[PDF] LUNIVERSITE BORDEAUX I DOCTEUR SPÉCIALITÉ : Didactique

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N°.d'ordre : 820

THESE

PRESENTEE A

L'UNIVERSITE BORDEAUX I

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR

SPÉCIALITÉ : Didactique des Mathématiques par

BERTHELOT René

SALIN Marie-Hélène

-0O0- L'enseignement de l'espace et de la géométrie dans la scolarité obligatoire Thèse soutenue le 7 novembre 1992 devant la Commission d'examen : MM. R. GAY, Professeur Université Bordeaux IPrésident

G. ARSAC, Professeur Université Lyon 1

G. BROUSSEAU. Professeur IUFM d'Aquitaine

Y. CHEVALLARD, Professeur IUFM Aix-Marseille

Y. GERBIER, Maître do conférences Université Pau

J. PERES. Docteur en Sciences de l'Education

G. VERGNAUD, Directeur de recherche CNRSExaminateurs - 1992 -

RESUME :

L'apprentissage des connaissances spatiales ne figure pas dans les curriculum

d'enseignement, au delà du cycle 2. Il est remplacé par celui de la géométrie des figures

élémentaires. Cette absence laisse enfants et adultes démunis dans de nombreuses situations nécessitant l'usage ou la production de représentations spatiales de la vie courante ou professionnelle. Par ailleurs, l'enseignement de la géométrie au collège constitue pour un trop grand nombre d'élèves un obstacle à l'apprentissage des mathématiques. La thèse est une étude des liens entre ces deux phénomènes et une tentative pour ouvrir des voies de solution à ce problème. L'étude montre comment le contrat didactique de l'enseignement de la géométrie repose sur la fiction culturelle de la transparence des rapports spatiaux dans

l'apprentissage de la géométrie élémentaire ; il appartient à l'élève seul de se constituer et

de mettre en oeuvre les connaissances nécessaires à la compréhension de la géométrie

enseignée; or ces connaissances ne sont pas " naturellement » acquises dans notre société

par les interactions usuelles avec l'environnement spatial ; en cas d'échec cette fiction ne permet à l'enseignant que des remédiations inefficaces et/ou le conduit à en rejeter la responsabilité sur l'élève. L'étude théorique s'appuie sur la théorie des situations didactiques développée par

G Brousseau.

Les auteurs proposent de distinguer trois principaux types de rapports à l'espace appelés problématiques : la problématique pratique, la problématique de

modélisation " spatio-géométrique », la problématique géométrique (déductive ou

théorique). Ils montrent par de nombreux exemples comment l'absence de prise en compte ou d'articulation de ces problématiques dans l'enseignement les constitue en obstacles à l'apprentissage. Pour construire des situations d'enseignement permettant le dépassement de la problématique pratique, les auteurs reprennent et étendent l'analyse des représentations de l'espace introduites par G. Galvez et G. Brousseau, micro, meso, et macro-espaces.. Ils développent à cet effet plusieurs processus expérimentaux, sur l'enseignement des plans, sur l'enseignement des angles et de leur mesure, sur l'introduction des raisonnements sur les figures élémentaires, et une analyse comparée de plusieurs situations d'introduction à la démonstration au collège.

MOTS-CLES

Espace, géométrie, enseignement obligatoire, programmes, représentations spatiales, micro-

espace, méso-espace, macro-espace, situation adidactique, ostension, phénomènes de didactique,

problématique pratique, modélisation, ingénierie, repérage, angle A

Christiane, et Antoine

Paul, Bruno, et Dominique

Anne et Jean Michel, Etienne, Yves, et Marie

Remerciements

C'est à plusieurs titres que nous exprimons ici notre profonde reconnaissance à Guy Brousseau : au directeur de thèse, bien sur, qui nous a proposé ce vaste sujet, et nous a

dirigés dans son exploration ; mais aussi au formateur qu'il a été pour nous depuis vingt ans,

en tant que créateur et moteur principal du C.O.R.E.M. 1 , soucieux de constamment articuler

la théorie à la connaissance du terrain, c'est à dire aux "êtres de chair" que sont les enfants et

les maîtres. Notre participation au C.O.R.E.M. nous a permis d'apprendre à la fois notre métier de chercheur et celui de formateurs d'enseignants.

Nous remercions vivement les membres du jury :

Roger Gay, qui nous a fait l'honneur d'accepter de le présider, Gilbert Arsac, Yves Chevallard et Gérard Vergnaud auxquels nous voulons aussi exprimer notre gratitude pour leur accueil au sein de la communauté didactique,

Yves Gerbier et Jacques Pérès.

