[PDF] Les séries numériques — 12 mai 2018 Cours MPSI

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Les s´eries num´eriques

Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

12 mai 2018

Voir la vid´eo de Micka¨el Launay sur YouTube

L"objet de ce chapitre est la d´efinition et l"´etude de la convergence de s´eries num´eriques.

Dans tout ce chapitre, (un) repr´esente une suite num´erique `a valeurs r´eelles ou complexes.

1 Convergence d"une s´erie num´erique

D´efinition 1 :

On appellesuite des sommes partiellesde la suite (un)n?Nla suite (sn)n?Nde terme g´en´eral :sn=n?k=0u

k la suite (sn) est plus simplement not´ee?u net on parle alors de la "s´erie?u n". On dira queunest leterme g´en´eralde la s´erie?u n.

Remarque1.La s´erie?u

npeut aussi ˆetre not´ee? n≥0u nou? n?Nu nou? n≥n0u nsiunn"est d´efini qu"`a partir den0.

D´efinition 2 :Lorsque la s´erie?u

nconverge vers une limites, on note : lasommede la s´erie?u nlereste d"ordrende la s´erie?u n s=+∞?k=0u nrn=s-sn=+∞? k=n+1u ko`urn→0 1 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/

Remarque2.Attention!!

1. Les notations

k=0u net+∞? k=n+1u nn"ont de sens que si l"on a prouv´e la convergence de la s´erie!

2. La notation

?u nrepr´esente la s´erie que celle-ci converge ou pas.

3. Il faudra en particulier ne pas confondre les notations

k=0u net? n?Nu n. Exemple 1.(?) Dans quel cas une s´erie de terme g´en´eralunconstant converge-t-elle? Exemple 2.(?) La s´erie de terme g´en´eralun=1

2nconverge t-elle? Si oui, d´eterminer sa somme.

L"essentiel de ce chapitre est consacr´e `a l"´etude de la nature d"une s´erie!!

Remarque3.Nature d"une s´erie :

1. Lanatured"une s´erie num´erique est le fait qu"elle converge ou diverge.

2. Etudier la nature d"une s´erie num´erique consiste `a ´etudier la convergence de la suite (sn).

3. La nature d"une s´erie ne d´epend pas de ses premiers termes.

4. On dira que deux s´eries sontde mˆeme naturelorsqu"elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux

divergentes. M´ethode 1: Etude de la nature d"une s´erie. On pourra simplement ´etudier la convergence de la suite (sn) des sommes partielles.

Remarque4.Mˆeme si cette premi`ere m´ethode peut s"av´ererint´eressante, nous allons voir dans ce chapitre des m´ethodes

plus effficaces portant simplement sur l"´etude du terme g´en´eralunde la s´erie?un´etudi´ee.

Th´eor`eme 1 :Caract´erisation de la propri´et´e "sont de mˆeme nature"

Soit deux s´eries?unet?vn.

On a :

?unet?vnsont de mˆeme nature??(?unconverge???vnconverge)

Preuve 1 :Imm´ediat.

Exemple 3.(?) Soit (un) et (vn) deux suites telles queun=vn+αnavec?αnqui converge.

Montrer que?unet?vnsont de mˆeme nature.

Proposition 2 :Caract´erisation de la convergence d"une suite complexe

Soit (zn)?CN. Nous avons alors :

z nconverge??? ?Re(zn)?Im(zn)convergentet?????en cas de convergence : +∞?k=0z n=+∞?k=0Re(zn) +i+∞?k=0Im(zn)

Nous allons voir dans ce chapitre des m´ethodes permettant d"´etudier la nature d"une s´erie?u

nen nous int´eressant

uniquement `a son terme g´en´eralunet donc sans avoir a ´etudier l"expression des sommes partielles qui souvent est

complexe et incalculable. 2 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/

1.1 L"exemple des s´eries g´eom´etriques

Th´eor`eme 3 :Soitq?C.

qnconverge?? |q|<1 et dans ce cas :s=+∞?k=0x k=1 1-q.

Preuve 3 :Aucune difficult´e!

Exemple 4.(?) Justifier la convergence et calculer la somme des s´eries :? k≥10(⎷

2)-ket?

k≥1(eπ)k.

