[PDF] Intégration des équations différentielles : méthode d’Euler

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Intégration des équations différentielles : méthode d"Euler

1. Introduction

En mécanique classique, les équations du mouvement d"un système mécanique (systèmes

de points matériels, système de solides) sont des équations différentielles du second ordre par

rapport au temps. La connaissance des positions et des vitesses des points à l"instantt= 0 suffit à déterminer le mouvement pourt >0. Ces équations sont souvent non linéaires car les forces elles-mêmes le sont (par exemple

la force de gravitation) et car l"accélération est souvent une fonction non linéaire des degrés

de liberté. Dans ce cas, il est fréquent que l"on ne connaisse pas de solution analytique exacte.

On est alors amené à rechercher une solution approchée par une méthode numérique. de l"oscillateur harmonique (dont la solution exacte est connue) auquel on appliquera la mé- thode numérique d"Euler. On abordera les notions importantes deconvergenceet destabilité.

2. Système différentiel du premier ordre

Considérons l"équation du mouvement d"un oscillateur harmonique : d 2xdt

2+!2x= 0(1)

Il s"agit d"une équation différentielle linéaire dont on connaît la solution exacte. En prenant

une vitesse nulle à l"instant zéro, la solution est : x(t) =x0cos(! t)(2)

Les méthodes numériques n"ont d"intérêt que pour les équations dont on ne connaît pas la

solution exacte, mais en appliquant la méthode d"Euler à l"oscillateur harmonique on pourra tester la méthode en comparant la solution approchée à la solution exacte.

Les méthodes d"intégration numériques opèrent sur des systèmes différentiels du premier

ordre. Il faut donc transformer l"équation différentielle du second ordre en système du premier

ordre. Dans le cas présent, cela se fait sans difficulté en introduisant la vitesse : v=dxdt (3) Les fonctionsx(t)etv(t)vérifient le système différentiel du premier ordre suivant : dxdt =v(4) dvdt =!2x(5) Pour raisonner de manière générale, on écrira ce système sous la forme suivante : Y

0(t) =f(Y;t)(6)

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Yreprésente une liste de variables, qu"on peut représenter sous forme d"une matrice colonne.

Dans le cas présent :

Y=x v (7) Pour l"oscillateur harmonique, la fonctionfne dépend pas explicitement du temps (le temps intervient implicitement dansy). Ce n"est pas toujours le cas, comme le montre l"exemple de l"oscillateur harmonique forcé. Lorsque le système est linéaire, il peut s"écrire sous forme matricielle, par exemple pour l"oscillateur harmonique : dYdt =0 1 !20 Y(8)

3. Méthode d"Euler explicite

3.a. Définition

L"intégration numérique de l"équation (

6 ) consiste à calculer des valeurs approchées de ysur un intervalle[0;T]. Pour cela, on divise cet intervalle enNsous-intervalles égaux de longueurh=T=Net on définit les instants : t n=nh(9) où l"entiernvarie de 0 àN.hest le pas de temps. La première valeurY0est la condition initiale.

Dans la méthode d"Euler explicite, la valeur approchée à l"instanttn+1est obtenue à partir

de la précédente par Y n+1=Yn+hf(Yn;tn)(10) La méthode d"Euler repose sur l"observation suivante. Supposons que la valeur exacte deYà l"instanttnsoit connue. La valeur deYà l"instanttn+1=tn+hest donnée par le développe- ment de Taylor :

Y(tn+h) =Y(tn) +Y0(tn)h+Y00(tn)12

h2+:::(11)

La méthode d"Euler consiste à négliger dans ce développement tous les termes à partir du

terme d"ordre 2 enh:

Y(tn+1)'Y(tn) +hY0(tn)(12)

L"erreur commise par cette approximation (la somme des termes à partir du rang 2) est appelée erreur de troncature(ET), ou erreur locale. Pour la méthode d"Euler, l"ET estO(h2)car sih est assez petit il existe une constanteKtelle quejETj Kh2.

Cela conduit à la relation de récurrence (

10 ). Il faut remarquer queYnest déjà une valeur

approchée à l"instanttnet non pas la valeur exacte. La dérivée est évaluée avec cette valeur

approchée; elle est donc en général légèrement différente de la dérivée exacte à l"instanttn.

