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La méthode de Euler pour l'approximation d'une solution d'une équation differentielle Principe de la méthode de Euler Etant donné une équation
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Méthode d'Euler = Méthode de Taylor d'ordre local en h Avec la méthode d'Euler nous avons: Algorithme de Runge Kutta d'ordre 2 :
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Souvent donc Runge Kutta est invoqué par les algorithmes prédiction correction pour fournir une première solution approximative 3 5 Fonctions Euler et Runge
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Par ailleurs la programmation de ces algorithmes sera conduite par le biais de scripts Matlab® Mots clés Méthode d'Euler de Heun Runge Kutta
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26 mar 2019 · La solution exacte est y(x) = ?x2 + x + 2 Avec la méthode d'Euler on calcule yk+1 = yk + hf(xk yk ) S B
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schémas d'intégration est le schéma dit d'Euler explicite longues heures à mettre au point des algorithmes efficaces (utilisant des schémas d'ordre
NOM : Date : .
PRENOM : Groupe : .
Math´ematiques pour la Biologie (semestre 2) : Feuille-r´eponses du TD 5 La m´ethode de Euler pour l"approximation d"une solution d"une ´equation differentiellePrincipe de la m´ethode de Euler
Etant donn´e une ´equation differentielle
dx dt =f(t,x),(1)on veut approximer, pour une valeur initialex0, une fonctionx(t) qui verifie l"´equation et pour laquelle
on ax(0) =x0. Pour faire cela, on choisit quelques pointstipour lesquels on calcule des approximations
x icorrespondants. On esp`ere quexi≈x(ti). A partir de la valeurx0on peut calculerdx dt (0) =x?(0) `a l"aide de l"´equation (1) en calculantf(0,x0). Comme valeur approximativex1au tempst1= 0 +t1on choisit de prendre x0+dX=x0+x?(0)·t1.(2)
En g´en´eral, la valeurxi+1est d´etermin´ee en ajoutant Δxi= (ti+1-ti)·f(ti,xi) `a son predecesseur, la
valeurxi: x i+1=xi+ Δxi=xi+ (ti+1-ti)·f(ti,xi).(3)Fig.1 - Pour approximer la courbe, on suit la droite tangente `a cette courbe. La tangente est donn´ee
par le pointxiet le coefficient directeurx?(ti) =f(ti,x(ti)).Cette procedure est justifi´ee par les approximations suivants. La deriv´eex?(t) peut ˆetre vue comme
le quotient de deux differences (pour Δtpetit) : ΔxΔt=xi+1-xi
t i+1-ti≈x?(ti).(4)En isolantxi+1on obtient
x i+1=xi+ (ti+1-ti)·x?(ti),(5)ou la deriv´ee inconnuex?(t) de la fonctionx(t) - qu"on ne connait pas non plus - est remplac´ee parf(t,x)
correspondant `a (1). Cela donne la sp´ecification (3). 1Exemple
Considerons l"´equationdx
dt =-2t·x(t), x(0) = 1 (6)La solution analytique estx(t) =e-t2.
Exercice :Compl´eter le tableau suivant :
i t i x(ti) =e-(ti)2 x iΔxi= (ti+1-ti)·(-2)ti·xi
x i+1=xi+ Δxi 0 0 1 1 (0.2-0.0)·(-2)·0·1 = 01 + 0 = 1
1 0.2 1 (0.4-0.2)·(-2)·0.2·1 =-0.081 + (-0.08) = 0.92
2 0.4 0.92 3 0.6 4 0.8 5 1.0 Exercice :Dessiner les valeursxietx(ti) dans un syst`eme de coordonn´eest-x.M´ethode d"Euler en deux variables
On consid`ere maintenant le syst`eme
x?(t) = 0.08x(t)-0.004x(t)y(t) y ?(t) =-0.06y(t) + 0.002x(t)y(t)avec une population initialex(0) = 40 lapins ety(0) = 20 renards. On souhaite ´etudier l"´evolution des
deux populations sur une p´eriode de 10 ans. Si on introduit les vecteurs p(t) =µx(t) , f(t,p) =µ0.08x(t)-0.004x(t)y(t) on peut ´ecrire le syst`eme (7) sous la forme p ?(t) =f(t,p), p(0) =µx(0)La m´ethode d"Euler progressive s"´ecrit
u i+1-ui t i+1-ti=f(ti,ui) ouui+1=ui+ (ti+1-ti)·f(ti,ui) (7) 2 ce qui ´equivaut au sch´ema (on ´ecrit les composants deu= (u1,u2) s´eparement) 8>< :(ui+1)1-(ui)1 t i+1-ti= 0.08(ui)1-0.004(ui)1(ui)2 (ui+1)2-(ui)2 t i+1-ti=-0.06(ui)2+ 0.002(ui)1(ui)2 (u0)1=x(0),(u0)2=y(0).(8) ou, mieux lisible, en utilisant la transformation dans (7) : 8>< :(ui+1)1= (ui)1+ (ti+1-ti)·¡0.08(ui)1-0.004(ui)1(ui)2¢ (ui+1)2= (ui)2+ (ti+1-ti)·¡-0.06(ui)2+ 0.002(ui)1(ui)2¢ (u0)1=x(0),(u0)2=y(0).(9)Ensuite on peut r´esoudre le syst`eme pas `a pas. En utilisant les notations comme en une dimension,
Δ(ui)1= (ti+1-ti)·¡0.08(ui)1-0.004(ui)1(ui)2¢, Δ(ui)2= (ti+1-ti)·¡-0.06(ui)2+ 0.002(ui)1(ui)2¢, on calcule maintenant des valeurs approximatives pour certains momentsti.Exercice :Compl´eter le tableau suivant :
i t i (ui)1 (ui)2Δ(ui)1
(ui+1)1= (ui)1+ Δ(ui)1Δ(ui)2
(ui+1)2= (ui)2+ Δ(ui)2 0 0 4020 1 10 2 20 3 30
4 40
5 50
6 60
Exercice :
- Dessiner approximativement le developpement des populations comme dans la figure suivant.- Comparer ta figure avec celle en bas. Quelle est plus pr´ecise? Pourquoi est-elle plus pr´ecise?
- Dessiner la figure correspondante dans le planx-y. 3quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] crime et chatiment 3 pdf
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