Exercice : 1

(?) Lorsque la s´erie?qnconverge, calculer la valeur de son restern.

Exercice : 2

(?) Prouver que les s´eries?cosn2net?sinn2nconvergent et d´eterminer leur somme.

1.2 Condition n´ecessaire de convergence

Th´eor`eme 4 :Pour qu"une s´erie?u

nconverge, il faut n´ecessairement queun?→0.

Preuve 4 :Il suffit de remarquer queun=sn-sn-1.

Remarque5.Lorsqu"une s´eriene v´erifie pas cette condition n´ecessairede convergence,on dit qu"ellediverge grossi`erement.

Exemple 5.(?) Quelle est la nature des s´eries suivantes :?n

1 +net?(1 +1n)n?

Remarque6.

Cette condition n´ecessaire (CN) n"est pas suffisante. Consid´erer pour cela la s´erie? n≥11n.

Exercice : 3

(?) Justifier de deux fa¸cons diff´erentes que la s´erie?(-1)ndiverge.

1.3 Lien entre convergence d"une suite et d"une s´erie t´elescopique

Th´eor`eme 5 :Soit (un) une suite r´eelle.

Alors :

(un) et?(un+1-un) sont de mˆeme nature Preuve 5 :Pas de difficult´e en calculant la somme partielle de?(un+1-un). Exemple 6.(?) Justifier la convergence de la s´erie?1 n(n+ 1).

1.4 Lin´earit´e de la somme

Th´eor`eme 6 :Si?u

net?u?nconvergent respectivement verssets?alors :

1. la s´erie

?(un+u?n) converge verss+s?

2. la s´erie

?λu nconverge versλ.s(o`uλ?C)

On peut r´esumer ces propri´et´es en disant que l"ensemble des s´eries convergentes est unK-ev.

3 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/

Preuve 6 :Pas de difficult´e en appliquant les th´eor`emes g´en´eraux sur les limites de suites.

Remarque7.

Attention :

1. Mˆeme si les s´eries?unet?vnconvergent verssets?, il est faux de dire que?un.vnconverges.s?!!

2. Ce n"est pas parce que

?(un+u?n) converge que les s´eries? ?un?u?nconvergent.

Trouvez des contre-exemples!

Exemple 7.(?)

1. Que dire de :

•la somme de deux s´eries divergentes?

•Et de la somme d"une s´erie divergente avec une s´erie convergente?

2. Change-t-on la nature d"une s´erie lorsqu"on ajoute `a son terme g´en´eral le terme g´en´eral d"une s´erie convergente?

Nous allons dans la suite du chapitre exclusivement nous int´eresser `a 2 types de s´eries :

1. Les s´eries `a termes positifs

2. Les s´eries absolument convergentes

Remarque8.L"´etude des s´eries `a terme g´en´eralunde signe non constant sera approfondi et 2-`eme ann´ee.

2 S´eries `a termes positifs

Dans cette section, toutes les s´eries seront `a termes REELS positifs `a partir d"un certain rang.

On rappelle que les premi`eres valeurs deunn"influencent pas la nature de?un.

2.1 Les th´eor`emes de convergence

D´efinition 3 :On dit qu"une s´erie?u

nest `a termes positifs si?n?N, un≥0.

Remarque9.La s´erie est `a termes positifs `a partir d"un certain rang si :?N?Ntel que?n≥N, un≥0.

Th´eor`eme 7 :Caract´erisation de la convergence Soit ?u nune s´erie `a termes positifs (`a partir d"un certain rang) et (sn) la suite des sommes par- tielles.

On a alors :

?u nconverge??(sn) major´ee

Preuve 7 :

?Une suite convergente est major´ee. ?La suite des sommes partielles d"une s´erie `a termes positifs est croissante. C"est donc une cons´equence du th´eor`eme de la limite monotone. Remarque10.Une s´erie `a termes positifs est soit convergente, soit divergente vers +∞. 4 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/

Figure1 - Th´eor`eme des 2 ballons

Corollaire 8 :Th´eor`eme des "deux ballons"

Soient

?u net?v 1. Si ?v nconverge, alors?u nconverge et dans ce cas :+∞? k=0u k=0u n 2. Si ?u ndiverge, alors?v ndiverge. (contrapos´ee de la proposition pr´ec´edente) Preuve 8 :On utilise le th´eor`eme de la limite monotone et le th´eor`eme des gendarmes.

