[PDF] Problème - Séries de Engel et considérons ? le plus





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Développement dun nombre réel en série de Engel

10. D - LOGARITHMES ET SÉRIES DE ENGEL. Plaçons-nous pour simplifier



Séries de Engel et fractions continuées

ment en série de Engel. Chacun d'eux peut se traduire en terme de produits matriciels produits qui sont à l'origine d'algorithmes



Problème - Séries de Engel

et considérons ? le plus petit indice tel que p q. ?. ?. ? . Quitte à échanger p et q on peut supposer p q. > ?. ? . Notons.



New bounds on the length of finite pierce and Engel series

Pierce and Engel Series. par P. ERDÖS AND J.O. SHALLIT*. ABSTRACT. Every real number x 0 x 1



ENGEL panorama des produits

La série universelle



COUR (PLÉNIÈRE) AFFAIRE ENGEL ET AUTRES c. PAYS-BAS

8 juin 1976 tant qu'elle lui convient.";. (b) "(...) outre les sanctions ordinaires les chefs de l'armée disposent d'une série complète ...



continued fractions and irrationality exponents for modified engel

In addition we construct the continued fraction expansion for an arbitrary rational number added to an. Engel series with the stronger property that x2.



Problème 1 : nombres irrationnels

Partie C : développement en série de Engel et applications. 1. Pour tout entier naturel n. 1 a0 an. ? 0. Donc la série de terme général.



New bounds on the Length of Finite Pierce and Engel Series

Pierce and Engel Series. par P. ERDÖS and J.O. SHALLIT*. ABSTRACT. Every real number x 0 < x < 1



New bounds on the Length of Finite Pierce and Engel Series

Pierce and Engel Series. par P. ERDÖS and J.O. SHALLIT*. ABSTRACT. Every real number x 0 < x < 1



Problème 1 : nombres irrationnels - univ-rennes1fr

5 Déterminer le développement en série de Engel du nombre ch(p 2)2 6 Démontrer que x 2]01] est rationnel si et seulement si la suite (a n) n2N de son développement en série de Engel est stationnaire Pour le sens direct on pourra commencer par procéder à la division euclidienne du dénominateur de x par son numérateur



SÉRIES DE ENGEL - christophebertaultfr

On appelle cette relation un développement de x en série de Engel On montrera plus loin que l’application (an)n?N?? [an]n?Nest également injective sur A i e que : ?(an)n?N(a ? n)n?N? A [an]n?N=[an]n?N =? (an)n?N=(an)n?N Cela prouvera l’unicité du développement en série de Engel 5) On note fn la



Problème - Séries de Engel

n la partie entière de 1 1 y n +? 3 a Justifier que la suite ( )y n est bien définie et que c’est une suite décroissante d’éléments de ]01] 3 b Exprimer x en fonction pp p0 1 n et de y n 3 c Conclure que la fonction f est surjective 4 Soit x un réel de l’intervalle ]01] et p p=( ) n l’unique suite de E telle que



Problème - Séries de Engel

décroissante la suite de terme général a byn n= l’est aussi or c’est là une suite d’entiers naturels elle est donc stationnaire et il en est de même de la suite ( )yn Il en découle que la suite ( )pn définie par (1 )1 p E yn n = + ? est elle aussi stationnaire et l’implication est démontrée



SÉRIES DE ENGEL - christophebertaultfr

Devoir a la maison indications - Series de Engel dvi Created Date: 11/10/2022 10:28:46 AM

CCoorrrreeccttiioonn

d"après problème Ensemble Cachan option économie année 2004. 1.a 1 1 1

01 11 (1 ) 1 (1 )

1 1 1 n nn n k kp pxp p p p+ + =- -= = =- -∑. 1

1nxp→- car 2p≥ donc 1 1p<.

1.b 1 0 11 n n n n x x xp p+ = + ≥... donc ( )nx est croissante. Pour tout n??, 2np≥ donc 1 1

01 11 (1 2)12 2 1 1 2

nn n k k x certain réel

2.a Avec les notations du 1.,

( ) limnnf p x→+∞=. 1 0 0

0 1 0 01 1 1

1 n n nk k k k xp p p p p+ limite, on obtient 0 0

0 0 1 0

1 1 1( )f qq q q q≥ + >

donc ( ) ( )f p f q<.

2.b Supposons

p q≠ et considérons ? le plus petit indice tel que p q≠? ?. Quitte à échanger p et q, on peut

supposer p q>? ?. Notons 00 1n n k k xp p==∑... et 00 1n n k k yp p==∑.... Pour n≥?, on a 0 1 1 1n n k k xp p p p=- ?? ?... ... et 0 1 1 1n n k k yq q q q=- ?? ?... ... avec 0 1 0 10p p q q- -= ≠? ?... .... Comme dans la question 2.a, puisque p q>? ?, on a 1 1lim lim n n n nk kk kp p q q→+∞ →+∞= =<∑ ∑ ? ?? ?... ... donc ( ) ( )f p f q<. Finalement ( ) ( )p q f p f q≠ ? ≠.

3.a Montrons par récurrence sur

n?? la propriété : ( )n=P " ny existe et ]]0,1ny? ». La propriété est bien entendu vraie au rang 0. Supposons la vraie au rang

0n≥.

Par hypothèse de récurrence

ny existe et 0ny> donc (1 1 )n np E y= + existe et par suite 11n n ny p y+= - aussi. Comme donne est établie. De plus, durant la démonstration de celle-ci, on a vu la suite ( )ny. 3.b 1 1 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1n

n n y yyx yp p p p p p p p p p p p p p p p= = + = + + = = + + + +... ?... ....

3.c Considérons

une suite croissante car (1 1 )n np E y= + et que la suite ( )ny est décroissante. Comme

00 0 0

1 1 102

n n n kk n nyxp p p p p p 00 1limn nkk xp p→+∞==∑... autrement dit

( )f p x=. Comme ceci vaut pour tout ]]0,1x?, on conclut que f est surjective (et finalement bijective).

4. On reprend les notations du 1.

( )? Supposons qu"il existe N?? tel que pour tout n N≥, n Np p=. On a alors, pour tout n N≥,

10 0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1n N

nk kN NN xp p p p p p p p pp == + + + +∑?... ... donc

0 0 1 0 1 0 1

1 1 1 1lim( 1)

nn N N N x xp p p p p p p p p p→+∞= = + + + + ?-? ?... .... ( )? Supposons x??. On peut écrire x a b= avec , *a b??. En reprenant les notations du 3., montrons par récurrence qu"on peut écrire n ny a b= avec *na??. Au rang 0, la propriété est vraie et si

elle est vraie au rang n alors 111 ( )n n n n n ny p y p a b b a b++= - = - = avec 1na+ entier qui est

nécessairement strictement positif car

1ny+ l"est. La récurrence est établie. Puisque la suite ( )ny est

décroissante, la suite de terme général n na by= l"est aussi, or c"est là une suite d"entiers naturels, elle est donc stationnaire et il en est de même de la suite ( )ny. Il en découle que la suite ( )np définie par

1(1 )n np E y-= + est elle aussi stationnaire et l"implication est démontrée.

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