[PDF] ANALYSE ASYMPTOTIQUE DE NIVEAU 1

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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

ANALYSE ASYMPTOTIQUE DE NIVEAU1

Les fonctions qu"on étudie en analyse sont généralement définies sur des intervalles ou des réunions d"intervalles comme

?ou[0,1[?[2,3], voire

2,π2

+π?.Dans tout ce chapitre, les lettresD,E... qui nous serviront d"ensembles de définition désigneront cependant des parties quelconques de?.

1 NÉGLIGEABILITÉ

1.1 INTRODUCTION

Définition(Négligeabilité)

•Fonctions :Soientf:D-→?etg:D-→?deux fonctions eta? ?adhérent àD. On dit quefest

négligeable devant g au voisinage de as"il existe un voisinageVadeaet une fonction?:D∩Va-→?pour lesquels

f(x) =?(x)g(x)pour toutx?D∩Vaet lima?=0. On note cette relation :f=ao(g)ouf(x) = x→aog(x) et on dit quefest un petit o degau voisinage dea.

Dans le cas oùgne s"annule pas au voisinage dea— sauf éventuellement enaavec dans ce casf(a) =0 — il

est équivalent d"exiger que lim x→af(x) g(x)=0.

•Suites :Soient(un)n??et(vn)n??deux suites. On dit que(un)n??estnégligeable devant(vn)n??s"il existe un

rangNet une suite(?n)n?Npour lesquelsun=?nvnpour toutn?Net limn→+∞?n=0. On note cette relation :

u n= n→+∞o(vn)et on dit queunest un petit o devn.

Dans le cas oùvn?=0 à partir d"un certain rang, il est équivalent d"exiger que limn→+∞u

n vn=0.

ON PENSERA EN PRATIQUE LA NÉGLIGEABILITÉ DES SUITES ET DES FONCTIONS EN TERMES DE QUOTIENTSmême si la

définition à base de fonctions?ou de suites(?n)n??est un peu plus générale. J"ai pris le parti d"ailleurs de rédiger toutes les

preuves de ce chapitre en termes de quotients par souci de clarté, car les preuves obtenues sont courtes et limpides, maisil

ne serait pas beaucoup plus long d"en revenir toujours à des fonctions?ou des suites(?n)n??.

Exemplex2=

x→+∞ox4, maisx4= x→0ox2.1x2= x→+∞o!1x! , mais1x= x→0o!1x2! .nlnn= n→+∞on2. 2n= n→+∞o3n.

Les petits o sont la formalisation définitive des croissances comparées. Certains infinis sont plus infinis que d"autres,

certains zéros sont plus zéros que d"autres. Dire quex2= x→+∞ox4, c"est affirmer l"immensité dex4par rapport àx2lorsque xest grand. Dire quex4= x→0ox2, c"est affirmer l"infinie petitesse dex4par rapport àx2lorsquexest petit. Théorème(Croissances comparées usuelles)Soienta,b,α,β??. •Au voisinage de+∞:— Siα < β:xα= x→+∞oxβ. — Siα >0 :(lnx)β= x→+∞oxα.

— Si 0 x→+∞obx. — Sia>1 :xα= x→+∞oax.

— Siα < β:xβ=

x→0oxα. — Siα >0 :xα= x→0o|lnx|β.•Au voisinage de 0 :

Les croissances comparées usuelles des fonctions en+∞peuvent bien sûr être exprimées en termes de suites — rem-

placerxparn. Par ailleursan= n→+∞o(n!).

Nous avons introduit la notation " petit o » sous sa forme la plus élémentaire — mise en relation de deux fonctions ou

de deux suites — mais on la rencontre en réalité le plus souvent sous la forme suivante : f=ag+o(h)pour les fonctions etun= n→+∞vn+o(wn)pour les suites. Ce qui est affirmé ici, c"est quef=g+?havec?h=ao(h)et queun=vn+?wnavec?wn= n→+∞o(wn), i.e. que o(h)est une certaine

fonction négligeable devanthau voisinage deaet o(wn)une certaine suite négligeable devant(wn)n??.

