[PDF] Préparation au CAPES de Mathématiques Quelques notions de

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UniversiteBlaisePascal,

U.F.R.SciencesetTechnologies,

DepartementdeMathematiquesetInformatique

PreparationauCAPESdeMathematiques

Annee2008-2009

Quelquesnotionsdebasedelageometrieane

FrancoisDumas

lesaiderdansleurtravailpersonnel. vouloirmelessignaler.

FrancoisDumasannee2008-2009

Quelquesnotionsdebasedelageometrieane

1Espaceane

D culessurmontesd'une

A;B;C;M;N;P;:::);

(A1)

8A2E;8!u2E;9!M2E;!AM=!u,

(A2)

8A;B;C2E;!AC=!AB+!BC(relationdeChasles).

Nullited'unvecteur.

8A;B2E;[!AB=!0],[A=B].

Opposed'unvecteur.

8A;B2E;!BA=!AB.Eneet:!AB+!BA=!AA=!0.

Regleduparallelogramme.

8A;B;C;D2E;[!AB=!CD],[!AC=!BD].

d'exercice.

Figure

denieparM7!!AMestbijective;sabijectionreciproqueestalorsl'application A:E!E deniepar!u7! A(!u):=l'uniquepointM2Etelque!AM=!u. 1 structured'espacevectoriel.

2Sous-espaceane

D ci-dessusnedependenfaitpasdupointA.

Propositionetd

A(F)'B(F),d'oul'egalitevoulue.ut

espaceanedeE: Th eor emeetd

Preuve.PosonsF='1

Enr esum

8A2F;F=fM2E;!AM2FgetF=f!AM;M2Fg,

8A2F;8!u2F;9!M2F;!u=!AM,

8A2F;8B2F;!AB2F.

2 anes,ona:

E,etl'espaceElui-m^eme.

3Parallelisme

D anesdeE.

Observationpratique.

sontegalesoudisjointes. seulements'ilssontegauxoudisjoints.

FigureFigure

3 estl'axiome(oupostulat)d'Euclide: uneseuleparalleleaD. seulparalleleaP.

4Baseane

prouvequeFestunss-e.a.deEdirigeparF.ut brenidepoints. Th eor aF='1 A 1 A

0(F)'1

A

Enresumeetenpratique:

UnpointMdeEappartient

ausous-espaceaneengendre parA0;A1;:::;Ap ,9(1;:::;p)2Rp;!A0M=pP i=1 i!A0Ai [X0libre],[X0basedeF],[dimF=p],[dimF=p]. 4 equivalentes: i6=j i6=j i!AjA0+P i6=j i!A0Ai=!0.

ParcequeX0estlibre,ondeduitP

i6=j A

0k6=i;k6=jptelque!AjAi=P

k k!AjAk,ouencoreP k k!AjAk!AjAi=!0,cequiprouveque calculsanalogues.ut D engendreparX. fA0;A1;:::Apgestunebaseane i=1 i!A0Ai [A;B;Mnonalignes],[fA;B;Mganementlibre]: [A;B;C;Mcoplanaires],[M2(ABC)],[!AM2] ,[f!AB;!AC;!AMgliee],[9;2R;!AM=!AB+!AC]:

FigureFigure

5 D i=1x i!ei]:

End'autrestermes,XestunebaseanedeE.

pP i=1 i!vi=pP i=1 i nP j=1 i;j!ej =nP j=1 pP i=1 ii;j!ej. j=1(xjaj)!ej.

L'equivalence(M2F,!AM2F)devientdonc:

M2F()91;:::;p2R;xj=aj+pP

i=1 ii;jpourtout1jn()

Fdanscerepere(A;C)deF.

est: nx

1=a1+1x

2=a2+2;avec2R

!v(1;2;3)est: x1=a1+1x

2=a2+2x

3=a3+3;avec2R

x1=a1+1+1x

2=a2+2+2x

3=a3+3+3;avec;2R

6 D Th eor eme. a1x1+a2x2++anxn+an+1=0() lescomposantesdefdanslabasedualefe

1;:::;e

f(!u)=nP i=1a ie i(!u)=nP i=1a ie i nP j=1y j!ej=nP i=1n P j=1a iyje i(!ej)=nP i=1a iyi. enposantan+1=(a1b1++anbn).

