d)et(e)la liaison est monotone mais non linéaire : le coefficient de corrélation donne des indications sur l"existence de liaison entreXetYmais traduit mal son intensité. I Dans l"exemple(f), la liaison n"est n"y monotone ni linéaire : le coefficient de corrélation de Pearson n"est pas adapté ! 16/40Le coefficient de SpearmanLe coefficient de Spearman est un coefficient de corrélation basé sur
lesrangsdes observations. On note, pouri=1,...,n,Rile rang deXiau sein de l"échantillon globalX1,...,XnetSile rang deYi au sein de l"échantillon globalY1,...,Yn Par exemple, pourn=7, si les réalisations deX1,...,X7sont : ## [1] 6 1 8 9 3 7 2 alors, les réalisations deR1,...,R7sont : ## [1] 4 1 6 7 3 5 2 17/40Le coefficient de Spearman (suite)
Le coefficient de Spearman est un coefficient de corrélation dePearson calculé sur les rangs des deux échantillons. On le noteρet
ˆρsa version empirique. On a :
ρ=Cor(R,S)
et ni=1(Ri-¯R)(Si-¯S)?? ni=1(Ri-¯R)2?nj=1(Sj-¯S)2 18/40Le coefficient de Spearman (suite)
Ce coefficient s"interpréte de manière similaire au coefficient de I Siρ >0 il y a une liaisonmonotonepositive entreXetY. I Siρ <0 il y a une liaisonmonotonenégative entreXetY. I Siρ=0 il n"y a pas de liaisonmonotoneentreXetY.Par ailleurs,X??Y?ρ=0.
Par contre,ρ2n"a pas d"interprétation statistique ! 19/40Le coefficient de Spearman (suite)Ce coefficient a donc l"avantage de pouvoir caractériser des liaisons
non linéaires mais monotones.Sous R on trouve :
I (d) ## [1] -0.8596551 I (e) ## [1] 0.8659638 20/40Le coefficient de Spearman (suite)
Le coefficient de Spearman est par ailleursrobusteaux points atypiques. Par contre, il ne permet pas de caractériser une liaison non linéaire et non monotone !Sous R on trouve :
I (f) ## [1] -0.06400384 21/40Test de corrélation de Pearson
Le test de corrélation de Pearson teste les hypothèses : (H0)Cor(X,Y) =0(H1)Cor(X,Y)?=0La statistique de test utilisée est :
T n=ˆr? (1-ˆr2)/(n-2) 22/40Statistique de test dans le cas gausien et région de rejet I Sous(H0), si le vecteur(X,Y)suit une loi normale bivariée alorsTnsuit une loi de Student àn-2 degrés. I La région de rejet s"écrit :Rα={|Tn|>cα}oùcαest le quantile d"ordre 1-α/2 de la loi de Student àn-2 degrés.
L"hypothèse sur la loi de(X,Y)revient à tester l"indépendanceentreXetY. C"est une hypothèse impossible à vérifier en pratique
! On utilisera plutôt la version asymptotique de ce test. 23/40Statistique de test dans le cas asymptotique et région de rejet ISinest suffisament "grand", on peut approximer la statistique de test par une loi gaussienne. Sous(H0),Tnsuit approximativement une loi normale centrée réduite. I La région de rejet s"écrit :Rα={|Tn|>cα}oùcαest le quantile d"ordre 1-α/2 de la loi normale centrée réduite. 24/40
Test de Spearman
Le test de Spearman est un testexactqui teste les hypothèses : (H0)Cor(R,S) =0(H1)Cor(R,S)?=0La statistique de test utilisée est :
T n=ˆρ? (1-ˆρ2)/(n-2)Elle suit une loi de Student àn-2 degrés de liberté sous(H0). Ce résultat est valide sans faire d"hypothèse sur la loi de(X,Y)! Pour ngrand, la statistique de test s"approxime par une loi normale centrée réduite sous(H0). 25/40Retour aux exemples(a): test de Pearson
## Pearson?s product-moment correlation ## data: x1 and y1 ## t = 0.7289, df = 98, p-value = 0.4678 ## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 ## 95 percent confidence interval: ## -0.1247869 0.2660124 ## sample estimates: ## cor ## 0.07343106 26/40Retour aux exemples(a): test de Spearman
## Spearman?s rank correlation rho ## data: x1 and y1 ## S = 151710, p-value = 0.3745 ## alternative hypothesis: true rho is not equal to 0 ## sample estimates: ## rho ## 0.08963696 27/40Retour aux exemples(e): test de Pearson
## Pearson?s product-moment correlation ## data: x5 and y5 ## t = 10.476, df = 148, p-value < 2.2e-16 ## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 ## 95 percent confidence interval: ## 0.5497516 0.7358352 ## sample estimates: ## cor ## 0.6525232 28/40Retour aux exemples(e): test de Spearman
## Spearman?s rank correlation rho ## data: x5 and y5 ## S = 75392, p-value < 2.2e-16 ## alternative hypothesis: true rho is not equal to 0 ## sample estimates: ## rho ## 0.8659638 29/40Retour aux exemples(f): test de Pearson
## Pearson?s product-moment correlation ## data: x6 and y6 ## t = -1.1329, df = 498, p-value = 0.2578 ## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 ## 95 percent confidence interval: ## -0.13777758 0.03715625 ## sample estimates: ## cor ## -0.05069953 30/40Retour aux exemples(f): test de Spearman
## Spearman?s rank correlation rho ## data: x6 and y6 ## S = 22167000, p-value = 0.1529 ## alternative hypothesis: true rho is not equal to 0 ## sample estimates: ## rho ## -0.06400384 31/40Etude de cas : retour sur les données d"orangerquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38
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