Annexe 3 : Inversion de matrices par la méthode du pivot de Gauss
Pour calculer la matrice inverse d'une matrice inversible M : On présente le calcul en deux colonnes : • Dans la colonne de gauche on applique les opérations
Méthode du pivot de Gauss pour inverser une matrice
On utilise la méthode pour inverser des matrices carrées (la notion d'inverse de matrice ne marche que pour les matrices carrées). On se ramène tout d'abord à
Méthode de Gauss-Jordan Calcul de linverse dune matrice
Calcul de l'inverse d'une matrice. Méthodes numériques 2003/2004 - D.Pastre licence de mathématiques et licence MASS. 1. Méthode de Gauss-Jordan.
Matrices inverses
Matrice inverse. Inversion. Pivot de Gauss. Gauss-Jordan. Décompositions. Inverse rapide. Inversion. Methode de Cramer : (méthode habituelle).
Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique
Inverse d'une matrice. Critère d'inversibilité : le déterminant. 2. Pivot de Gauss sur les matrices. But de l'algorithme. Présentation de la méthode.
Matrices inversibles
Méthode 1 : Montrer qu'une matrice est inversible et calculer son inverse. En utilisant la méthode du pivot de Gauss on résout le système AX = Y d'inconnue
Analyse Numérique 0 0
la méthode de Gauss on peut soit utiliser la stratégie de pivot partiel Montrer que son inverse L?1 est également une matrice triangulaire inférieure.
METHODES NUMERIQUES
9.1 Méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel . 13.2.1 Méthode de Gauss-Newton . ... ce qui sugg`ere que l'on a besoin de l'inverse de la matrice A pour ...
Fiche TP 1 (Méthode de Gauss et Gauss-Jordan)
3) Déduire la matrice inverse de la matrice A. Solution : 1) Résolution du Système par la méthode du pivot de Gauss : a) Ecriture du système sous la forme Ax
Cours 1: Autour des systèmes linéaires Algorithme du pivot de
Inverse d'une matrice. Un critère d'inversibilité d'une matrice : le déterminant. Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de Gauss.
M ethode de Gauss-Jordan Calcul de l’inverse d’une matrice
1 M etho de de Gauss-Jordan Variante de la m ethode de Gauss (gauss1): a la k emeetape on combine toutes les lignes (sauf la ligne k) avec la ligne k (au lieu de ne le faire que pour les lignes d’indice sup erieur a k) Onfaitainsiappara^ tredes0surtoutelacolonne sauf au niveau du pivot a(k) kk Exemple : A = 2 6 4
M ethode de Gauss-Jordan Calcul de l’inverse d’une matrice
Pivot de Gauss sur les matrices Notion d’inverse d’une application linéaire Inverse d’une matrice Critère d’inversibilité : le déterminant Notion d’inverse d’un application linéaire bijective Dans le cas où f est bijective on peut lui fabriquer une application inverse notée f 1 f 1: V !U
Inverse d'une matrice carrée - CNRS
Méthode de calcul Propriétés et Autres méthodes Soit A une matrice carrée d’ordre n Dé?nition On dit que A est inversible s’il existe une matrice B telle que AB = BA = I On appelle B matrice inverse de A et on la note A 1 Remarque : Ecrire B A n’a pas de sens a priori parce que toute matrice n’a
Matrices inverses - IGM
on d ecompose une matrice A comme le produit de plusiseurs matrices ayant des propri et es sp eciales A = M 1M 2 M k on inverse ces matrices sp eciales facile a inverser : matrices orthogonales matrice diagonales matrices triangulaires on compose la matrice inverse A 1 via les inverses des matrices sp eciales A 1 = M 1 k M 1 2 M 1 1
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Algorithme du pivot de Gauss Introduction aux matrices Clément Rau Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths approfondies Clément Rau Cours 1: Autour des systèmes linéaires Algorithme du pivot de Gauss Introduction aux matrices
Comment calculer l’inverse d’une matrice?
Donc moins interessant que l’algorithme de Gauss. Mais application interessante pour le calcul de l’inverse d’une matrice. 6 Calcul de l’inverse d’une matrice La formule theorique (A1)ij=
Comment calculer la norme de l’inverse de la matrice du système?
On peut trouver une relation entre ces deux valeurs : r i) b ?A x =b ?A x ?A x +A x = ?A e 0 e i) = A ?1 r où, bien sûr, la norme de l’inverse de la matrice du système est inconnue. Méthodes itératives pour la résolution de grands systèmes non linéaires 57 Il existe plusieurs critères possibles relatifs à la norme du résidu. Citons par exemple 1.
Quel est le principe de la méthode de Gauss?
Le principe de la méthode de Gauss est de se ramener, par des opérations simples (combinaisons linéaires), à un système triangulaireéquivalent, qui sera donc facile à inverser. Commençonsparunexemplepourunematrice3×3.Nousdonneronsensuitela méthodepourunematricen×n.
Comment calculer l’inverse d’une application linéaire ?
1Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matrice Notion d’inverse d’une application linéaire Inverse d’une matrice Critère d’inversibilité : le déterminant 2Pivot de Gauss sur les matrices But de l’algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L’algorithme général
Introduction
Cas des systèmes22.
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesCours 1: Autour des systèmes linéaires,Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux
matricesClément Rau
Laboratoire de Mathématiques de Toulouse
Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan
Module complémentaire de maths approfondies
Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
Cas des systèmes22.