Partons maintenant de l"affirmation : e

x= x→01+x+x2+o(x), selon laquelle grosso modo, pourxproche de 0 : e

x≈1+x+x2. Cette approximation n"a de sens que si l"on peut y mesurer l"erreur commise. En l"occurrence, ici :

e x≈1+x+x2À UNo(x)PRÈS. Un peu comme quand on dit queπ≈3,14 à 10-2près. 1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Imaginez justement qu"on vous dise : "πest égal à 3,14012 à 10-2près », vous répondrez naturellement : " Pourquoi

pas seulement 3,14 puisqu"on raisonne à 10 -2près? » Et vous aurez raison, raisonner à 10-2près, c"est négliger tout ce qui est plus petit que 10

-2. Ainsi l"approximationπ≈3,14 à 10-2près est aussi précise que l"approximationπ≈3,141592 à

10

-2près, quand bien même on écrit deux décimales correctes dansun cas et six dans l"autre.

Il se passe la même chose avec les petits o. Le termex2est inutile dans la relation : ex= x→01+x+x2+o(x)parce quex2= x→0o(x), nous pouvons donc lui couper la tête : ex= x→01+x+o(x). Cette nouvelle proposition n"est ni plus ni moins précise que la précédente mais elle est plus lisible etplus économe. Tout petit o est unNIVEAU DE PRÉCISION, unSEUIL DE VISIBILITÉ. De vous-mêmes,À CHAQUE INSTANT, faites le ménage, coupez la tête de tous les invisibles!

Théorème(Limites finies et petitso)

•Fonctions :Soientf:D-→?une fonction,a?

?adhérent àDet???. Alors : lim af=???f=a?+o(1).

En particulier : lim

af=0??f=ao(1). o(1) =une fonction de limite nulle ena. •Suites :Soient(un)n??une suite et???. Alors : limn→+∞un=???un= n→+∞?+o(1).

En particulier : lim

n→+∞un=0??un= n→+∞o(1). o(1) =une suite de limite nulle.

Démonstration

1.2 OPÉRATIONS SUR LES PETITSo

Les résultats de ce paragraphe sont importants, mais les exemples qui les suivent sont beaucoup plus utiles et éclairants

que les énoncés théoriques. Les notations utilisées ne seront pas introduites proprement tant elles parlent d"elles-mêmes. En

outre, j"ai allégé les résultats en ne présentant qu"une seule des deux versions de chacun — suites ou fonctions — mais pas

les deux. Théorème(Les petitsoabsorbent les constantes multiplicatives) Soitλ???. Sif=ao(g), alorsf=ao(λg)etλf=ao(g). DémonstrationSi limafg=0, alors limafλg=0 et limaλfg=0.

ExempleSi on admet l"égalité : e1n=

n→+∞1+1n+o!1n! , alors : 2 e1 n= n→+∞2+2n+2 o!1n! n→+∞2+2n+o!1n! Théorème(La somme de deux petitsoest un petito) Siun= n→+∞o(vn)et?un= n→+∞o(vn), alorsun+?un= n→+∞o(vn).

DémonstrationSi limn→+∞u

nvn=0 et limn→+∞?unvn=0, alors par somme limn→+∞u n+?unvn=0.

ExempleSi on admet les égalités : ex=

x→01+x+o(x)et sinx= x→0x+o(x), alors : e x+sinx= x→0

1+x+o(x)

x+o(x) x→01+2x+ o(x)+o(x)????= x→01+2x+o(x).

Théorème(Un petitod"un petitoest un petito)La relation " être négligeable » est transitive.

Sif=ao(g)etg=ao(h), alorsf=ao(h).

2

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DémonstrationSi limafg=0 et limagh=0, alors par produit limafh=0.

ExempleSi on admet l"égalité : e1n2=

n→+∞1+1n2+o!1n2! , alors comme1n2= n→+∞o!1n! e 1 n2= n→+∞1+o!1n! +o! o!1n!! n→+∞1+o!1n! +o!1n! n→+∞1+o!1n!

Théorème(Avec le produit, tout va bien)$

Siun= n→+∞o(vn)et?un= n→+∞o(?vn), alorsun?un= n→+∞o(vn?vn). Siun= n→+∞o(vn), alorsunwn= n→+∞o(vnwn).

ExempleSi on admet les égalités : ex=

x→01+x+o(x)et sinx= x→0x+o(x), alors : e xsinx= x→0

1+x+o(x)

x+o(x) x→0x+o(x)+x2+

2xo(x)????+o(x)×o(x)????=

x→0x+o(x)+= x→0o(x) x

2+ox2+ox2=

x→0x+o(x). Théorème(Avec la compositionÀ DROITEet les suites extraites, tout va bien)

•Fonctions :Soientb?

?et?une fonction définie au voisinage debà valeurs dansI.

Sif=ao(g)et limb?=a, alorsf◦?=bo(g◦?).