1++ane

n, parH,doncqueHestunhyperplanane.ut a eta0

1x1+a0

2x2++a0

nxn+a0 n+1=0respectivement.Alors: i=aipourtout1in. i=aipourtout1in+1. ax+by+c=0avec(a;b)6=(0;0). 7 (M;A;B)alignes,f!AM;!ABglie, x0 y0 =0,(0)x+(0)y+(00)=0, (M;A;B)alignes,9a;b;c2R;(a;b)6=(0;0); ax+by+c=0 a+b+c=0 a

0+b0+c=0,

xy1 1 001 =0. a

0x+b0y+c0=0,et=

ab a0b0 sondeterminant. (i)(DparalleleaD0),(92R;a0=a;b0=b),(=0).

Sinon,(S)n'estpascompatible,doncD\D0=;.

(ii)(DnonparalleleaD0),(6=0),(D\D0=f g)avec bc0b0c ab0a0b;a0cac0ab0a0b d'intersection aprescalcul: (D;D0;D00concourantes),( abc a0b0c0 a

00b00c"

=0). ax+by+cz+d=0avec(a;b;c)6=(0;0;0).

Conditiondecoplanarite.SoientA(;;

);B(0;0;

0);C(00;00;

00).PourtoutM(x;y;z),ona:

(M;A;B;C)coplanaires, x000 y000 z 0 00 =0, xyz1 1 00 01 0000 001 =0 a

0x+b0y+c0z+d0=0,et=abc

a0b0c0samatrice.

Sinon,(S)n'estpascompatible,doncP\P0=;.

c a

0x+b0y=c0zd0.

a

0x+b0y+c0z=0.Onarg(S0)=rg=2donc

vectorielle,doncqueP\P0estunedroiteane. 8 nax+by+cz+d=0 a

0x+b0y+c0z+d0=0

danscecas:oubienDP,alorsD\P=D; oubienD6P,alorsD\P=;;

7Barycentre

Th eor pose:=Pn (1) nP i=1 i!GAi=!0,(2)9M02E;!M0G=1n P i=1 i!M0Ai,(3)8M2E;!MG=1n P i=1 i!MAi. i=1i!MAipourtoutM2E.PourM;N2E, onaf(M)f(N)=Pn i=1i!MAiPn i=1i!NAi=Pn i=1i(!MAi+!AiN)=Pn i=1i!MN.Onretient: pourtousM;N2E,f(M)f(N)=!MN.(*) (f(M)f(N))=!0)M=N). 9 f(A)2E,ilexisteG2E telque!AG=1

G=G0parinjectivitedef.ut

D

Donc,quitteamultiplierchaquepoidspar1

,onpeuttoujourssupposerque=1. D

8M2E;!MG=1nn

P i=1!MAi,ouencore nP i=1!GAi=!0 ponderesdemassetotalePn entier1p1;A2;:::Ap1;2;:::p

Alors:

G=BarA

1;:::Ap;Ap+1;:::An1;:::p;p+1:::n

=BarG0;Ap+1;:::An

1++p;p+1:::n

Preuve.!0=nP

i=1 i!GAi=pP i=1 i!GAi+nP i=p+1 i!GAi=pP i=1 i!GG0+nP i=p+1 i!GAiut A (A;B;C)estG=BarA;B;C

1;1;1;=Bar

C0;C 2;1; ,desorteque!CG=2!GC0,d'ouG2(CC0).Dem^eme triangleoppose. 10 (i)Festunsous-espaceanedeE; P n sous-espaceanedeEengendreparX.Alors:

8M2F;9!(0;1;:::;p)2Rp+1;pP

i=0 i=1etM=Bar(Ai;i)0ip. i=1i.Ona!A0M=Pp i=0i!A0Ai etPp

3;13;13)

8Convexite

D

FixonsO2Equelconque.Alors:

(M2[A;B])()(9;2R+;+>0;(+)!OM=!OA+!OB).

Lesreelst=

+et1t=+appartiennenta[0;1]R. (M2[A;B])()(9t2[0;1];!OM=(1t)!OA+t!OB).

EnchoisissantO=A,onobtient:

(M2[A;B])()(9t2[0;1];!AM=t!AB).