Il est rare d'entreprendre une thèse à deux. Pour nous, cette collaboration a été déterminante ; elle nous a permis d'aller au delà de ce que nous aurions pu faire seuls, et de surmonter les moments de découragement provoqués par l'ampleur de la tâche. Ce travail n'est pas seulement le fruit d'une réflexion à deux mais, pour une part importante, d'un travail d'équipe. Nous exprimons notre reconnaissance à tous les enseignants de l'école Jules Michelet avec lesquels nous avons travaillé, ils sont nombreux de la maternelle au CM2, et plus particulièrement aux directeurs, Gisèle Jousson et Pierre Raymond, chevilles ouvrières du C.O.R.E.M., dont l'aide pour l'observation nous a été indispensable. Nous y associons les membres du groupe élémentaire de l'I.R.E.M., nos collègues anciens professeurs d'école normale, ainsi que Jacques Pérès qui a toujours répondu à nos questions avec compétence et disponibilité. Pendant cinq ans, nous avons participé aux travaux d'un des groupes du Groupement de Recherche en Didactique et Acquisition des Connaissances Scientifiques du C.N.R.S. :

"Espace, géométrie, graphismes scientifiques et techniques". Notre réflexion y a été stimulée

par la communication entre didacticiens et psychologues, et son champ y a été élargi aux problèmes du monde du travail, en particulier à celui des bas niveaux de qualification. Nous en remercions plus particulièrement R. Baldy, T. Bautier, A. Bessot, F. Colmez, M. Eberhard, B. Parzysz, P. Rabardel, P. Vérillon, et A. Weil-Fassina. Nous remercions F. Del Moral, M. Boisnard, J. Courbin, et J.P. Dorignac, pour l'aide apportée à la réalisation matérielle de ces ouvrages. Enfin, comment des étudiants de Guy Brousseau pourraient-ils oublier le rôle joué par Nadine Brousseau qui, au delà de ses compétences professionnelles, a su si bien les accueillir et les encourager ? 1 Centre d'Observation et de Recherches sur l'Enseignement des Mathématiques 4

PLAN GENERAL

PARTIE A : INTRODUCTION A UN PROBLEME D'INGENIERIE.........8

PARTIE B : ANALYSE DIDACTIQUE

B-1 : Les déficits de maîtrises spatiales............................................21 B-2 : Le problème de la différenciation entre l'enseignement de l'espace et l'enseignement de la géométrie........................................28 B-3 : Caractères principaux des rapports spatiaux de l'élève avec le B-4 : Propriétés didactiques des différents types de situation engendrés par ces caractères...........................................................52 B-5 : Phénomènes de didactique.....................................................75 B-6 : Les représentations spontanées de l'espace...............................91 B-7 : Questions d'ingéniérie...........................................................126

PARTIE C : ETUDES EXPERIMENTALES

C-1 : Evolution du contenu des programmes.....................................150 C-2 : Etude diachronique de l'utilisation de l'ostension dans l'enseignement primaire.................................................................163 C-3 : Problèmes "Rectangle" et "Bancs"..........................................177 C-4 : Représentations pratiques de l'espace.......................................216 C-5 : Mise en évidence expérimentale de conceptions du repérage .................232 C-6 : L'enseignement des angles au CM, étude préalable....................239 C-7 : Premier processus d'enseignement des angles...........................260 C-8 : Deuxième processus d'enseignement des angles........................302 C-9 : Etude d'un processus d'apprentissage des plans ........................324 PARTIE D : RECUEIL DE SITUATIONS......................................340 CONCLUSION ...............................................................................353

TABLE DES MATIERES...........................................................................................371

ANNEXES.........................................................................................................................TOME 2

5

Introduction

Introduction

La didactique des mathématiques se propose de décrire et d'expliquer les phénomènes relatifs aux rapports entre l'enseignement et l'apprentissage de cette science. Cette formulation, proposée par l'Encyclopaedia Universalis, permet d'aborder

d'emblée ce qui est au coeur de la relation didactique, c'est-à-dire la question du partage des

responsabilités entre le professeur et l'élève.