•Suites :Soit?:?-→?strictement croissante. Siun= n→+∞o(vn), alorsu?(n)= n→+∞ov?(n). Poura?=±∞, ce résultat permet de ramener par translation toute relationf(x) = x→aog(x)au voisinage deaà une relationf(a+h) = h→0og(a+h)au voisinage de 0.

Exemple?x=

x→+∞o(x), donc?lnx= x→+∞o(lnx)après compositionÀ DROITEpar ln.

Également 2

n= n→+∞o3n, donc 2n2= n→+∞o3n2.

?Attention !Il estFORMELLEMENT INTERDITde composer une relation de négligeabilité par la gauche. Par exemple

lnx= x→+∞o(x), mais1 lnx= x→+∞o!1x!

2 DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

2.1 INTRODUCTION

Approximation

LOCALE

au voisinage de 0

Ordre 0

Ordre1

Or dre2

Ordre3

y=ex Nous cherchons dans ce paragraphe à approximer les fonctions par des fonctions polynomiales au voisinage d"un point, généralement 0. Nousallons par exemple montrer que : e x= x→01+x+x2

2+x36+ox3. Ce résultat signifie que la fonction polynomiale

de degré inférieur ou égal à 3 la plus proche de l"exponentielle au voisinage de 0 est la

fonctionx?-→1+x+x2

2+x36.

Définition(Développement limité)Soientf:D-→?une fonction,a??adhérent àDetn??. On dit quef

possède un développement limité à l"ordre n au voisinage de a, ou plus simplement qu"elle possède unDLn(a), s"il existe des

réelsa0,...,anpour lesquels :f(x) = x→aa0+a1(x-a)+...+an(x-a)n+o(x-a)n.

Plusnest grand, plus la quantité(x-a)nest petite au voisinage dea. Du coup, plusnest grand, plus l"approximation

defobtenue au voisinage deaest précise. 3

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ExemplePour toutn??:11-x=

x→0n k=0x k+oxn= x→01+x+x2+...+xn+oxn.

DémonstrationPour toutx??\1:n

k=0x k=1-xn+11-x, mais limx→0x1-x=0, donc : 1 1-x=n k=0x k+xn×x1-x= x→0n k=0x k+xno(1) = x→0n k=0x k+oxn.

On peut ramener tout développement limité au voisinage deaà un développement limité au voisinage de 0. Précisément,

si :f(x) =

x→aa0+a1(x-a)+...+an(x-a)n+o(x-a)n, alors après compositionÀ DROITEpar la fonctionx?-→x+a:

f(x+a) = x→0a0+a1x+...+anxn+oxn. Ensuite, si on dispose d"un développement limité defà l"ordren:f(x) = x→aa0+a1(x-a)+...+an(x-a)n+o(x-a)n, on dispose aussi d"un développement defà tout ordrem?n:f(x) = x→aa0+a1(x-a)+...+am(x-a)m+o(x-a)m.

Cette opération d"oubli des termes de degré compris entrem+1 etnest appeléetroncature à l"ordre m.

Théorème(Unicité des coefficients d"un développement limité)En cas d"existence, la liste des coefficients d"un

développement limité est unique.

DémonstrationSoientf:D-→?une fonction eta??adhérent àD. Faisons l"hypothèse absurde quef

possède deux développements limitésDISTINCTSà l"ordrenau voisinage dea: f(x) = x→aa0+...+an(x-a)n+o(x-a)n=

Après troncature :ap(x-a)p+o(x-a)p=

x→abp(x-a)p+o(x-a)poù l"on a notéple plus petit indice pour lequelap?=bp. Ainsi(ap-bp)(x-a)p= x→ao(x-a)p, donc après division par(x-a)p: limx→ax?=a(ap-bp) =0, doncap=bp— contradiction!

Le résultat suivant est une conséquence immédiate des définitions de la continuité et de la dérivabilité en un point.

Théorème(Lien développement limité/continuité/dérivabilité)Soientf:D-→?une fonction eta?D.

•Continuité :fest continue enasi et seulement sifpossède un DL0(a).

Précisément, dans ce cas :f(x) =

x→af(a)+o(1). •Dérivabilité :fest dérivable enasi et seulement sifpossède un DL1(a).

Précisément, dans ce cas :f(x) =

x→af(a)+f?(a)(x-a)+o(x-a). Dans un développement limité defau voisinage dea, le coefficient d"ordre 0 estTOUJOURSf(a)et le coefficient d"ordre 1TOUJOURSf?(a).

