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M´ethodes num´eriques et langage Python
Int´egration num´erique
R. Flamary
8 octobre 2019Int´egration num´erique
I=? b a f(x)dx=F(b)-F(a)abxy f(x) SObjectif
Calcul num´erique de la surfaces`a partir d"un nombre fini d"appels `a la fonction. Cas particulier lorsque l"on a acc`es `a un ´echantillonnage r´egulier. On appelle une formule de quadrature une expression lin´eaire fournissant une int´egration approch´ee sur un intervalle.Raisons fn"est connue qu"en certains points. PrimitiveFconnue mais pas une fonction ´el´ementaire. (int´egrale deexp(-x2)). Primitive trop difficile `a calculer num´eriquement.2/16D´efinitions I=? b a f(x)dxHypoth`eses aetbdeux r´eels aveca < b.On supposefint´egrable sur[a,b].
fne dispose pas de singularit´es sur[a,b].Mise en oeuvreApproche classique :
D´ecomposition du domaine en morceaux (un intervalle en sous-intervalles contigus). Int´egration approch´ee de la fonction sur chaque morceau. Sommation des r´esultats num´eriques ainsi obtenus. Utilisation de polynˆomes pour approcher la fonction sur chaque morceau.3/16abxy
f(x) SInt´egration par quadrature simple (2)
Formule de Simpson
Popularis´ee pas Simpson mais utilis´ee par Kepler 100 ans plus tˆot.Interpolation defpar un polynˆome d"ordre 2.
On calcule la valeur de la fonction ena,betm=a+b2
Interpolation polynomiale de Lagrange :
P(x) =f(a)(x-m)(x-b)(a-m)(a-b)+f(m)(x-a)(x-b)(m-a)(m-b)+f(b)(x-a)(x-m)(b-a)(b-m). Int´egrale approch´ee obtenue en int´egrant le polynome :I=hf(a) + 4f?a+b2
?+f(b)6 +O?h590?25f(4)(μ)?M´ethode d"ordre 2, exacte pour des fonctions
quadratiques et cubiques.Quadrature de GaussOn approche encore une fois l"int´egrale par
I=? b a f(x)dx≈n? i=1w if(xi) Leswisont les coefficients de quadrature et lesxisont choisis comme les racine de polynˆomes orthogonaux. On n"utilise pas d"´echantillonnage r´egulier, possibilit´e d"avoir une meilleure approximation def. Int´egration exacte pour des polynˆomes de degr´e2n-1.Exemple pour[a,b] = [-1,1]avec les polynˆomes de Legendre :Nb de pointsPoidswiPointsxiPoly. de Legendre
120x21,1-
1⎷3
,1⎷3(3x2-1)/235 9 ,89 ,59- ⎷3⎷5 ,0,⎷3⎷5(5x3-3x)/28/16f ab5/16Formules de Newton-Cotes
Int´egration num´erique sur[a,b]surn+ 1points r´eguli`erement ´echantillonn´es.Soitxi=a+iΔavecΔ =(b-a)n
=hn etfi=f(xi),?i.La formule de degr´enest d´efinie par
I=? b a f(x) dx≈n? i=0w if(xi) o`u leswisont appel´es coefficients de quadrature. On d´eduit les poidswid"une interpolation de Lagrange de la fonction : f(x)≈L(x) =n? i=0f(xi)li(x),avecli(x) =n? j=0,j?=ix-xjx i-xjL"int´egrale devient donc
I≈?
b aL(x) dx=?
b an i=0f(xi)li(x) dx=n? i=0f(xi)? b a l i(x) dx w i.(1)6/16Formule de Newton-Cotes (2)
I=? b a f(x) dx≈n? i=0w if(xi) Permet de retrouver les formules de quadrature simple :Degr´eNomFormuleErreur1Trap`ezeh
2 (f0+f1)- h312 f(2)(μ)2Simpsonh 6 (f0+ 4f1+f2)- h52880 f(4)(μ)4Booleh 90(7f0+ 32f1+ 12f2+ 32f3+ 7f4)- h71935360 f(6)(μ)pourμ?[a,b]eth= (b-a). Formule d´efinie pour n"importe quel degr´en. Probl`eme d"instabilit´e num´erique pour de grandn(Ph´enom`ene de Runge). En pratique, on pr´ef`ere d´ecouper la fonction en petits intervalles et utiliser des quadratures de degr´e faible sur ces intervalles.
7/16Quadrature de Gauss
On approche encore une fois l"int´egrale par
I=? b a f(x)dx≈n? i=1w if(xi) Leswisont les coefficients de quadrature et lesxisont choisis comme les racine de polynˆomes orthogonaux. On n"utilise pas d"´echantillonnage r´egulier, possibilit´e d"avoir une meilleure approximation def. Int´egration exacte pour des polynˆomes de degr´e2n-1.Exemple pour[a,b] = [-1,1]avec les polynˆomes de Legendre :Nb de pointsPoidswiPointsxiPoly. de Legendre
120x21,1-
1⎷3
,1⎷3(3x2-1)/235 9 ,89 ,59- ⎷3⎷5 ,0,⎷3⎷5(5x3-3x)/28/16M´ethodes compositesf
a b x0x1x2x3m0m1m2 h? Les formules de Newton Cotes ont toutes une erreur sous la forme d"une puissance de(b-a). En pratique on d´ecoupe[a,b]ennsous intervalles et on utilise les formules deNewton-Cotes sur les petits intervalles.