Une fois déterminés les savoirs à enseigner, la réflexion traditionnelle porte sur l'ordre

dans lequel ils doivent être enseignées, sur ce que l'élève devrait savoir au vu des enseignements antérieurs qu'il a reçus, et sur ce qu'il devrait donc pouvoir apprendre de

nouveau. Mais elle laisse dans l'ombre la source suivante de problèmes didactiques : L'élève a

besoin de connaissances qui ne lui sont pas enseignées mais qu'il doit savoir mettre en oeuvre, soit pour apprendre, soit pour utiliser ce qu'il a appris. Cette composante fondamentale du contrat didactique est le plus souvent occultée car

celui-ci ne peut s'engager si l'enseignant et l'élève n'ont pas la conviction que les acquisitions

antérieures et les conditions du nouvel enseignement donnent à l'élève la possibilité de

l'acquisition de la notion visée. Mais que se passe-t-il quand l'enseignement échoue? Une

multitude de raisons peuvent être invoquées: l'élève n'a pas travaillé, il ne sait pas travailler, il

manque de bases, il ne sait pas appliquer ce qu'il a appris, ou bien le professeur n'a pas bien

expliqué, il est allé trop vite etc. Ces explications, que l'on entend couramment dans les salles

de professeurs ou de la part des élèves, expriment bien l'exigence du partage des responsabilités entre l'enseignant et l'apprenant. Notre objet n'est pas de discuter de la pertinence de ces explications mais de mettre en évidence un autre partage, qui lui n'est pas

reconnu : Parmi les connaissances nécessaires à l'élève pour réaliser les tâches demandées,

certaines sont enseignées et sous la responsabilité du professeur, d'autres ne le sont pas et sont

donc sous la responsabilité implicite de l'élève. Ce partage est inéluctable, mais l'identification

précise de ces deux types de connaissances n'est pas faite, et leur attribution à la responsabilité du maître ou de l'élève ne peut être remise en cause. Un champ de recherches en didactique s'est ouvert sur ce sujet, dont nous allons donner quelques exemples, avant de préciser en quoi notre travail relève de ce champ. Le domaine, sans doute le mieux identifié, de ces connaissances attendues des élèves, mais qui ne leur sont pas enseignées, concerne le raisonnement. Savoir raisonner fait partie de

ces compétences que l'enseignant se désole de ne pas trouver chez ses élèves, tout en étant

désarmé quant à l'aide à leur apporter sur ce plan. L'enseignement du savoir savant

correspondant, la logique, tenté pendant un temps, n'a pas produit les effets attendus. La thèse

de P. Orus (1992) s'attaque à ce problème, en proposant d'autres voies.

A l'inverse, il existe des connaissances comme l'énumération, nécessaire à la résolution

de problèmes posés aux élèves à différentes étapes de leur scolarité, du dénombrement à la

combinatoire, qui, non seulement ne sont pas enseignées, mais dont l'absence n'est même pas pointée comme cause de difficultés et d'erreurs. C'est l'objet de la recherche de J. Briand 1 1 thèse en préparation 6

Introduction

Notre travail soulève ce même problème à propos de l'enseignement de l'espace et de

la géométrie dans la scolarité obligatoire. Comment s'y fait le partage des responsabilités entre

ce qui relève de celle du professeur et ce qui relève de celle de l'élève ? y a-t-il des connaissances ou même des savoirs que le professeur attend des élèves sans que l'enseignement ne les aient jamais pris en charge ? Si oui, lesquels? Ce partage est-il satisfaisant? Si non, peut-on le modifier? En ce qui concerne la géométrie au collège, plusieurs recherches proposent l'introduction d'enseignements nouveaux, non pas pour étendre le champ des savoirs

enseignés mais pour en permettre un meilleur traitement par les élèves : par exemple, l'équipe

de l'IREM de Lyon (Arsac et coll., 1992) propose des situations d'enseignement permettant

"aux élèves de s'approprier les règles du débat mathématique", connaissance nécessaire en

particulier pour l'apprentissage de la géométrie. B. Parsysz (1989) a montré la nécessité d'un

apprentissage explicite d'un système de représentation graphique de l'espace. Virginia Padilla

Sanchez (1992), à Strasbourg, a étudié les effets d'un apprentissage des différents traitements

figuraux qui donnent aux figures géométriques leur rôle heuristique. L'existence de ces recherches, montre que cette question de la détermination des connaissances à enseigner ou non ne relève pas du choix personnel de chaque enseignant, mais de celui du système d'enseignement dans son ensemble. La spécificité de notre travail est en particulier d'éclaircir le statut et le rôle des connaissances spatiales dans la transposition didactique de la géométrie, au cours de la

scolarité obligatoire et plus particulièrement à l'école primaire et dans les deux premières

années du collège. En effet, dans les situations d'enseignement qu'il met en oeuvre, le

professeur ne peut éviter de laisser à l'élève la responsabilité de faire appel à des

connaissances spatiales, dont une partie au moins ne lui ont pas été enseignées. Ce fait est

particulièrement illustré par la recherche que mène C. Molina à Saragosse : il s'agit de concevoir un enseignement de la géométrie pour des classes qui comportent à la fois des