Théorème(Lien développement limité/parité/imparité)On supposeque 0 est adhérent àDet queDest symétrique

par rapport à 0. Soitf:D-→?une fonction. On suppose quefpossède un développement limité au voisinage de 0.

•Parité :Sifest paire, les coefficients de rang impair de son développement limité sont nuls.

•Imparité :Sifest impaire, les coefficients de rang pair de son développement limité sont nuls.

Ainsi, au voisinage de 0, pour une fonction impaire, n"apparaissent réellement quex,x3,x5,x7... DémonstrationSupposonsfest paire et écrivons son DLn(0):f(x) = x→0a0+a1x+...+anxn+oxnavec a

0,...,an??. Composons ensuite à droite parx?-→ -x:

f(x) =f(-x) = Par unicité des coefficients :a1=-a1donca1=0, puis :a3=-a3donca3=0, etc. 4

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2.2 PRIMITIVATION DES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

On commence par un lemme simple avant la version plus générale.

Théorème(Lemme de primitivation des développements limités)SoientIun intervalle,g? ?(I,?),a?Iet

n??. Sig?(x) = x→ao(x-a)n, alorsg(x) = x→ag(a) " Constante de primitivation » +o(x-a)n+1. DémonstrationPour toutx?I\a,gest continue sur[a,x](ou[x,a]) et dérivable sur]a,x[(ou]x,a[), donc g(x)-g(a) x-a=g?(cx)pour un certaincx?]a,x[(ou]x,a[) d"après le théorème des accroissements finis. Ce procédé nous fournit une fonctionc:I\a-→?pour laquelle|cx-a|<|x-a|pour toutx?I\a. Par encadrement lim x→acx=a, donc :????g(x)-g(a) (x-a)n+1???? =????g?(cx)(x-a)n???? =????g?(cx)(cx-a)n???? x→a0× ?cx-ax-a??? n ?1---→ x→a0.

Théorème(Primitivation des développements limités)SoientIun intervalle,f? ?(I,?)eta?I. Sif?possède

un DL n(a):f?(x) = x→an k=0a k(x-a)k+o(x-a)naveca0,...,an??, alorsfpossède un DLn+1(a): f(x) = x→af(a) " Constante de primitivation » +n k=0a k(x-a)k+1k+1+o(x-a)n+1. On peut doncTOUJOURSprimitiver terme à terme le développement limité d"une dérivée!

DémonstrationLa fonctionxg?-→f(x)-f(a)-n

k=0a k(x-a)k+1k+1est dérivable surIet sa dérivée est la fonction x g? ?-→f?(x)-n k=0a k(x-a)k. Or icig?(x) = x→ao(x-a)n, doncg(x) = x→ag(a)+o(x-a)n+1d"après le lemme, et c"est exactement le résultat voulu.

ExemplePour toutn???: ln(1+x) =

x→0n k=1(-1)k-1xkk+oxn=

DémonstrationPuisque :11-x=

x→0n-1? k=0x k+oxn-1, alors :11+x= x→0n-1? k=0(-1)kxk+oxn-1après composition parx?-→ -x. Primitivons : ln(1+x) = x→0n k=1(-1)k-1xk k+oxnsachant que ln1=0.

ExemplePour toutn??: Arctanx=

x→0n k=0(-1)kx2k+12k+1+ox2n+1=

On remarque que les coefficients de rang pair sont tous nuls — évidemment puisque la fonction arctangente est impaire.

DémonstrationPuisque :11-x=

x→0n k=0x k+oxn, alors :11+x2= x→0n k=0(-1)kx2k+ox2naprès composition parx?-→ -x2. Primitivons : Arctanx= x→0n k=0(-1)kx2k+1

2k+1+ox2n+1sachant que Arctan0=0.

2.3 FORMULE DETAYLOR-YOUNG

Théorème(Formule de Taylor-Young)SoientIun intervalle,n??,f? ?n(I,?)eta?I. Alorsfpossède un développement limité à l"ordrenau voisinage dea. Précisément :f(x) = x→an k=0f (k)(a) k!(x-a)k+o(x-a)n.

Ce résultat est avant tout un théorème d"EXISTENCEde développements limités. Sur cette question, nous disposons à

présent de deux équivalences et d"uneIMPLICATION(seulement) : 5

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Continuité??Existence d"un développement limité à l"ordre 0 Dérivabilité??Existence d"un développement limité à l"ordre 1 Classe?n=?Existence d"un développement limité à l"ordren DémonstrationPar récurrence — au rangn:?f? ?n(I,?),f(x) =quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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