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreBut1Introduction
Définition d"un système linéaire
Exemples concrets en relation avec votre filière But2Cas des systèmes 22.Méthode graphique
Méthode par substitution
Méthode par addition
3Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires
But de l"algorithme
Opérations autorisées
Un exemple avant la "théorie"
Mécanismes du Pivot
4Introduction aux matrices
Opérations sur les matrices
Inverse d"une matrice
Un critère d"inversibilité d"une matrice : le déterminant Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de GaussL"algorithme général
Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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sytémes linéairesBut de l"algorithmeOpérations autorisées
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Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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On veut résoudre le système suivant :
8>>< >:a1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxn=y1
a2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxn=y2
a n;1x1+an;2x2+:::+an;nxn=ynLesyiet lesai;jsont donnés, on cherche lesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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On veut résoudre le système suivant :
8>>< >:a1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxn=y1
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an;1x1+an;2x2+:::+an;nxn=ynLesyiet lesai;jsont donnés, on cherche lesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButCas particulier
Ex : Système 33
8< :a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButCas particulier
Ex : Système 338
:a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButVariante
On veut résoudre le système suivant :
8>>< >:a1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxny1
a2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxny2
a n;1x1+an;2x2+:::+an;nxnyn Lesyietai;jsont données, on cherche les régions où se situentlesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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8>>< >:a1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxny1
a2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxny2
a n;1x1+an;2x2+:::+an;nxnynLesyietai;jsont données, on cherche les régions où se situentlesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Méthode par substitution
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3Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les
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Inverse d"une matrice
Un critère d"inversibilité d"une matrice : le déterminant Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de GaussL"algorithme général
Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
Cas des systèmes22.
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButExemple 1
Une usine fabrique trois produits P1, P2 et P3. Ces produits passent dans trois ateliers différents A,B et C, avec les temps de passages suivants :P1 passe 2h dans l"atelier A, 1h dans l"atelier B et 1h dans latelier CP2 passe 5h dans l"atelier A, 3h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier CP3 passe 3h dans l"atelier A, 2h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier CQuestion :
Lors dun prog rammede f abrication,la charge
horaire des différents ateliers a été de 104h pour A, 64h pour B et 55h pour C. Quelles sont les quantités de P1, P2 et P3 fabriquées?Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButExemple 1
Une usine fabrique trois produits P1, P2 et P3. Ces produits passent dans trois ateliers différents A,B et C, avec les temps de passages suivants :P1 passe 2h dans l"atelier A, 1h dans l"atelier B et 1h dans latelier CP2 passe 5h dans l"atelier A, 3h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier CP3 passe 3h dans l"atelier A, 2h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier CQuestion :Lors dun prog rammede f abrication,la charge horaire des différents ateliers a été de 104h pour A, 64h pour B et 55h pour C. Quelles sont les quantités de P1, P2 et P3 fabriquées?Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
Cas des systèmes22.
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButExemple 1
Pouri=1::3, soitnila quantité de produitsPifabriqués.L"énoncé se traduit par le système :
8< :2n1+5n2+3n3=104 n1+3n2+2n3=64
n1+2n2+2n3=55Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Pouri=1::3, soitnila quantité de produitsPifabriqués.L"énoncé se traduit par le système :
8< :2n1+5n2+3n3=104 n1+3n2+2n3=64
n1+2n2+2n3=55Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButExemple 2
La fabrication d"un produit artistique P exige l"assemblage de pièces de type 1 et de type 2. Une pièce de type 1 coûte 6 euros et necessite 3h de travail alors qu"une pièce de type B coûte 3 euros et nécessite 4h de travail.Contraintes économiques
: on souhaite que le pr ixdu produit P ne dépasse pas 180 euros. Par ailleurs, le temps de fabrication de P ne doit pas excéder 160h.Question :
Quels sont les valeurs possibles pour le nombre de pièces de type 1 et 2 pour la fabrication de PClément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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La fabrication d"un produit artistique P exige l"assemblage de pièces de type 1 et de type 2. Une pièce de type 1 coûte 6 euros et necessite 3h de travail alors qu"une pièce de type B coûte 3 euros et nécessite 4h de travail.Contraintes économiques
: on souhaite que le pr ixdu produit P ne dépasse pas 180 euros. Par ailleurs, le temps de fabrication de P ne doit pas excéder 160h.Question : Quels sont les valeurs possibles pour le nombre de pièces de type 1 et 2 pour la fabrication de PClément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButExemple 2
La fabrication d"un produit artistique P exige l"assemblage de pièces de type 1 et de type 2. Une pièce de type 1 coûte 6 euros et necessite 3h de travail alors qu"une pièce de type B coûte 3 euros et nécessite 4h de travail.Contraintes économiques
: on souhaite que le pr ixdu produit P ne dépasse pas 180 euros. Par ailleurs, le temps de fabrication de P ne doit pas excéder 160h.Question : Quels sont les valeurs possibles pour le nombre de pièces de type 1 et 2 pour la fabrication de PClément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Cas des systèmes22.
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filière ButSoitx1etx2le nombre respectifs de pièces de type 1 et 2 pour fabriquer un produit P.On doit a voir:
8 >:x 10 x 206x1+3x2180
3x1+4x2160Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Cas des systèmes22.
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filière ButSoitx1etx2le nombre respectifs de pièces de type 1 et 2 pour fabriquer un produit P.On doit avoir : 8 >:x 10 x 206x1+3x2180
3x1+4x2160Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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