élèves voyants et non-voyants. Serait-ce possible ? Sitôt la question posée, les difficultés

surgissent et leur évocation fait apparaître toutes les connaissances et compétences implicites

concernant les rapports à l'espace qu'exige cet enseignement, compétences dont semblent privés les non-voyants. Mais les enfants voyants, eux, qui constituent les classes sur lesquelles porte notre recherche, disposent-ils bien de ces compétences que leur attribue implicitement l'enseignement ? Se développent-elles spontanément? Si ce n'est pas le cas et si leur absence explique les difficultés d'apprentissage de certains, pourquoi l'enseignement ne les prend-il

pas en charge ? Est-il possible d'envisager un déplacement pertinent de la frontière établie

entre ce qui est enseigné et ce qui ne l'est pas ? Ces interrogations constituent l'un des axes de notre approche des problèmes posés par l'enseignement de la géométrie et de l'espace dans la scolarité obligatoire. Le second axe de notre travail est l'étude de la transposition didactique des questions

d'espace et de géométrie, du point de vue, plus traditionnel, de la détermination des savoirs

enseignés. 7

Introduction

Comment l'enseignement du savoir savant, que constitue la géométrie, théorie très puissante de toute une famille de pratiques spatiales, s'articule-t-il avec celui de ces savoirs pratiques ? Contrairement au raisonnement, dont le savoir savant correspondant, la logique

mathématique, n'est pas enseigné dans la scolarité obligatoire, la géométrie est, très tôt, une

rubrique de l'enseignement des mathématiques. Les connaissances apportées par l'enseignement de la géométrie permettent-elles à un enfant ou à un adolescent de maîtriser l'essentiel des problèmes spatiaux que ce savoir théorise, auxquels il est ou va être, scolairement ou non, confronté ? Et si ce n'est pas le cas, pourquoi les connaissances spatiales ont-elles si peu de place dans les programmes de la scolarité obligatoire? Posons notre question brutalement : L'enseignement de la géométrie n'a-t-il pas

éliminé l'enseignement de l'espace ?

Et accompagnons la de la question inverse : l'absence d'un traitement didactique convenable des connaissances spatiales ne constitue-t-il pas, en retour, un obstacle à l'enseignement de la géométrie ? Quelle est la fonction, dans cette transposition, tant au niveau de la détermination des

savoirs à enseigner qu'à celui du partage de la responsabilité entre professeurs et élèves, de

l'épistémologie des professeurs, et particulièrement d'un procédé didactique aussi général que

l'ostension ? Enfin, un troisième fil directeur a conduit notre travail, celui de la recherche des

moyens à mettre en oeuvre pour que les élèves de la scolarité obligatoire donnent un sens

convenable aux connaissances et aux savoirs enseignés. Comment construire des situations didactiques qui le permettent ? Quels problèmes pose l'introduction de ces situations dans le système d'enseignement ?

Présentation de l'ouvrage

L'ampleur du sujet nous a conduits à développer, dans la partie A, une première

approche où sont exposées une série de questions tendant à en cerner différents aspects.

La transformation de ces questions dans un cadre théorique plus rigoureux, et leur

étude sont présentées dans la partie B.

La partie C comprend plusieurs travaux expérimentaux sur lesquels s'appuient les développements de la partie B. La partie D présente un catalogue de situations didactiques, de différentes origines, s'inscrivant dans la problématique dans laquelle nous nous situons. 8

Partie A

PARTIE A

PREMIERE APPROCHE D'UN PROBLEME

D'INGENIERIE

I. TROIS PROPOSITIONS SUR L'ENSEIGNEMENT

L'enseignement de la géométrie dans l'enseignement secondaire est depuis les années

60 l'objet de vives controverses et de changements importants. Après une période de quasi-

disparition de la "vraie" géométrie, celle-ci retrouve droit de cité à la fin des années 70.