La longueur de l"intervalle d"int´egration devient donch=b-an Nous d´efinissons les points d"´echantillonnage r´egulier suivants : x k=a+kh, mk=a+ (k+ 1/2)h,?k?0,...,n 9/16 f a b x0x1x2x3m0m1m2 h f fM´ethodes adaptatives
Principe
´Echantillonnage fin pas n´ecessaire sur tout l"intervalle[a,b]. On adapte l"´echantillonnage le long de l"intervalle de mani`ere r´ecursive. integrate(f,a,b,tau):1.Calcul deI≈?
a,bf(x)dx2.Estimation de l"erreur?≈ |I-?
a,bf(x)dx|3.Si? > τ,
4.RetournerI
Approches classiques :
M´ethode de Romberg (Trap`eze+ extrapolation de Richardson).?M´ethode de Simpson adaptative (Simpson+ extrapolation de Richardson).M´ethode de Simpson adaptative
Sur l"intervalle[a,b]avecm=a+b2
, la m´ethode de Simpson s"appelle avecS(a,b).1.CalculerS(a,b),S(a,m)etS(m,b).
2.Si l"erreur|S(a,b)-S(a,m)-S(m,b)|/15> τon divise l"intervalle[a,b].
3.Sinon, on retourneS(a,m) +S(m,b) + (S(a,m) +S(m,b)-S(a,b))/15.13/16M´ethode de Simpson adaptative en Python
Impl´ementation simplifi´ee
1defsimpson(f,a,b): 2return(b-a)/6 *(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b))
34defint_adaptsimpson( f,a,b,tau):5m=(a+b)/26Sab=simpson(f,a,b)7Sam=simpson(f,a,m)8Smb=simpson(f,m,b)9ifabs (Sab-Sam-Smb)/15 11else:12returnint_adaptsimp son(f,a,m,tau)+int_adaptsimpson(f
,m,b,tau)Discussion Fonction r´ecursive (complexit´e
d´epend defetτ). Param`etre de pr´ecisionτdirectement
li´e `a l"erreur acceptable. Impl´ementation non efficace,
comment faire mieux?? Minimiser les appels `af.
Stocker les valeurs de la fonction lors
des calculs de Simpson. 14/16M´ethodes de Monte Carlo
I=? b a f(x)dx≈b-an n i=1f(xi), xi≂U(a,b)?i Int´egration num´erique utilisant des r´ealisations de variables al´eatoires. La m´ethode converge vers la bonne valeur lorsquen→ ∞ L"erreur en esp´erance?=O?
1⎷n
d´ecroˆıt tr`es lentement. Tr`es utilis´ee pour les int´egrales multiples car erreur ind´ependante de la dimension. Version plus efficaces bas´ees sur l"´echantillonnage pr´ef´erentiel (VEGAS, MISER).Impl´ementation
1defint_montecarlo( f,a,b,n):2res=03fori in range (n):4res+=f(a+(b-a)*np.random.rand())
5returnres/n Discussion
?nnombre de r´ealisations. np.random.rand()r´ealisation d"une variable al´eatoire uniforme sur[0,1]. a+np.random.rand() (b-a) r´ealisation d"une variable al´eatoire uniforme sur[a,b].15/16Comparaison num´erique I=? 1 0 4?1-x2dx=π100101102103104105106Nb d'appel de la fonction f10-1610-1410-1210-1010-810-610-410-2100ErreurVitesse de convergence
Rectangle
Pt. Milieu
Simpson
Gauss (deg 3)
Gauss (deg n)
Monte Carlo
Trapèze
Adapt. Simpson
Adapt. Gauss
16/16quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33
11else:12returnint_adaptsimp son(f,a,m,tau)+int_adaptsimpson(f
,m,b,tau)DiscussionFonction r´ecursive (complexit´e
d´epend defetτ).Param`etre de pr´ecisionτdirectement
li´e `a l"erreur acceptable.Impl´ementation non efficace,
comment faire mieux??Minimiser les appels `af.
Stocker les valeurs de la fonction lors
des calculs de Simpson.14/16M´ethodes de Monte Carlo
I=? b a f(x)dx≈b-an n i=1f(xi), xi≂U(a,b)?i Int´egration num´erique utilisant des r´ealisations de variables al´eatoires. La m´ethode converge vers la bonne valeur lorsquen→ ∞L"erreur en esp´erance?=O?
1⎷n
d´ecroˆıt tr`es lentement. Tr`es utilis´ee pour les int´egrales multiples car erreur ind´ependante de la dimension.Version plus efficaces bas´ees sur l"´echantillonnage pr´ef´erentiel (VEGAS, MISER).Impl´ementation
1defint_montecarlo( f,a,b,n):2res=03fori in range (n):4res+=f(a+(b-a)*np.random.rand())
5returnres/n Discussion
?nnombre de r´ealisations. np.random.rand()r´ealisation d"une variable al´eatoire uniforme sur[0,1]. a+np.random.rand() (b-a) r´ealisation d"une variable al´eatoire uniforme sur[a,b].15/16Comparaison num´erique I=? 1 04?1-x2dx=π100101102103104105106Nb d'appel de la fonction f10-1610-1410-1210-1010-810-610-410-2100ErreurVitesse de convergence
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