Remarque11.Ainsi, pour ´etudier la nature d"une s´erie num´erique `a termes positifs, on peut comparer (soit majorer,

soit minorer selon l"objectif) son terme g´en´eralun`a celui d"une s´erie dont la nature est connue.

Un m´ethode efficace consiste `a ´etudier la limite de un vn. Si cette limite existe et appartient `a [0,1[ alors on aura : Exemple 8.(?) Etudier la convergence des s´eries de terme g´en´eral :

1.un=?1 +⎷

n?-n.2.vn=12n-1. 3.wn=1⎷n.lnn.

Exercice : 4

(?) Etudier la nature des s´eries de terme g´en´eralun=lnnn.2netvn=nlnn.2n.

Exercice : 5

(??) Soit?u net?v ndeux s´eries `a termes positifs convergentes.

1. Prouver que

?u nvnest aussi convergente. En d´eduire que?u2nest convergente.

2. Prouver que

?max(un,vn) et?⎷ unvnsont aussi convergentes. 5 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/ Corollaire 9 :Crit`ere de convergence utilisant les "O" Soit ?u net?v ndeux s´eries `a termespositifs`a partir d"un certain rang. Si ?u n=O(vn)?v nconvergente, alors?u nconverge.

On applique alors le crit`ere de comparaison.

Remarque12.Ce th´eor`eme est a fortiori vrai lorsqueun=o(vn). Pour prouver queun=O(vn)`a partir d"un certain rang (pour des suites positives!) Un m´ethode efficace consiste `a ´etudier la limite de un vn.

Si cette limite existe et alors

un vnsera born´ee et l"on aura donc bienun=O(vn).

Exercice : 6

Montrer que si la s´erie?vnconverge, alors?unconverge. Aide : on pourra v´erifier queun/vnest major´ee. Th´eor`eme 10 :Crit`ere de convergence utilisant les "≂"

Soient?u

net?u n, deux s´eries telles que un≂vnavecvn`a termespositifs`a partir d"un certain rang.

Alors :

?u n?v nsont de mˆeme nature Preuve 10 :Commeun≂vnet quevnest positif `a partir d"un certain rang,unle sera aussi. Ces deux suites ´etant ´equivalentes, on a aussiun=O(vn) etvn=O(un).

D"apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, la convergence de l"une entraˆıne donc la convergence de l"autre.

Exemple 9.(?) Prouver la convergence de?1

n2en ´etudiant la s´erie?1n(n+ 1)

Exercice : 7

(??) Soit (un) une suite `a termes positifs etvn=unun+1.

Montrer que?unet?vnsont de mˆeme nature.

Remarque13.Le crit`ere d"´equivalence est plus g´en´eralement valable pour toutes les s´eries `a terme g´en´eral de signe

constant `a partir d"un certain rang. Lorsqu"une s´erie est `a termes n´egatifs, il suffit en effet d"´etudier la s´erie oppos´ee!

2.2 S´eries de Riemann

Th´eor`eme 11 :Les s´eries de la forme?1nαavecα?Rsont appel´ees dess´eries de Riemann.

1 nαconverge??α >1

Avec les s´eries g´eom´etriques, les s´eries de Riemann font partie des s´eries de r´ef´erence.

6 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/

Preuve 11 :

2. Cas o`uα >0 : 2 d´emonstrations possibles

•Une d´emonstration originale qui marche lorsqueα?= 1 : On d´etermine les conditions de convergence de?1 nαen ´etudiant la s´erie?(1nα-1(n+1)α).

On montre que

1 nα-1(n+1)α≂αnα+1(DL ou TAF) et on conclut.

•Pour une d´emonstration valable dans tous les cas, on pourra utiliser le th´eor`eme de la partie "com-

paraison s´erie - int´egrale". Exemple 10.(?) Soienta >0. Etudier la nature de la s´erie de terme g´en´eralun=1 alnn. Exemple 11.(?) Soienta >0 etα >0. Etudier la nature de la s´erie de terme g´en´eralun=an nα.

Exercice : 8

1. Soitq >0. Etudier la nature de la s´erie de terme g´en´eralvn=q⎷

n.