Toutefois, si l'on en croit l'exposé de Gouteyron au colloque inter-IREM 1 de 1984, de nombreux problèmes sont apparus, risquant de mettre en cause, de facto, l'enseignement de la géométrie. Les sources de problèmes qu'il relève sont classées en six catégories :

l'hétérogénéité de la classe, l'insuffisance de formation des jeunes enseignants, la place

(insuffisante) accordée à la géométrie dans diverses sections, la longueur excessive des programmes, la critique des mathématiques "instrument de sélection", et enfin, le niveau

général insuffisant des élèves. L'auteur plaide ensuite pour le maintien et l'amélioration de

l'enseignement de la géométrie, en affirmant qu'il favorise l'apprentissage du raisonnement et le développement de l'esprit de recherche. Aucune place n'est faite aux connaissances spatiales nécessaires à l'apprentissage de la géométrie. A l'école élémentaire, les enjeux ne sont pas de même nature. Les controverses font

place, depuis le début des années 80, à des déclarations sur l'importance de la construction de

l'espace et, en particulier, sur celle du rôle de la géométrie dans cette construction. Faut-il différencier le spatial du géométrique ? Faut-il articuler les deux? Si les réponses sont positives, comment réaliser cette articulation? Que doit prendre en charge l'enseignement de la scolarité obligatoire? Les opinions sur ces questions sont diverses et il n'y a pas eu à notre connaissance de recherche en didactique permettant de débattre des réponses et donc d'éclairer le débat. Nous avons donc entrepris de répondre à ces questions. Dans cette partie, qui constitue une première approche de notre travail, nous avons exploré le sujet en déterminant trois grandes classes de questions. Nous avons représenté chacune de ces classes par une proposition, qui constitue une hypothèse de réponse que nous soumettons au débat.

Proposition I

Introduire explicitement des objectifs relatifs aux connaissances spatiales dans l'enseignement des mathématiques de la scolarité obligatoire.

Proposition II

Différencier nettement l'enseignement des connaissances spatiales et celui des

connaissances géométriques auprès des élèves en respectant ce qui fait la spécificité de

chacun de ces domaines de connaissances. 1

organisé à Marseille les 1-2 juin 1984, avec l'aide de la Direction des Lycées, de la Société Mathématique de

France, et du CIRM, actes publiés par l'IREM de Marseille, 1985. 9

Partie A

Proposition III

Commencer l'enseignement de la géométrie, c'est à dire celui de l'étude des objets

spatiaux dans une problématique mathématique, dans la scolarité obligatoire dès la fin du

primaire en introduisant les concepts fondamentaux de la géométrie comme outils pour résoudre des problèmes spatiaux effectifs.

Articuler au collège la géométrie outil dans l'espace et la géométrie héritée des grecs.

II. EXAMEN DE LA PROPOSITION 1

A. Explicitation de la proposition 1

1. A la fin de la scolarité obligatoire, les élèves doivent disposer de

connaissances spatiales minimales. Rappelons les fonctions de la scolarité obligatoire : - certes, préparer aux apprentissages ultérieurs, en particulier professionnels et scolaires

- mais aussi préparer l'élève à assumer les décisions qu'il doit prendre dans son milieu de vie.

De ce double point de vue, des connaissances spatiales minimales sont nécessaires pour tous les élèves. Par spatial nous entendons ce qui est relatif à l'espace dans lequel tout individu doit savoir agir de façon pertinente, en exploitant et/ou en anticipant les rétro-actions de l'environnement (qu'il adapte ou modifie éventuellement). Par connaissances spatiales nous désignons les connaissances que peut décrire la

géométrie, et qui permettent à chacun de maîtriser l'anticipation des effets de ses actions sur

l'espace, leur contrôle, ainsi que la communication d'informations spatiales.

2. Pourquoi l'assignation explicite d'objectifs strictement spatiaux à

l'enseignement des mathématiques est-il nécessaire ? Dans le cadre de l'enseignement des mathématiques, c'est l'enseignement de la géométrie qui est traditionnellement en charge des questions spatiales, mais aucun objectif

spatial explicite n'est plus assigné, dès le cycle 2, à l'enseignement des maîtres et à

l'apprentissage des élèves. On pourrait penser que l'enseignement de la géométrie fournit aux

élèves des outils pour mieux maîtriser leurs rapports spatiaux. Dire qu'une assignation explicite de connaissances spatiales est nécessaire, c'est dire

qu'actuellement dans la scolarité obligatoire l'enseignement de la géométrie ne prend pas en

charge ce type d'objectifs et ne peut pas le faire, ce qui va à l'encontre d'affirmations courantes

qui assimilent enseignement de géométrie et enseignement spatial. B. Questions rassemblées autour de la proposition 1

1. Quels sont les acquis et les déficits de connaissances spatiales repérés à la

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