Figure

11 D [A;B]estinclusdansC.

Figure

convexe

Figure

convexe

Figure

nonconvexe

Figure

nonconvexe convexe. Th eor alorsCestconvexe. 0;n .CommeG02C, A n2CetCconvexe,onconclutqueG2C.ut positives,d'ouleresultat.ut

Propositionetd

convexedeXdansE.OnlanoteConvX.

Preuve.Evidente;laisseeenexercice.ut

CConvX.D'oul'egalite.ut

12

9Applicationsanes

dedepartE. D !'(A)'(B)=f(!AB)pourtousA;B2E Th eor associeea'. unique'(M)pourtoutM2E.D'oul'unicitede'. d'applicationlineaireasssocieef:E!E. E. vectorielparuneapplicationlineaire.ut 13 confondusdansE. !'(A)'(B),cequiprouveleresultatvoulu.ut l'alignementestnecessairementane. toutM2E,ona:!MG=1 P n i=1i!MAidonc:f(!MG)=f1 P n i=1i!MAi=1 P n i=1if(!MAi), c'est-a-dire:!'(M)'(G)=1 P n

G=BarA;M;N

1;; et'(G)=Bar'(A);'(M);'(N) 1;; proprietessuivantes: (i)'([A;B])=['(A);'(B)]pourtousA;B2E; preuvesde(ii),(iii),(iv)s'endeduisent.ut

Fix'=fM2E;'(M)=Mg.

alavaleurpropre1:

Fixf=Ker(fidE)=f!u2E;f(!u)=!ug.

14 d'applicationlineaireassocieef.Alors: oubien'n'admetaucunpointxe, unebasedeE,XestunebaseanedeE. duplan(ABC)].

10Groupeane

elementaires,maisfondamentaux. Lemme1(Composeededeuxapplicationsanes).Soient'; :E!Edeuxapplicationsanes d'applicationslineairesasssocieesrespectivesf;g:E!E.Alors 'estaned'application lineaireassocieegf. Preuve.PourtousA;B2E,ona:! ('(A)) ('(B))=g(!'(A)'(B))=g(f(!AB)).ut f:E!E.Alors: laisseenexercice.ut 15 D

C'estdoncunsous-groupe.ut

Enresume,

GA(E)=f':E!E;'aneetbijectivegestungroupe

'2GA(E),f2GL(E) D'apreslelemme1,c'estunmorphismedegroupes(si`(')=fet`( )=g,alors`( ')=gf).

GA(E)=T(E)'GL(E)

11Homotheties,translations

D

E,associelepointM0denipar!MM0=!u.

M0=!u(M),!MM0=!u

RemarquonsqueidE=!0.

Figure

Proposition.

estidE. estunetranslationdeE. 16 !u!v=!v!u=!u+!vet1!u=!u

Eneet.PrenonsM2Equelconque,etposons:

M

0=!u(M)etM00=!v(M0)=!v

!u(M)

Ona!MM00=!MM0+!M0M00=!u+!v.Ceciprouveque

que!v!u=!u!v.

Parailleurs,pourtous!u2EetM;M02E,ona:

(M0=!u(M)),(!MM0=!u),(!M0M=!u), (M=!u(M0))utFigure

Onretiendraque:

D

A;(M)=M0denipar:!AM0=!AM.

M0=#A;(M),!AM0=!AM

Danslecasparticulierou=1,ona#A;1=idE.

MlepointM0telqueAestlemilieude(M;M0).

Figure

>0

Figure

<0

Figure

=1

Proposition.

17 d'ouA=Mdeslorsque6=1.ut D l'homothetie-translation. Th eor eme. rapport.Lepoint(i)estdemontre. pointxe. ?composeededeuxtranslations:!u!v=!u+!v

Si=1,!u#A;=!u

Si0=1,#A0;0#A;=(10)!AA0

(10)!AA0 18

12Projections,symetries

Unrappeld'alg

ebrelin parallelementaH. E=FH,

8!u2E;9!!v2F;9!!w2H;!u=!v+!w

p(!u)=!v,s(!u)=!v!w

Kerp=H,Imp=F,Fixp=F,pp=p,

Kers=f!0g,Ims=E,Fixs=F,ss=idE.

Figure

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