2. En d´eduire l"ensemble de d´efinition de la fonctionSd´efinie parS(x) =+∞?

k=1e -x⎷ k. Corollaire 12 :Soit une s´erie de terme g´en´eralunavecun≂knαo`uk?Retα?R. u net?1 nαsont de mˆeme nature

Preuve 12 :Imm´ediat compte-tenu du th´eor`eme sur les ´equivalents du terme g´en´eral d"une s´erie `a terme

g´en´eral positif.

Remarque14.Peut-on utiliser le crit`ere d"´equivalence pour la s´erie de terme g´en´eralun=(-1)n

n2+ 1? Exemple 12.(?) Etudiez la convergence des s´eries de terme g´en´eral :

1.un=1

1 + 2n2.vn=⎷

n n+ 13.wn=e-(1 +1n)n4.xn=⎷ n+ 1-⎷n n

Exercice : 9

(??) Etudier la convergence de la s´erie?lnαnnβo`uα, β?R+.

Exercice : 10

(??) Etudier la nature de la s´erie de terme g´en´eralunv´erifiant la relation de r´ecurrenceun+1=1ne-un.

2.2.1 M´ethode d"´etude d"une s´erie `a termes positifs

Soit ?unavecun≥0.

Etape 1: On d´etermine un ´equivalent deun.

•Cela nous permet de v´erifier la condition n´ecessaire de convergence :un→0. •Cela nous permet ´egalement de v´erifier queun≥0 `a partir d"un certain rang. •Lorsqueun??αn≥0 alors?unet?αnsont de mˆeme nature. 7 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/ Etape 2: Lorsque que la convergence ou la divergence de?αnn"est pas imm´ediate. •On conjecture la convergence ou la divergence de?αnen comparant intuitivementαn`a1 n.

•Siαn→0 "rapidement" :

•Siαn→0 "lentement" :

Remarque15.Cette m´ethode supposent la connaissance de s´eries de r´ef´erence dont on connait la convergence ou la

divergence. En pratique, on se ram`enera donc souvent `a la comparaison avec les s´eries g´eom´etriques?qnou avec les

s´eries de Riemann?1 nα.

3 Comparaison S´erie - Int´egrale

Cette m´ethode ne s"applique que lorsque la s´erie est de la forme ?f(n) avecf???continue par morceauxpositived´ecroissantesur [n0;+∞[.

Lemme 13 :Encadrement par des int´egrales

Soitfune fonction continue par morceaux,positive et d´ecroissantesur [n0,+∞[ (n0?N). Il est alors possible d"´etudier la convergence de?f(n) en remarquant que : ?n+1 n n n

0f(x) dx

Et en ´etudiant les limites du majorant et du minorant. Preuve 13 :L"in´egalit´e provient de l"encadrement de l"int´egrale? k+1 k f(x) dx.

Dessin

Th´eor`eme 14 :Comparaison `a une int´egrale impropre Soitfune fonction continue par morceaux,positive et d´ecroissantesur [n0,+∞[ (n0?N?).

On a alors :

?f(n) et la suite (un) de terme g´en´eralun=? n n

0f(t) dtsont de mˆeme nature

8 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/ Preuve 14 :Imm´ediat d"apr`es le lemme pr´ec´edent. Exemple 13.(?) Etudier la nature des s´eries de terme g´en´eralan=1 n,bn=1n.(lnn)2etcn=1n.lnn.ln(lnn)

Recherche d"un ´equivalent

Dans le cas o`u la s´erie?u

ndiverge vers +∞, la comparaison `a une int´egrale peut permettre de d´eterminer un ´equivalent de la somme partiellesn.

1. On commence par encadrersn(ousnmoins les premiers termes) par deux int´egrales.

2. On montre que ces int´egrales sont ´equivalentes `a une mˆeme suiteαn

3. On en d´eduit quesn≂αn

Remarque16.C"est en utilisant cette m´ethode que nous avons prouv´e dans un chapitre pr´ec´edent quen?k=11

k≂ln(n). Exemple 14.(?) D´eterminer un ´equivalent de la somme partielle de la s´erie?lnn n.

4 S´eries absolument convergentes

Dans cette section, les suites peuvent de nouveau ˆetre complexes!quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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