Le système différentiel est défini dans une fonction python de la formesysteme(Y,t) oùYest un tableau contenant les variables (x et v dans l"exemple). Par convention, on utilise

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des lettres majuscules pour les tableaux. La fonction renvoie un tableaunumpy.ndarray contenant les dérivées des variables par rapport au temps. Voici par exemple la fonction définissant le système pour l"oscillateur harmonique (on pose != 2) : import numpy w2 = (2 *numpy.pi)**2 def oscillateur(Y,t): return numpy.array([Y[1],-w2 *Y[0]]) Par convention, nous avons placé en premier paramètre le tableauY, en second le temps t. Cette convention est aussi utilisée par la fonctionscipy.integrate.odeint. En re- vanche, la fonctionscipy.integrate.solve_ivputilise la convention inverse (temps en premier, tableau des variables en second). La fonctionpas_euler(systeme,h,tn,Yn)effectue un pas élémentaire de la mé- thode d"Euler, c"est-à-dire le calcul deYn+1à partir deYn. Ses arguments sont le système différentiel, le pas de tempsh, le tempstnet le tableauYn. La fonction renvoieYn+1. def pas_euler(systeme,h,tn,Yn): deriv = systeme(Yn,tn) return Yn+h *deriv La fonctioneuler(systeme,Yi,T,h)effectue l"intégration numérique sur l"inter- valle[0;T]. La condition initiale estYi. Le pas de temps esth. La fonction stocke les valeurs deYsous forme d"une liste (construite comme une pile). Une liste contenant le temps est aussi

générée. Ces listes sont converties en tableau numpy avant d"être renvoyées. Voici par exemple

la structure du tableauYpour un système à 3 variables : Y

0[0]Y0[1]Y0[2]

Y

1[0]Y1[1]Y1[2]

Y

2[0]Y2[1]Y2[2](13)

L"indice ajouté entre crochets permet de repérer la variable. AinsiYn[0]désigne la valeur de la

variable d"indice 0 à l"instantn. def euler(systeme,Yi,T,h):

Y = Yi

t = 0.0 liste_y = [Y] liste_t = [t] while tY = pas_euler(systeme,h,t,Y) t += h liste_y.append(Y) liste_t.append(t) return (numpy.array(liste_t),numpy.array(liste_y))

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Cette fonction utilise deux listes remplies au fur et à mesure avecappend. Dans le cas le cas, par exemple si on met on place une adaptation du pas de temps, ou si le calcul doit

s"arrêter lorsqu"une condition sur une des variables est remplie. Le résultat est renvoyé sous la

forme de deux tableauxnumpy.ndarray, ce qui facilite les manipulations ultérieures, par

exemple pour le tracé des courbes. Il est possible d"écrire une version qui travaille entièrement

sur ce type de tableaux : def euler_bis(systeme,Yi,T,h):

Y = Yi

t = 0.0 tableau_y = numpy.array([Y]) tableau_t = numpy.array([t]) while tY = pas_euler(systeme,h,t,Y) t += h tableau_y = numpy.append(tableau_y,[Y],axis=0) tableau_t = numpy.append(tableau_t,t) return (tableau_t,tableau_y) Voici le résultat avec l"oscillateur harmonique : from matplotlib.pyplot import

T = 5.0

h = 1.0e-3

Yi = [1.0,0]

(t,tab_y) = euler(oscillateur,Yi,T,h) x = tab_y[:,0] figure(figsize=(8,4)) plot(t,x) xlabel("t") ylabel("y[0]") axis([0,T,-2,2]) title("h=0.001") grid()

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3.b. Erreurs locale et globale

L"approximation (

12 ) consiste à négliger les termes d"ordre supérieur ou égal à 2 dans le développement de Taylor. L"erreur commise par cette approximation est appeléeerreur locale de troncature. Lorsquehest assez petit, cette erreur est en valeur absolue inférieure à une

constante multipliée parh2. Si le pas de tempshest divisé par deux, il y a une réduction d"un

facteur4de l"erreur de troncature. L"erreur globale (ou simplement l"erreur) à l"instanttnest l"écart entre la solution appro- chée et la solution exacte à cet instant : e n=y(tn)yn(14) L"erreur globale résulte de l"accumulation des erreurs locales commises sur lesnpas précé- dents (ce qui ne signifie pas qu"elle soit toujours croissante). La figure suivante montre un

exemple avec la solution exacte en trait plein et les valeurs approchées aux instantstn.012345678910t010y(t)

y 0y 1y 2y 3y 4y 5y 6e

6Dans le cas de l"oscillateur harmonique, l"erreur peut être calculée puisque la solution

exacte est connue. On trace donc l"erreur en fonction du temps : erreur = x-numpy.cos(2 *numpy.pi*t) figure(figsize=(8,4)) plot(t,erreur,label="h=0.001") xlabel("t") ylabel("e") grid()

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L"erreur présente ici une variation non monotone. Elle s"annule même périodiquement. Glo- balement, on constate néanmoins une augmentation de l"erreur.

3.c. Convergence

Une méthode numérique doit êtreconvergente, c"est-à-dire que l"erreur globale doit, pour toutn, tendre vers zéro lorsque le pashtend vers zéro. La méthode d"Euler est effectivement convergente. La convergence nous garantit des valeurs approchées de plus en plus proches des valeurs exactes lorsqu"on réduit le pas de tempsh.quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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